改進(jìn)馬斯京根法在洪水演算中的探討

李百川

（華北水利水電大學(xué)，河南 鄭州 450000）

改進(jìn)馬斯京根法在洪水演算中的探討

李百川

（華北水利水電大學(xué)，河南 鄭州 450000）

馬斯京根法是建立于槽蓄方程以及水量平衡方程的河道流量演算法。其簡便易學(xué)，精度亦較高，所以日常實踐應(yīng)用比較廣泛。我國河流眾多，河流條件各有不同，普通的線性馬斯京根法在某些情況下作洪水演算時會出現(xiàn)明顯的誤差。本文介紹了傳統(tǒng)馬斯京根法的使用方法以及一些經(jīng)學(xué)者們改進(jìn)后的馬斯京根法使用方法，經(jīng)比較，不同的時間與空間中可選取不同的馬斯京根法，可以使得演算數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，洪水預(yù)報也更為精確。

馬斯京根法；線性；非線性；分段；分層

引言

河道洪水演進(jìn)就是通過模擬某一流量洪水在一研究河段的傳播過程，計算推出洪水在該研究河道某斷面的洪水?dāng)?shù)據(jù)，其理論基礎(chǔ)為水量平衡原理與蓄泄關(guān)系原理。河道洪水演算有水文學(xué)方法和水力學(xué)方法之分，因水力學(xué)方法中求解圣維南微分方程解析解繁雜易出錯，故經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)了一些簡便易操作的洪水演算方法，用的較多的就是水文學(xué)方法中最為典型的馬斯京根法，它是利用河段水量槽蓄方程代替繁雜的水動力學(xué)方程，從而可在滿足演算精度基礎(chǔ)上使計算過程不再復(fù)雜，該方法是1938年由麥克瑟（MC.Carthy）提出并首次將其應(yīng)用于馬斯京根河上，后經(jīng)一系列研究到 1978年P(guān)ouce和Yevjevich研究將變動水面寬度及變動力波速度的變動參數(shù)應(yīng)用于1969年Cunge提出的馬斯京根—康吉模型[1]上，馬斯京根模型此時才基本完善。自20世紀(jì)50年代起，我國也對馬法的研究高度重視，例如河海大學(xué)趙人俊教授帶領(lǐng)采用線性有限差解法[2]推導(dǎo)馬法的基本原理，后錢學(xué)偉采用連續(xù)演算解析法詳細(xì)推導(dǎo)了瞬時單位線和S （t）曲線，并與趙人俊教授的研究成果作了有益的比較[3]。

傳統(tǒng)馬斯京根法是在線性解的基礎(chǔ)上進(jìn)行計算，參數(shù)K，x應(yīng)為常量，同時流量在計算時段內(nèi)和沿程變化也要呈直線分布。但我國河流眾多，水流條件復(fù)雜多變，如小流域河道匯流一般會呈現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性，基于線性方程的馬斯京根法進(jìn)行河道洪水演算時，可能就會出現(xiàn)模擬精度不高的現(xiàn)象，而且各級洪水的參數(shù)K和x也不相同，也會呈非線性，因此在許多情況下K～Q和x～Q關(guān)系是非常散亂的，難以概化。為此，在傳統(tǒng)馬斯京根法的基礎(chǔ)上做出改進(jìn)，使得可以在各種情況下進(jìn)行較為準(zhǔn)確的洪水演算至關(guān)重要。

1 傳統(tǒng)的馬斯京根法

馬斯京根法是河道洪水演算水文學(xué)方法中最為典型的方法，它通過歲河槽調(diào)蓄作用的計算反映河道洪水波運動的變化規(guī)律。傳統(tǒng)馬法的基本方程是：

式中 I（t）——河段上斷面入流量；Q（t）——河段下斷面出流量；W（t）——河段的槽蓄量；K——槽蓄系數(shù)，具有時間因次，相當(dāng)于洪水波在河段中的傳播時間；x——流量比重因子，無因次，主要與洪水波的坦化變形程度有關(guān)；Q’（t）——示儲流量。

差分后得到馬斯京根法的流量演算公式為：

式中 Q’（i）——時段i的演算出流；Q——時段i的實測流量；I（i）——時段i的入流量；n——時段數(shù)；Δt——計算時段長；c0、c1、c2——演算系數(shù)，且滿足：

在實際應(yīng)用中，馬斯京根法模型的參數(shù)估計是一個非常重要的問題，馬法使用中參數(shù)優(yōu)化也是一個重難點。最小二乘法[4-5]、試錯法以及最小面積法等都是傳統(tǒng)上確定模型參數(shù)的方法，但是率定馬斯京根參數(shù)的這些傳統(tǒng)方法都有很大的局限性，精度不夠高，如試錯法估計參數(shù)時需要花費大量的時間進(jìn)行盲目的調(diào)試，又不易將其程序化，同時也不能保證c0、c1、c2使全局最優(yōu)。學(xué)者們對此作了很多的研究，也得到了一些優(yōu)化參數(shù)的方法，翟國靜優(yōu)化參數(shù)是通過演算與實測出流過程的離差平方和最小化實現(xiàn)，還有遺傳算法[6]、蟻群算法[7]、遺傳模擬退火算法[8]、SEC-UA算法等方法都能更準(zhǔn)確的進(jìn)行參數(shù)估計。

2 改進(jìn)后的馬斯京根法

2.1 非線性馬斯京根法

由于河流眾多，地形復(fù)雜多變，每一次的洪量也不固定，因此河道蓄泄關(guān)系在很多時候并不呈現(xiàn)出完全的線性關(guān)系，例如大中型河床的中下游段，小流域河道匯流更是如此，此時就表現(xiàn)出了非線性的特點，為了反映這種非線性關(guān)系，Gill[9]提出馬斯京根法的非線性槽蓄方程，即：

式中，n是槽蓄方程非線性指數(shù)。

在估計非線性槽蓄方程的參數(shù)時文獻(xiàn)2中提出可采用如下方法：

根據(jù)式（3.1），求得流量Q（t）的表達(dá)式為：

把式（3.2）代入馬法的連續(xù)性方程中得：

式中，Δt為演算時段長。

參數(shù)K，x和n的值通過迭代程序求得：

假定x和n的初始值；

通過式（a）求出研究河段的槽蓄量，初始的出流量和入流量相同；

通過式（c）求出河段槽蓄量的變化率；

利用式（d）求出下一時間段的槽蓄量；

通過式（b）計算下一個時段的流量；

重復(fù)步驟（2）到（5）

非線性馬法優(yōu)化參數(shù)時應(yīng)當(dāng)同時估計K、x、m，隨著發(fā)展，出現(xiàn)了許多優(yōu)化參數(shù)的方法，如基本的最小二乘方法、非線性最小二乘法，以及后出現(xiàn)的混合遺傳算法（MGA）[10]、調(diào)和搜尋算法、粒子群優(yōu)化算法[11]、Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno方法和文獻(xiàn)1中采用的新興差分進(jìn)化算法[12]等，這些方法在參數(shù)進(jìn)行優(yōu)選時都取得了很好的效果。傳統(tǒng)的馬法假定參數(shù)K，x在研究河段內(nèi)為常數(shù)，但這樣的假定在有些情況下是不符合實際的，例如在大中型河床中下游河流坡降小，斷面流速會隨著水位的升高而增加較快，此時就存在較強(qiáng)的非線性，若采用上述非線性的馬斯京根法就可一定程度上解決這個問題，故同傳統(tǒng)的馬斯京根法相比，非線性馬斯京根法可以針對更多種情況進(jìn)行洪水演算，精度也大大的提高了。

2.2 分段馬斯京根法

河流問題復(fù)雜多變，各河流之間存在著一定的差異，即使是同一條河流也有許多水文條件不同的河段，如文獻(xiàn)3中提出的黃河小北干流匯流區(qū)，即龍門-潼關(guān)河段[13]，該段洪水漲落幅度大，支流對其有很大影響，對該區(qū)間洪水預(yù)報有一定的難度，精度相對較低，而采用分段馬斯京根法進(jìn)行洪水演進(jìn)計算就可以很好地處理這個問題，將研究河段分為不同的小段，預(yù)報中也可以加入支流部分，預(yù)報精度會有極大的提高。

分段馬斯京根法就是將某一河道（長為L）分為n段，令每段的K值相等，選定Δt，給定K，x，則有公式：

式中 n——分段數(shù)；

L——河長；

Ll——分段河長；

Kl——分段蓄量常數(shù)；

xl——分段流量比重系數(shù)。

近年來，分段連續(xù)演算法在我國很多地方得到了應(yīng)用，用該方法預(yù)報洪水過程解決了由洪水陡漲陡落造成的演算時段少的問題。分段馬斯京根法演算的前提是假設(shè)每段參數(shù)都相同，實際上由于各段河道情況不盡相同，因此對洪水調(diào)蓄作用也不相同，而每個分段的參數(shù)相同時各分段的實際河長必然不相等，所以使用該方法必然會存在誤差，但是從文獻(xiàn)3實例分析及模擬預(yù)報可看出分段馬斯京根法仍能夠較好地反映上游實際來水情況，精度也夠高。

2.3 分層馬斯京根法

由于馬斯京根法簡單易操作而被廣泛使用，但是對于某些洪水無論參數(shù)如何取值都不能保證整個過程線的高水段和低水段同時很好擬合，這種情況在復(fù)式河道更加明顯。復(fù)式河道中，高水位和低水位水面寬可能有較大差別，此時水力特性及洪水傳播規(guī)律通常也不相同，這時就不可能找到一組K、x值使整個過程線擬合的都很好，若將洪水分層，每層分別采用不同的參數(shù)分別計算就能夠很好的解決這些麻煩。

在研究一個天然河段洪水演算時，先點繪出該研究河段沿河一些站的實測大斷面圖和幾場大洪水的上、下游測站流量過程線。若顯然為復(fù)式型大斷面，或者下游測站流量過程線不連續(xù)性現(xiàn)象很明顯（通常流量過程線的不連續(xù)點與大斷面突變處的上灘流量一致），就應(yīng)進(jìn)行分層，分層依據(jù)為大斷面（或下游測站流量過程線）的突變次數(shù)，突變處流量作分界流量。

當(dāng)分界流量確定之后，再對上斷面的入流過程進(jìn)行分層，各層入流過程與總?cè)肓髁康年P(guān)系為：

式中 It——t時刻上游斷面總的入流量（該參數(shù)已知）；

Ii，t——第i層t時刻的入流量，需計算后確定；

L——分層數(shù)。

依據(jù)已求得的各層入流過程線Ii，t，分別用相應(yīng)層的傳統(tǒng)馬法演算系數(shù)c0i、c1i、c2i進(jìn)行演算，求出各層入流在下游斷面的出流量Qi，t，即

式中的Ki、xi分別表示第i層的蓄量常數(shù)和流量比重因子。下斷面在t時刻的總出流量由各層在下斷面的出流量疊加得到，公式為：

各層間K、x與河道特性、分層數(shù)以及各層的厚度都有關(guān)系，選擇時以率定的結(jié)果為準(zhǔn)。通常說來，隨著水位上升，水面變寬，河道調(diào)蓄作用變大，洪水波得傳播時間加長，K值變大，x值相應(yīng)變小。應(yīng)該注意的是傳統(tǒng)馬斯京根法中的流量是河道的總流量，反映河道的總水體，而分層馬斯京根法中的流量是層流量，反映部分水體，故分層馬法演算參數(shù)與流量的關(guān)系和傳統(tǒng)馬法中的物理概念不完全相同，不可一概而論。

進(jìn)行分層馬斯京根法參數(shù)估計時，各層參數(shù)只主導(dǎo)相應(yīng)層，應(yīng)先根據(jù)小洪水資料率定下層參數(shù)，再依次使用中、大洪水從下往上逐層率定參數(shù)。率定參數(shù)過程中對分界流量應(yīng)作相應(yīng)調(diào)整。由于各層的參數(shù)可分別調(diào)整，因此自由度比較大，能夠解決一些傳統(tǒng)馬斯京根法無法解決的問題。同時此方法也較為簡單易操作。從文獻(xiàn)4的實例分析[14]中就可看出該方法可以較為精確的進(jìn)行洪水演算，因此實用性很強(qiáng)。

3 結(jié)語

諸多學(xué)者對馬法的改進(jìn)在進(jìn)行洪水演進(jìn)計算時都非常有效，經(jīng)比較，在不同情況下采用不同的方法進(jìn)行洪水演算及預(yù)報，可使在洪水預(yù)報更加精確的基礎(chǔ)上計算簡單化，減少工作量。通過對傳統(tǒng)的馬斯京根法與改進(jìn)的馬斯京根法相比較，在洪水演算及預(yù)報精度上仍需我們進(jìn)一步的研究探討。

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TV8

A

10.11974/nyyjs.20161232024

李百川（1991-），男，河南濟(jì)源人，華北水利水電大學(xué)研究生。