三參數(shù)與四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型適用性研究

倪 飛

（1.南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 交通工程系，江蘇 南通226010）

三參數(shù)與四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型適用性研究

倪 飛1

（1.南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 交通工程系，江蘇 南通226010）

主要對(duì)三參數(shù)、四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型在坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換領(lǐng)域中的精度以及適用區(qū)域范圍進(jìn)行了研究；并給出了幾種參數(shù)轉(zhuǎn)換模型的適用區(qū)域大小。研究表明，在實(shí)際工程中應(yīng)針對(duì)轉(zhuǎn)換區(qū)域情況選擇適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換模型。

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；轉(zhuǎn)換參數(shù)；適用區(qū)域

我國現(xiàn)行坐標(biāo)系主要有1954北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系和2000國家大地坐標(biāo)系等。前兩種坐標(biāo)系屬于參心大地坐標(biāo)系，2000國家大地坐標(biāo)系為地心大地坐標(biāo)系[1]?？臻g直角坐標(biāo)間的相互轉(zhuǎn)換是利用同時(shí)具有兩個(gè)坐標(biāo)系下坐標(biāo)的公共點(diǎn)，求取轉(zhuǎn)換參數(shù)進(jìn)行的。本文探討了三參數(shù)、四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用，并分別討論了其精度狀況。

1 空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

布爾莎七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型有7個(gè)未知參數(shù)[2]，即3 個(gè)坐標(biāo)平移參數(shù)，1個(gè)縮放比例尺度參數(shù)和3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)。該模型至少需要3個(gè)公共點(diǎn)參與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。若只省略縮放比例尺度參數(shù)，則可得到布爾莎六參數(shù)轉(zhuǎn)換模型[3]。

1.1 三參數(shù)轉(zhuǎn)換模型

布爾莎七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型是一個(gè)嚴(yán)密的轉(zhuǎn)換公式。一般而言，只需已知3個(gè)分布在空間的不同公共點(diǎn)，便能解算出其可靠的轉(zhuǎn)換參數(shù)。若公共點(diǎn)分布區(qū)域較小，將導(dǎo)致平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)間的強(qiáng)相關(guān)性，使其系數(shù)矩陣的條件數(shù)變大，從而影響轉(zhuǎn)換參數(shù)解的穩(wěn)定性。

因此，將七參數(shù)模型中的旋轉(zhuǎn)參數(shù)與縮放比例尺度參數(shù)忽略，可得到適用于小區(qū)域范圍的三參數(shù)轉(zhuǎn)換模型[4]：

式中，(XT，YT，ZT)為新坐標(biāo)系坐標(biāo)；(X0，Y0，Z0)為原坐標(biāo)系坐標(biāo)；(dx，dy，dz)T為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換平移參數(shù)。該模型只需要一個(gè)公共點(diǎn)便可求解出轉(zhuǎn)換的平移參數(shù)，若公共點(diǎn)個(gè)數(shù)大于1，平移參數(shù)可設(shè)定為公共點(diǎn)坐標(biāo)的平均值。

1.2 四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型

若只省略3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)，可得到布爾莎四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型[5]：

式中，(XT，YT，ZT)為新坐標(biāo)系坐標(biāo)；(XG，YG，ZG)為原坐標(biāo)系坐標(biāo)；(dx，dy，dz)T為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)的3 個(gè)坐標(biāo)平移參數(shù)；K為縮放比例尺度參數(shù)。該模型只需要2 個(gè)公共點(diǎn)便可求解出轉(zhuǎn)換的平移參數(shù)。

2 精度算例

表1 已知點(diǎn)空間直角坐標(biāo)值/m

為研究布爾莎三參數(shù)、四參數(shù)、六參數(shù)及七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型的精度情況，從已知控制網(wǎng)中選出5個(gè)同時(shí)具有WGS84與BJ54坐標(biāo)的點(diǎn)作為驗(yàn)證。5個(gè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)值見表1[6]，分別運(yùn)用以上4種模型進(jìn)行比較計(jì)算。

根據(jù)布爾莎三參數(shù)、四參數(shù)、六參數(shù)及七參數(shù)模型的轉(zhuǎn)換算法，以D2、D4兩點(diǎn)為檢核點(diǎn)（以WGS84坐標(biāo)為原坐標(biāo)，將其轉(zhuǎn)換為BJ54坐標(biāo)），Matlab7.0為平臺(tái)編寫代碼進(jìn)行計(jì)算。其轉(zhuǎn)換后精度情況見表2。由表2可以看出：①由于布爾莎七參數(shù)法考慮了平移、旋轉(zhuǎn)及縮放比例7個(gè)參數(shù)，其轉(zhuǎn)換精度最高；②在較大區(qū)域的空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，三參數(shù)、四參數(shù)及六參數(shù)法由于考慮的轉(zhuǎn)換因素少，其3個(gè)方向轉(zhuǎn)換的精度也相對(duì)較差。

表2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換差值表/mm

3 模型適用區(qū)域研究

由于當(dāng)前研究所具備的空間坐標(biāo)大都來自于小范圍的控制網(wǎng)，為了獲得大區(qū)域的三維空間坐標(biāo)數(shù)據(jù)，需模擬出該區(qū)域的三維空間直角坐標(biāo)與其相對(duì)應(yīng)的大地坐標(biāo)。

3.1 模擬步驟與方法

1）根據(jù)一定的經(jīng)緯度間隔（如10'間隔）劃分出規(guī)則的經(jīng)緯度格網(wǎng)，格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)同時(shí)具有1980西安坐標(biāo)系與2000國家大地坐標(biāo)系下的空間直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)數(shù)據(jù)。

2）根據(jù)起始經(jīng)度、緯度及劃分的格網(wǎng)間隔，將各格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的大地坐標(biāo)值分別賦值給特定的矩陣（本文假定為在橢球面上進(jìn)行投影，令其大地高H皆為0）。

3）根據(jù)1980西安坐標(biāo)系橢球參數(shù)與2000國家大地坐標(biāo)系橢球投影參數(shù)，分別計(jì)算各格網(wǎng)節(jié)點(diǎn)在兩套坐標(biāo)系下的三維空間直角坐標(biāo)值。

4）為了使模擬出的空間坐標(biāo)數(shù)據(jù)更加貼近實(shí)際情況，在計(jì)算出的兩套空間直角坐標(biāo)值中，依據(jù)一定的隨機(jī)性加入隨機(jī)誤差值。1980西安坐標(biāo)系及2000國家大地坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)值加入的隨機(jī)誤差皆服從正態(tài)分布，其添加的依據(jù)分別為：

5）分別計(jì)算加入隨機(jī)誤差值后的兩套三維空間直角坐標(biāo)值在各自橢球下相應(yīng)的大地坐標(biāo)值和。

6）輸出空間直角坐標(biāo)值與大地坐標(biāo)值。

表3 區(qū)域邊長(zhǎng)為6'的公共點(diǎn)模擬坐標(biāo)/m

表4 區(qū)域邊長(zhǎng)為24'的公共點(diǎn)模擬坐標(biāo)/m

表5 區(qū)域邊長(zhǎng)為48'的公共點(diǎn)模擬坐標(biāo)/m

表6 區(qū)域邊長(zhǎng)為60'的公共點(diǎn)模擬坐標(biāo)/m

3.2 三參數(shù)模型適用區(qū)域

為了方便研究，本例數(shù)據(jù)模擬的是同時(shí)具備1980西安坐標(biāo)系及2000國家大地坐標(biāo)系下的空間直角坐標(biāo)，區(qū)域范圍為北緯30°～31°，東經(jīng)120°～121°，格網(wǎng)邊長(zhǎng)劃分的間隔為6'；以每次6'（約10.8 km）為邊長(zhǎng)，取4個(gè)格網(wǎng)頂點(diǎn)為公共點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。表3～6為三參數(shù)轉(zhuǎn)換誤差每增加10 mm時(shí)模擬的空間直角坐標(biāo)公共點(diǎn)，經(jīng)過多次數(shù)據(jù)的計(jì)算，X、Y、Z方向坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的中誤差分布如圖1所示。

從圖1可以看出，在區(qū)域邊長(zhǎng)跨越小于30'的情況下，X、Y、Z方向的轉(zhuǎn)換中誤差均未超過10 mm；當(dāng)區(qū)域邊長(zhǎng)跨越未超過40'時(shí)，其最大轉(zhuǎn)換誤差達(dá)到20 mm；區(qū)域邊長(zhǎng)達(dá)到60'時(shí)，其Z方向轉(zhuǎn)換誤差為30 mm，超出了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度要求。

圖1 三參數(shù)法X、Y、Z方向轉(zhuǎn)換中誤差分布圖

3.3 四參數(shù)模型適用區(qū)域

本例數(shù)據(jù)模擬的是覆蓋全國范圍的1980西安坐標(biāo)系及2000國家大地坐標(biāo)系下的空間直角坐標(biāo)，區(qū)域范圍為北緯4°～53°，東經(jīng)75°～135°，格網(wǎng)劃分的間隔為1°；以每次1°（約108 km）為邊長(zhǎng)，取4個(gè)格網(wǎng)頂點(diǎn)作為公共點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。表7～9為公共點(diǎn)模擬坐標(biāo)值。經(jīng)多次數(shù)據(jù)計(jì)算，得到區(qū)域面積經(jīng)緯度間隔從1°～60°的轉(zhuǎn)換中誤差，X、Y、Z方向轉(zhuǎn)換中誤差分布如圖2所示。從圖2可以看出，布爾莎四參數(shù)模型的轉(zhuǎn)換精度在全國區(qū)域范圍內(nèi)適用。

表7 區(qū)域(邊長(zhǎng))緯度、經(jīng)度跨越均為15°的公共點(diǎn)模擬坐標(biāo)/m

表8 區(qū)域(邊長(zhǎng))緯度、經(jīng)度跨越均為30°的公共點(diǎn)模擬坐標(biāo)/m

表9 區(qū)域(邊長(zhǎng))緯度、經(jīng)度跨越分別為50°、60°的公共點(diǎn)模擬坐標(biāo)/m

圖2 四參數(shù)模型X、Y、Z方向轉(zhuǎn)換中誤差分布圖

4 結(jié) 語

通過精度轉(zhuǎn)換算例驗(yàn)證了不同參數(shù)轉(zhuǎn)換模型的精度情況。三參數(shù)轉(zhuǎn)換模型用于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)，當(dāng)區(qū)域邊長(zhǎng)跨越小于30'時(shí)，X、Y、Z方向的轉(zhuǎn)換中誤差均未超過10 mm；當(dāng)區(qū)域邊長(zhǎng)跨越未超過40'時(shí)，其最大轉(zhuǎn)換誤差為20 mm；區(qū)域邊長(zhǎng)跨越達(dá)到60'時(shí)，其Z方向轉(zhuǎn)換誤差為30 mm，超出了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度要求。布爾莎四參數(shù)、六參數(shù)模型的轉(zhuǎn)換精度在全國區(qū)域范圍內(nèi)適用；布爾莎七參數(shù)模型適用于全球范圍的坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，應(yīng)針對(duì)轉(zhuǎn)換區(qū)域情況選擇適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換模型。

[1] 倪飛,趙長(zhǎng)勝,萬某峰.大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中病態(tài)方程的處理算法[J].礦山測(cè)量,2010(1)：74-75

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P282.2

：B

：1672-4623（2016）11-0052-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2016.11.019

倪飛，碩士研究生，講師，研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量與測(cè)量數(shù)據(jù)處理。

2015-12-04。

項(xiàng)目來源：2014年江蘇省交通科技計(jì)劃資助項(xiàng)目（交通廳）（2014C03-07）；南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院2012年院級(jí)科技類資助項(xiàng)目（HYKJ2012B04）。

（文中所用數(shù)據(jù)為模擬數(shù)據(jù)）