矩陣的體積及其在積分變換中的應(yīng)用

張磊

(1.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，安徽 蕪湖 241003；2.阜南會龍中心校，安徽 阜陽 236300)

矩陣的體積及其在積分變換中的應(yīng)用

張磊

(1.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，安徽 蕪湖 241003；2.阜南會龍中心校，安徽 阜陽 236300)

本文首先給出了一般矩陣體積的概念和性質(zhì)并用一些例子具體介紹矩陣體積的求法，重點探討了矩陣體積在定積分、重積分、曲線積分和曲面積分中的應(yīng)用。

長方矩陣；矩陣體積；雅可比矩陣；積分

在介紹本文之前，先介紹一些知識

Qr×n={I={i1,i2,…,ir}:1≤i1＜i2＜…＜ir≤n}表示{1,2,…,n}中依次增加的r個數(shù)的集合

I(A)={I∈Qrxn:rank(AI*)=r}表示A中最大的線性無關(guān)的行指標數(shù)

J(A)={J∈Qr×m:rank(A*J)=r}表示A中最大的線性無關(guān)的列指標數(shù)

N(A)={(I,J)∈Qr×n×Qr×m:rank(A)=r}表示A中最大的非退化矩陣的集合的行與列指標數(shù)，則N(A)=I(A)×J(A)，可以簡寫為I×J=N

1 矩陣的體積

對于任一n階方陣A，可以定義其行列式detA=|A|，但對于長方矩陣不能定義其行列式，為此引出新的概念——矩陣的體積。

性質(zhì)1[4]：A∈Rn×m，r＞0，A的一個滿秩分解A=BD，(B∈,D∈)，則

性質(zhì)2[4]：若A∈,r＞0，且r≤n，A是列滿秩的矩陣，則。

性質(zhì)3[4]：若A∈,r＞0，且r≤m，A是行滿秩的矩陣，則。

以下用幾個例子來熟悉矩陣體積的計算：

2 積分體積在積分變換中的應(yīng)用

設(shè)u，v∈Rn，Φ：u→v連續(xù)可微的函數(shù)，并且f是v上的可積的函數(shù)，則有

則稱JΦ(u)為雅可比矩陣，|detJΦ(u)|雅可比行列式（即雅可比矩陣的體積）。從上面（1）式知，數(shù)學(xué)分析中在求定積分，重積分，曲線積分與曲面積分中，有時經(jīng)過變換Φ，使得在解決問題時過程簡單，計算方便，在這簡化運算時，通過雅可比矩陣來實現(xiàn)的。

以下分別從定積分，重積分，曲線積分和曲面積分來考察矩陣的體積在積分變換中的應(yīng)用。

2.1 矩陣體積在定積分中的應(yīng)用

例3設(shè)y=，2≤y≤3，變換成x的積分并且求出體積。

解由題意得2.2 矩陣體積在重積分中的應(yīng)用

同時，D變成了D'={(u,v)|0≤v≤1,0≤u≤v}，如圖2。

圖1 例4中的區(qū)域D

圖2 例4中的區(qū)域D'

2.3 矩陣體積在曲線積分中的應(yīng)用

2.4 矩陣體積在曲面積分中的應(yīng)用

定理4設(shè)有光滑曲面S:z=z(x,y),(x,y)∈D,f(x,y,z)為S上的連續(xù)函數(shù)，

圖3 例7中的區(qū)域D

解由題意得

3 結(jié)論

矩陣的體積是矩陣行列式的推廣，本文根據(jù)矩陣的秩與行（或列）數(shù)來介紹矩陣體積的求法，并通過例題來說明矩陣的體積在定積分，重積分，曲線積分，曲面積分等積分變換中的應(yīng)用。

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[10]Ben-Israel.A volume associated with mn matrices[J]. LinearAlgebra and itsApplication.167(1992),87-111

The volume of the matrix and its application in integral transformation

ZHANG Lei
(1.School of Mathematics and Computer,Anhui Normal University,Wuhu Anhui241003,China；2.Huilong Center School of Funan,Fuyang Anhui236300,China)

In this paper,the concept and properties of the general matrices’volume were first given,then some examples are introduced to calculate the matrix volume.The applications of the matrices’volume in definite integral,heavy integral, curve integral and surface integral are discussed in details.

matrix;volume of matrix;Jacobi determinant;integral

O175.12

：A

：1004-4329（2016）04-019-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2016)04-019-04

2016-09-20

張 磊（1972- ），男，碩士生，研究方向：中小學(xué)數(shù)學(xué)教育。