一類四階兩點(diǎn)邊值問題解的存在性

劉紅玉，姚曉斌

（隴南師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)信學(xué)院，甘肅 成縣 742500)

一類四階兩點(diǎn)邊值問題解的存在性

劉紅玉，姚曉斌

（隴南師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)信學(xué)院，甘肅 成縣 742500)

本文研究了一類四階隱式微分方程兩點(diǎn)邊值問題解的存在性，運(yùn)用上下解方法和迭代技巧得到了存在性結(jié)果。

隱式常微分方程；上下解方法；迭代

隱式微分方程邊值問題不僅在理論研究方面有著重要的作用，而且在突變論和奇異論方面有著深刻的應(yīng)用背景，也是常微分方程研究中的一個(gè)熱門話題[1-4]。對(duì)于帶有各種邊值條件的顯式四階微分方程，已有很多的解的存在唯一性結(jié)果，且在這些問題研究中有著很多的研究方法[5-9]。馬如云等人[7]運(yùn)用上下解方法和迭代技巧研究了四階兩點(diǎn)邊值問題

可解性，并獲得了相應(yīng)的結(jié)果。但是，如考慮如下四階隱式微分方程兩點(diǎn)邊值問題

那么該方程是否仍具有可解性？

1 預(yù)備知識(shí)

（H1）f:[0,1]×R×R→R是連續(xù)的；

（H2）存在M＞0，使得對(duì)任意的u1,v1,u2,v2∈R（u1≤u2,v1≤v2），有

定義1如果α，β∈C4[0，1]滿足

則分別稱α，β是(1)的下解和上解。

2 主要結(jié)果及證明

本文的主要結(jié)果如下：

定理2設(shè)（H1）和（H2）成立，滿足

證明由于

可得

下面分五步來證明：

第一步，將邊值問題（1）轉(zhuǎn)化為積分方程。

問題（1）首先可改寫為

設(shè)v(t)=u(IV)(t)。

注意到u(0)=u(1)=u″(0)=u″(1)=0，因此v是如下積分方程

的解，這表明

是問題(1)的解，其中

第二步，設(shè)x(t)=α(IV)(t),y(t)=β(IV)(t)，結(jié)合條件（H2），有

由于x0,y0∈C[0,1]，因此，于是存在x?,y?∈C[0,1]，使得和分別收斂于x?,y?。

此外，有

第四步，證明x?,y?是（2）的解。

因f連續(xù)且

故

，

3 舉例

設(shè)f(t,u,v)=eu-(2v+e-v-2),容易驗(yàn)證（H1）成立。

進(jìn)一步地，可證明對(duì)對(duì)任意的u1,v1,u2,v2∈R（u1≤u2,v1≤v2），有

因此（H2）成立。

考查如下問題

因此，應(yīng)用定理2可知所考察的問題至少有一個(gè)解。

[1]Marano S A.On a boundary value problem for the differential equation[J].Mathematics Analysis Application，1994，82：309-319.

[2]Kelevedjiev P,Popivanov N.Existence of solutions of boundary value problems for the equation with fully nonlinear boundary conditions[J].Annuaire de l′Universite de sofia，2000，94：65-77.

[3]Grammatikopoulos M K,Kelevedjiev P,Popivanov N. On the solvability of a singular boundary value problem for the equation[C].Proceedings of the Fourth International Conference of Differential and Functional Differential Equations and Workshop,Moscow,Russia, 2005：14-21.

[4]Carl S,Heikkila S.On second order discontinuous implicit boundary value problems with discontinuous implicit boundary conditions[J].Nonlinear Analysis, 1998，33(3)：261-279.

[5]Ma R Y.Existence for an equation associated with the static equilibrium of an elastic beam supported by sliding clamps[J].Pure and Applied Mathematics，1995，11：1-4.

[6]Ma R Y.On the solvability of a fourth-order two-point boundary valve problem[J].Mathematical Applicable，1997，10：60-62.

[7]Ma R Y,Zhang J H,Fu S M.The method of lower and upper solutions for fourth-order two-point boundary value problems[J].Mathematical Analysis and Applications，1997，215：415-422.

[8]Maria do R G,Luis S,Stepan A T.On the solvability of a boundary value problem for a fourth-order ordinary differential equation[J].Applied Mathematics Letters，2005，18(4)：439-444.

[9]Bai C Z,Yang D D,Zhu H B.Existence of solutions for fourth order differential equation four-point boundary conditions[J].Applied Mathematics Letters，2007，20(11)：1131-1136.

Existence and uniqueness of solution to a fourth-order and two-point boundary value problem

LIU Hong-yu,YAO Xiao-bin
(Department of Mathematics and Information Science,Longnan Teachers College,Chengxian Gansu742500,China)

In this paper the author discussed the existence of solutions to two-point boundary value problem of fourth order implicit ordinary dierential equations,employed lower and upper solutions method and iterative technique to obtain existence result.

implicit ordinary differential equations;lower and upper solutions method;iterative

O175.8

：A

：1004-4329（2016）04-006-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2016)04-006-03

2016-07-08

劉紅玉（1980- ），女，碩士，講師,研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)分析和常微分方程邊值問題。