對(duì)稱基本型平曲線橫凈距精確計(jì)算的新算法研究

馮陽(yáng)飛

(東北大學(xué) 資源與土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)工程研究所實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 沈陽(yáng) 110006)

對(duì)稱基本型平曲線橫凈距精確計(jì)算的新算法研究

馮陽(yáng)飛

(東北大學(xué) 資源與土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)工程研究所實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 沈陽(yáng) 110006)

對(duì)對(duì)稱基本型平曲線橫凈距的計(jì)算方法進(jìn)行了分析研究，提出利用對(duì)稱基本型平曲線屬于凸型曲線的特點(diǎn)、應(yīng)用視點(diǎn)連線斜率快速準(zhǔn)確地尋找計(jì)算點(diǎn)位置的新的橫凈距簡(jiǎn)化計(jì)算方法，可對(duì)平曲線上任一點(diǎn)位進(jìn)行較精確橫凈距的計(jì)算。應(yīng)用VB6編制了計(jì)算程序，可精確計(jì)算該型曲線任意位置時(shí)的最大橫凈距。

橫凈距； 視點(diǎn)軌跡線； 緩和曲線； 坐標(biāo)系統(tǒng)； 斜率

公路對(duì)稱基本型平曲線橫凈距的計(jì)算的難點(diǎn)在于涉及緩和曲線部分的計(jì)算，目前計(jì)算橫凈距均為近似計(jì)算方法。對(duì)稱基本型平曲線橫凈距的計(jì)算方法有多篇論文進(jìn)行探討，并相應(yīng)編制計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行計(jì)算，但計(jì)算工作量比較大，且精度有待進(jìn)一步提高。簡(jiǎn)化計(jì)算方法、減少計(jì)算工作量、提高計(jì)算結(jié)果精度應(yīng)為橫凈距計(jì)算的發(fā)展趨勢(shì)。

1 目前最大橫凈距的計(jì)算方法及存在的問(wèn)題

① 對(duì)稱基本型平曲線最大橫凈距的計(jì)算難點(diǎn)在于與緩和曲線相關(guān)的計(jì)算。早期的計(jì)算采用近似計(jì)算方法，即以緩和曲線弧段代替對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)。文獻(xiàn)[3]對(duì)計(jì)算方法進(jìn)行了改進(jìn)，提高了精度，但計(jì)算過(guò)程仍顯復(fù)雜。

② 文獻(xiàn)[4]在對(duì)對(duì)稱基本型平曲線任一點(diǎn)位橫凈距計(jì)算研究時(shí)，利用幾何關(guān)系獲得緩和路段路中線與視點(diǎn)軌跡線緩和曲線長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并以此對(duì)應(yīng)關(guān)系獲得路中線某點(diǎn)樁號(hào)在視點(diǎn)軌跡線的相應(yīng)位置，然后采用等步長(zhǎng)同向移動(dòng)法進(jìn)行計(jì)算，比較出計(jì)算點(diǎn)到視點(diǎn)連線最大的距離作為所求的橫凈距值。這種計(jì)算方法擬定視點(diǎn)軌跡線采用緩和曲線，這比較符合實(shí)際的行車軌跡，但ZH點(diǎn)與ZHs點(diǎn)有一個(gè)ΔT的差值，若計(jì)算時(shí)不考慮則會(huì)影響結(jié)果的精度，而且在計(jì)算橫凈距時(shí)也是一種試算的方法，所得到的橫凈距值的精度隨步長(zhǎng)選取的大小而不同，步長(zhǎng)越大，精度越低，反之則精度高，而隨之重復(fù)計(jì)算工作量也越大。

③ 文獻(xiàn)[6]在對(duì)對(duì)稱基本型平曲線任一點(diǎn)位橫凈距進(jìn)行計(jì)算時(shí),是利用文獻(xiàn)[3]中所得緩和路段路中線與視點(diǎn)軌跡線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再采用文獻(xiàn)[4]的等步長(zhǎng)同向移動(dòng)法進(jìn)行計(jì)算，因此同樣存在精度隨步長(zhǎng)選擇而異的問(wèn)題。文獻(xiàn)[6]采用路中線與視點(diǎn)軌跡線平行等距關(guān)系，幾何關(guān)系明確，利于坐標(biāo)計(jì)算，但與實(shí)際行車軌跡線有一定偏差。

2 對(duì)稱基本型平曲線橫凈距計(jì)算的新方法

2.1 對(duì)稱基本型平曲線橫凈距計(jì)算新方法基本原理

本文提出的橫凈距計(jì)算方法的基本思路是充分利用坐標(biāo)系統(tǒng)、平面解析幾何的基本原理及路中線與視點(diǎn)軌跡線等距平行的設(shè)定關(guān)系，首先根據(jù)已知的參數(shù)計(jì)算確定視點(diǎn)起終點(diǎn)的坐標(biāo)，然后按照視點(diǎn)連線的斜率及對(duì)稱基本型平曲線屬于凸型曲線的特點(diǎn)準(zhǔn)確尋找其在路中線斜率相等的計(jì)算點(diǎn)，最后計(jì)算計(jì)算點(diǎn)到視點(diǎn)連線的距離再減去e值就得到橫凈距值。

2.2 橫凈距計(jì)算的已知參數(shù)及主要計(jì)算公式

為了能清晰說(shuō)明具體計(jì)算步驟，本文先列出已知的參數(shù)及主要計(jì)算公式表(見(jiàn)表1)。對(duì)于緩和曲線要素、坐標(biāo)計(jì)算的相關(guān)公式，讀者可查閱相關(guān)教材，此不列出。

表1 橫凈距計(jì)算參數(shù)及主要計(jì)算公式表Table1 CalculationoftheparametersofTransversespacingandthemaincalculationformula編號(hào)計(jì)算公式公式說(shuō)明1L=ls+eΔβ緩和曲線與對(duì)應(yīng)視點(diǎn)軌跡線長(zhǎng)度關(guān)系式，Δβ為緩和曲線弧段轉(zhuǎn)角2x=2Rsinαx2cos(β+αx2)+xhyy=2Rsinαx2sin(β+αx2)+yhy園曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算，αyx為對(duì)應(yīng)的圓心角3y=x1sinα+y1cosα+yhzxoy坐標(biāo)系統(tǒng)與x1o1y1坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換公式，x1以-x1代入4yhz=2Tcosα2sinα2HZ點(diǎn)在xoy系統(tǒng)的坐標(biāo)。T為切線總長(zhǎng)，其計(jì)算按相關(guān)教材公式，此略5d=AXa+BYa+CA2+B2點(diǎn)到直線距離計(jì)算6z=d-e橫凈距值計(jì)算 注：已知參數(shù)：R(曲線半徑，m)；α(平曲線轉(zhuǎn)角，rad)；L(緩和曲線長(zhǎng)，m)；e(路中線與視點(diǎn)軌跡線距離，m)；S(行車視距，m)。

3 任一點(diǎn)橫凈距計(jì)算步驟

如圖1所示，B點(diǎn)與m點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，C點(diǎn)與n點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)。為說(shuō)明問(wèn)題，本步驟設(shè)定視點(diǎn)起終點(diǎn)都在緩和曲線對(duì)應(yīng)的視點(diǎn)軌跡線上。而視點(diǎn)在直線或園曲線上時(shí)，坐標(biāo)較容易計(jì)算。

① 根據(jù)已知參數(shù)及公式(1)分別計(jì)算出：β(緩和曲線轉(zhuǎn)角)、αy(園曲線轉(zhuǎn)角)、Ls(緩和曲線對(duì)應(yīng)視點(diǎn)軌跡線長(zhǎng)度)、A2(回旋參數(shù))、Ly(園曲線長(zhǎng)度)、Ly1(視點(diǎn)軌跡線園曲線長(zhǎng)度)。

② 根據(jù)擬定的樁號(hào)確定B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的緩和曲線長(zhǎng)Lx。

③ 利用緩和曲線計(jì)算公式計(jì)算B點(diǎn)坐標(biāo)(xb,yb)，計(jì)算B點(diǎn)切線角βx、切線斜率kb。

④ 利用公式(1)計(jì)算Lx對(duì)應(yīng)的視點(diǎn)軌跡線長(zhǎng)Lx1

⑤ 建立過(guò)B點(diǎn)的法線方程和m(x1,y1)點(diǎn)到B點(diǎn)的距離方程：

⑥ 解方程組得m點(diǎn)的坐標(biāo)(x1,y1)。

⑦ 根據(jù)Lx1從m點(diǎn)沿視點(diǎn)軌跡線量取視距S長(zhǎng)度得到n點(diǎn),n點(diǎn)的坐標(biāo)(x2,y2)。

⑧ 利用公式(1)計(jì)算出n點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C點(diǎn)到HZ點(diǎn)的緩和曲線長(zhǎng)度。

⑨ 利用緩和曲線計(jì)算公式計(jì)算C點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算C點(diǎn)切線角、切線斜率(同步驟(3))。

⑩ 建立過(guò)C點(diǎn)的法線方程和n(x2,y2)點(diǎn)到C點(diǎn)的距離方程(同步驟⑤)。

圖1 對(duì)稱基本型平曲線上任意點(diǎn)橫凈距的計(jì)算Figure 1 The calculation of the transverse spacing of any point on the symmetrical basic horizontal curves

4 算例

4.1 對(duì)稱基本型平曲線任一點(diǎn)橫凈距的計(jì)算

如圖1，以文獻(xiàn)[3]算例條件為例，設(shè)計(jì)參數(shù)：二級(jí)公路，設(shè)計(jì)速度Vd=60 km/h，路面寬B=7 m，平曲線半徑R=130 m，緩和曲線長(zhǎng)度L=70 m，曲線轉(zhuǎn)角α=49°30′00″，采用會(huì)車視距S=150 m，假定m點(diǎn)在直線段，且距離ZHs為20 m。

① 根據(jù)已知參數(shù)及公式(1)計(jì)算出：β=0.2692；αy=0.3255；Ls=69.4615；A2=9100；Ly=42.3121；Ly1=41.6612。

② 因m點(diǎn)在直線段，則m點(diǎn)的坐標(biāo)：(-20,2)。

③ 根據(jù)視距S確定及視點(diǎn)軌跡線各段長(zhǎng)度算得n點(diǎn)到HZS點(diǎn)的曲線長(zhǎng)度：

Lx2=50.5842。

④ 利用公式(1)計(jì)算出n點(diǎn)在緩和曲線對(duì)應(yīng)點(diǎn)C到HZ點(diǎn)的曲線長(zhǎng)度：

Lx=50.8686。

⑤ 利用緩和曲線計(jì)算公式計(jì)算出C點(diǎn)坐標(biāo)：(50.7658,2.4073)；C點(diǎn)切線角：βb=0.1422；C點(diǎn)切線斜率：kc=0.1432。

⑥ 建立過(guò)C點(diǎn)法線方程及n點(diǎn)到C點(diǎn)的距離方程：

⑦ 解得n點(diǎn)坐標(biāo)：(50.4825,4.3871)。

⑧ 應(yīng)用緩和曲線要素計(jì)算公式計(jì)算切線總長(zhǎng)：T=95.5675。

⑨ 利用公式(4)計(jì)算HZ點(diǎn)在xoy坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)為：(157.6364,72.6677)。

⑩ 利用公式(3)計(jì)算n點(diǎn)在xoy坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)為：(121.5136,37.1329)。

4.2 對(duì)稱基本型平曲線最大橫凈的計(jì)算

如圖2所示，仍以文獻(xiàn)[3]算例條件為例，采用停車視距S=75 m。

① 根據(jù)已知參數(shù)及公式(1)計(jì)算出：β=0.2692；αy=0.3255；Ls=69.4615；A2=9100；Ly=42.3121；Ly1=41.6612。

③ 利用公式(1)解方程計(jì)算對(duì)應(yīng)點(diǎn)B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的緩和曲線長(zhǎng)度Lx=53.102。

④ 利用緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算公式得B點(diǎn)坐標(biāo)：(52.9746,2.7377)；

HY點(diǎn)坐標(biāo)：(69.4943,6.2497)；

B點(diǎn)切線角：βb=0.1549；B點(diǎn)切線斜率：kb=0.1562。

⑤ 建立過(guò)B點(diǎn)法線方程及m點(diǎn)到B點(diǎn)距離方程：

(x1-52.974 6)2+(y1-2.737 7)2=4。

⑥ 解得m點(diǎn)坐標(biāo)： (52.666,4.7135)。

⑦ 利用公式(2)計(jì)算的A點(diǎn)(QZ)坐標(biāo)： (89.3422,13.5088)。

⑨mn直線方程：y-4.7135=0.461(x-52.666)。

⑩ 利用公式(5)計(jì)算A點(diǎn)到mn的距離：d=7.3676。

計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[3]相同。

圖2 對(duì)稱基本型平曲線最大橫凈距計(jì)算Figure 2 The calculation of the maximal transverse spacing on the symmetrical basic horizontal curves

5 橫凈距計(jì)算方法比較

本文提出的對(duì)稱基本型平曲線任一點(diǎn)橫凈距的計(jì)算方法與文獻(xiàn)[4]、[6]采用的計(jì)算方法的主要的區(qū)別是在視點(diǎn)與計(jì)算點(diǎn)確定的先后順序上及計(jì)算工作量上。文獻(xiàn)[4]、[6]采用先確定計(jì)算點(diǎn)再尋找視點(diǎn)算法重復(fù)計(jì)算工作量大，且精度與步長(zhǎng)選取密切相關(guān)，而本文采用先確定視點(diǎn)再尋找計(jì)算點(diǎn)，只需一次計(jì)算就可獲得準(zhǔn)確的橫凈距值。有研究者認(rèn)為以計(jì)算點(diǎn)為基點(diǎn)尋找視點(diǎn)起終點(diǎn)符合工程設(shè)計(jì)與施工習(xí)慣，對(duì)此本文認(rèn)為這樣的習(xí)慣并不合理，因?yàn)檎驹谝朁c(diǎn)的位置更符合實(shí)際情況，而且本文計(jì)算方法也可以以視點(diǎn)為基點(diǎn)進(jìn)行逐樁橫凈距計(jì)算并繪制視距包絡(luò)圖，因此本計(jì)算方法具有較多的優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于對(duì)稱基本型平曲線最大橫凈距的計(jì)算，在算例2中可體現(xiàn)出比文獻(xiàn)[3]的計(jì)算方法有所簡(jiǎn)化。

6 VB6程序計(jì)算橫凈距簡(jiǎn)介

按照本文提出的計(jì)算方法利用VB6編制了程序進(jìn)行橫凈距計(jì)算。表1為以算例1為條件的逐樁計(jì)算橫凈距的計(jì)算結(jié)果(見(jiàn)表2)。為了簡(jiǎn)便，表1中以ZH點(diǎn)作為K0+000.000，“里程樁號(hào)”欄與“A點(diǎn)樁號(hào)”欄標(biāo)注與ZH點(diǎn)距離，而在實(shí)際應(yīng)用中則標(biāo)注樁號(hào)。

表2 橫凈距逐樁計(jì)算表Table2 Pilebypilecalculationofthetransversespacing中線里程樁號(hào)視點(diǎn)m坐標(biāo)視點(diǎn)n坐標(biāo)計(jì)算點(diǎn)A坐標(biāo)XYXYXY橫凈距ZA點(diǎn)樁號(hào)—140—14021020183134910000050014113491—130—130219999214742661000140132842661—120—1202299926249697749800085041377498—110—1102399686317931199060031609321119907—100—100249904430531674050085917114167409—90 —90259760459843219986019527825220001—80 —802694811832192773310390841608277381—70 —7027899431139553385250711258264338659—60 —6028823871520224018451190676974402163—50 —5029715781971874663181863396868466989—40 —402105697124917653158327665117186532878—30 —302113812530756259705239329136973599383—20 —202121513637132966161253765154864665543—10 —1021288424439348725029711891695167313170 02135856851061279072929541799388005281099782018214261858413785787811933618539387269220199113214511491959659017924124149727185592945586

7 結(jié)論與展望

① 采用以先確定視點(diǎn)再尋找計(jì)算點(diǎn)的任一點(diǎn)橫凈距計(jì)算方法與目前采用的先確定計(jì)算點(diǎn)再尋找兩個(gè)視點(diǎn)的計(jì)算方法相比具有計(jì)算工作量小、計(jì)算結(jié)果精確、避免大量重復(fù)計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)，是值得推廣的計(jì)算方法。

② 本計(jì)算方法的提出為計(jì)算復(fù)雜的平面線形組合的任意點(diǎn)橫凈距計(jì)算建立了良好的基礎(chǔ)。對(duì)于諸如緩和復(fù)曲線、C形曲線等比較復(fù)雜的組合，采用步長(zhǎng)移動(dòng)的方法尋找視點(diǎn)將會(huì)加大重復(fù)計(jì)算的次數(shù)、降低計(jì)算結(jié)果精度，而采用本文計(jì)算方法則會(huì)很好地解決上述問(wèn)題。

③ 提高橫凈距計(jì)算結(jié)果的精度需要確定合理的視點(diǎn)軌跡線和提高橫凈距計(jì)算過(guò)程本身的精度兩方面，本文只是提高了橫凈距計(jì)算過(guò)程本身的精度，而對(duì)于如何確定合理的視點(diǎn)軌跡線還有待進(jìn)行深入研究。目前采用的視點(diǎn)軌跡線與路中線等距平行屬于近似計(jì)算，文獻(xiàn)[4]所采用的緩和曲線視點(diǎn)軌跡線是否符合實(shí)際有待商榷。

④ 本計(jì)算方法編制的程序可快速、精確地計(jì)算各點(diǎn)的橫凈距，且界面簡(jiǎn)單、操作方便，可為在道路設(shè)計(jì)與施工中校核橫凈距提供幫助。

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The New Algorithm Study on the Accurate Calculation of Transverse Spacing of Symmetrical Basic Horizontal Curves

FENG Yangfei

(Laboratory of Northeastem University College of Resources and Civil English Structural Engineer Research Institute)

The paper studies the calculation method of Transverse spacing in the light of the basic model of symmetrical plane curre andPut forward a new simplified calculation method of transverse spacing That can find quickly and accurately calculation point through applying the characteristic of convex curve symmetrical basic horizontal curves have and the slope of the line of sight,this calculation method can calculate the transverse spacing of any point on the horizontal curves. calculation It has been worken out that calculation program can calculate the transverse spacing of any point on the horizontal curves accurately using VB6.

transverse spacing； view trajectory； transition curve； coordinate system； slope

2014 — 12 — 12

馮陽(yáng)飛(1962 — )，男，四川綿陽(yáng)人，碩士，高級(jí)工程師，研究方向：道路工程。

U 412.34

A

1674 — 0610(2016)06 — 0016 — 04