處理動(dòng)態(tài)平衡問題的方法

劉嘉棟

一、物體的動(dòng)態(tài)平衡問題

物體在幾個(gè)力的共同作用下處于平衡狀態(tài)，如果其中的某個(gè)力（或某幾個(gè)力）的大小或方向，發(fā)生變化時(shí)，物體受到的其它力也會隨之發(fā)生變化，如果在變化的過程中物體仍能保持平衡狀態(tài)，我們就可以依據(jù)平衡條件，分析出物體受到的各力的變化情況。

二、分析方法

1.圖解法：對研究對象進(jìn)行受力分析，利用平行四邊形定則或三角形定則畫出不同狀態(tài)下的力的矢量圖（畫在同一個(gè)圖中），然后根據(jù)有向線段（表示力）的長度變化判斷各力的變化情況，并確定極值狀態(tài)。

條件：圖解法分析動(dòng)態(tài)平衡問題，往往涉及三個(gè)力，其中一個(gè)力為恒力，另一個(gè)力方向不變，但大小發(fā)生變化，第三個(gè)力則隨外界條件的變化而變化，包括大小和方向都變化。

例題1：半圓形支架BCD上懸著兩細(xì)繩OA和OB，結(jié)于圓心O，下懸重為G的物體，使OA繩固定不動(dòng)，將OB繩的B端沿半圓支架從水平位置逐漸移至豎直的位置C的過程中，如圖所示，分析OA繩和OB繩所受力的大小如何變化？

解析：對結(jié)點(diǎn)O受力分析如圖：

結(jié)點(diǎn)O始終處于平衡狀態(tài)，所以O(shè)B繩和OA繩上的拉力的合力大小保持不變，方向始終是豎直向上的。

故答案為：OA繩受力大小變化情況：變小；OB繩受力大小變化情況是：先變小后變大。

方法歸納：力的圖解法分為合成法和分解法兩種，合成法的關(guān)鍵是作好受力分析，找清變力和不變力。

2.相似三角形法：對研究對象進(jìn)行受力分析，利用平行四邊形定則或三角形定則運(yùn)算的過程中，力的三角形與幾何三角形相似，則可根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)求解。

條件：如果物體在三個(gè)力作用下處于平衡狀態(tài)，其中一個(gè)力為恒力，另外兩個(gè)力的方向、大小都發(fā)生變化的情況下，考慮三角形的相似關(guān)系。

例題2：如圖所示，在半徑為R的光滑半球面上高為h處懸掛一定滑輪，重力為G的小球被站在地面上的人用繞過定滑輪的繩子拉住，人拉動(dòng)繩子，在與球面相切的某點(diǎn)緩慢運(yùn)動(dòng)到接近頂點(diǎn)的過程中，求小球?qū)Π肭虻膲毫屠K子的拉力大小將如何變化？

解析：小球在重力G，球面的支持力N，繩子的拉力F作用下，處于動(dòng)態(tài)平衡。任選一狀態(tài)，受力如下圖所示。不難看出，力三角形ΔFAG與幾何關(guān)系三角形△BAO相似，從而有：

（其中與G等大，L為繩子AB的長度）

由于在拉動(dòng)過程中，R、h不變，繩長L在減小，可見：球面的支持力N= 大小不變，繩子的拉力F= 在減小。

方法歸納：關(guān)鍵是作好受力分析，找出解題方法，找對對應(yīng)邊列方程。

三、跟蹤訓(xùn)練

1.如圖所示，電燈懸掛于兩壁之間，更換水平繩OA使連結(jié)點(diǎn)A向上移動(dòng)而保持O點(diǎn)的位置不變，則A點(diǎn)向上移動(dòng)時(shí)（ ）

A.繩OA的拉力逐漸增大；

B.繩OA的拉力逐漸減小；

C.繩OA的拉力先增大后減??；

D.繩OA的拉力先減小后增大。

2.重G的光滑小球靜止在固定斜面和豎直擋板之間。若擋板逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)到水平位置，在該過程中，斜面和擋板對小球的彈力的大小F1、F2各如何變化？

3.如圖所示，在固定的、傾角為α斜面上，有一塊可以轉(zhuǎn)動(dòng)的夾板（β不定），夾板和斜面夾著一個(gè)質(zhì)量為m的光滑均質(zhì)球體，試求：β取何值時(shí)，夾板對球的彈力最小。

4.如圖所示，AC是上端帶定滑輪的固定豎直桿，質(zhì)量不計(jì)的輕桿BC一端通過鉸鏈固定在C點(diǎn)，另一端B懸掛一重為G的物體，且B端系有一根輕繩并繞過定滑輪A，用力F拉繩，開始時(shí)∠BCA>90°，現(xiàn)使∠BCA緩慢變小，直到桿BC接近豎直桿AC。此過程中，輕桿B端所受的力（ ）

A.大小不變 B.逐漸增大

C.逐漸減小 D.先減小后增大

答案：

1.解析：以O(shè)點(diǎn)位研究對象，處于平衡裝態(tài)，根據(jù)受力平衡，有：

由圖可知，繩子OB上的拉力逐漸減小，OA上的拉力先減小后增大，故ABC錯(cuò)誤，D正確。

故選D。

2.解析：小球受重力、斜面彈力F1和擋板彈力F2，將F1與F2合成為F，如圖

小球一直處于平衡狀態(tài)，三個(gè)力中的任意兩個(gè)力的合力與第三個(gè)力等值、反向、共線，故F1和F2合成的合力F一定與重力等值、反向、共線。

從圖中可以看出，當(dāng)擋板繞O點(diǎn)逆時(shí)針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中，F(xiàn)1越來越小，F(xiàn)2先變小，后變大；

3.解析：對球體進(jìn)行受力分析，然后對平行四邊形中的矢量G和N1進(jìn)行平移，使它們構(gòu)成一個(gè)三角形，如圖的左圖和中圖所示。

由于G的大小和方向均不變，而N1的方向不可變，當(dāng)β增大導(dǎo)致N2的方向改變時(shí)，N2的變化和N1的方向變化如圖中的右圖所示。

顯然，隨著β增大，N1單調(diào)減小，而N2的大小先減小后增大，當(dāng)N2垂直N1時(shí)，N2取極小值，且N2min=Gsinα。

4.解析：以B點(diǎn)為研究對象，受力分析如圖所示。由幾何知識得△ABC與矢量三角形FGFBB相似，則有AC：BC=FG：FB.由共點(diǎn)力的平衡條件知FA、FB的合力FG=G大小不變，又AC、BC均不變，故FB不變，可知輕桿B端受力不變。故選A。