淺談任意角的三角函數(shù)的定義

丁南麗

1.角的有關概念

（1）從運動的角度看，角可分為正角、負角和零角。

（2）從終邊位置來看，角可分為象限角與軸線角。

（3）若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為β=2kπ+α，kZ。

2.弧度與角度的互化

我們現(xiàn)在學習的是任意角，如何判斷角度以及對應三角函數(shù)的符號，我們引入了單位圓。

1.任意角的三角函數(shù)

（1）定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=（x≠0）。

（2） 幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是（1，0）。如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線。

1.角可以任意大，不受周角限制 2.角有正負之分，由旋轉(zhuǎn)方向決定 3.還有零角， 一條射線，沒有旋轉(zhuǎn)。要點闡釋 任意角的三要素：題型一 ：鐘表走了兩個半小時，，分針所轉(zhuǎn)的角度是多少？角的符號主要由旋轉(zhuǎn)方向決定角。題型二： 比較下面三個角的大小 根據(jù)角的符號判斷規(guī)律。誤區(qū)解密：下列四個命題中，正確的是（ ） A.第一象限的角必是銳角。（學生這方面犯錯比較多，初中主要學的是銳角，特別是特殊角。） B.銳角必是第一象限的角。C.終邊相同的角必相等。（從橫軸正方向開始，逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角是正角，多轉(zhuǎn)一圈多360°。） D.第二象限的角必大于第一象限的角。錯解：D 錯誤分析：在象限角中，做題的時候往往容易忽略 任意角的存在。正解：B。銳角必是第一象限的角 糾錯心得： 對于任意角的概念理解非常重要，尤其是角的旋轉(zhuǎn)方向。初中對于角的認識只限于0 ° ——360°，在剛接觸任意角時容易忽略任意角的方向，任意角的旋轉(zhuǎn)方向是有始邊到終邊決定的。注意： 任意角是有方向的，角的正負由旋轉(zhuǎn)方向決定 任意角的大小事沒有限制的，角可以任意大小，絕對值大小由旋轉(zhuǎn)次數(shù)及終邊位置決定 描述任意角時需要注意三個要素，尤其是旋轉(zhuǎn)方向。（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量。）

借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)的定義。根據(jù)三角函數(shù)的定義，能夠判斷三角函數(shù)值的符號。通過學生積極參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力，從中感悟數(shù)學概念的嚴謹性與科學性。單位圓對于學生理解任意角三角函數(shù)的正負有極大的幫助。當一個角出現(xiàn)時，我們首先判斷它的象限，利用單位圓的知識很方便。現(xiàn)實世界中的許多運動變化都有循環(huán)往復、周而復始的現(xiàn)象，這種變化規(guī)律稱為周期性。如何用數(shù)學的方法來刻畫這種變化？我們要來學習刻畫這種規(guī)律的數(shù)學模型之一 ——三角函數(shù)。

三角函數(shù)是與角有關的函數(shù)，在學習任意角概念時，我們知道在直角坐標系中研究角，可以給學習帶來許多方便，比如我們可以根據(jù)角終邊的位置把它們進行歸類，現(xiàn)在大家考慮：若在直角坐標系中來研究銳角，則銳角三角函數(shù)又可怎樣定義呢？

學生情況估計：學生可能會提出兩種定義的方式，一種定義為邊之比，另一種定義在比值中引入了終邊上的一點P的坐標。

問題：1.銳角三角函數(shù)能否表示成第二種比值方式？

2.點P能否取在終邊上的其它位置？為什么？

3.點P在哪個位置，比值會更簡潔？符號決定于什么？橫軸和縱軸決定什么？（引出單位圓的定義）。指出sina=MP的函數(shù)依舊表示一個比值，不過其分母為1而已。

三角函數(shù)首先是函數(shù)。你能從函數(shù)觀點解析三角函數(shù)嗎？（定義域）

對于確定的角a，上面三個函數(shù)值都是唯一確定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。由于角的集合和實數(shù)集之間可以建立一一對應的關系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)。

新教材的教學理念之一是讓學生去體驗新知識的發(fā)生過程，首先，角的概念推廣了，那么銳角三角函數(shù)的定義是否也該推廣到任意角的三角函數(shù)的定義呢？通過這個問題，讓學生體會到新知識的發(fā)生是可能的，自然的。

其次，到底應該怎樣去合理定義任意角的三角函數(shù)呢？讓學生提出自己的想法，同時讓學生去辨證這個想法是否是科學的？因為一個概念是嚴謹?shù)?，科學的，不能隨心所欲地編造，必須去論證它的合理性，至少這種概念不能和銳角三角函數(shù)的定義有所沖突。在這個過程中，讓學生去體驗一個新的數(shù)學概念可能是如何形成，在形成的過程中可以從哪些角度加以科學的辯思。這樣也有助于學生對任意角三角函數(shù)概念的理解。理解了單位圓的概念，我們判斷三角函數(shù)的符號及特殊角容易多了。

再次，讓學生充分體會在任意角三角函數(shù)定義的推廣中，是如何將直角三角形這個“形”的問題，轉(zhuǎn)換到直角坐標系下點的坐標這個“數(shù)”的過程的。培養(yǎng)數(shù)形結合的思想。我們引導學生從以前的銳角和鈍角的知識擴充到任意角，依靠單位圓和特殊角的三角函數(shù)求解任意角。學生在自己的腦子里應該有單位圓的圖形，把角化成0°——360°的范圍后，就可以用單位用的知識判斷角的符號。剛判斷是容易忽略角的方向，我們規(guī)定逆時針方向為正角，順時針方向為負角，把四個象限的角分正角和負角找出范圍，就可以判斷角的象限。學生理解了任意角對于三角函數(shù)非常重要。計算三角函數(shù)的值方便快捷、準確。