具有尺度結(jié)構(gòu)的種群系統(tǒng)的最優(yōu)生育率控制

田 雪,辛大偉

阜陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽阜陽(yáng),236037

具有尺度結(jié)構(gòu)的種群系統(tǒng)的最優(yōu)生育率控制

田 雪,辛大偉

阜陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽阜陽(yáng),236037

研究了一類周期環(huán)境中具有尺度結(jié)構(gòu)的種群系統(tǒng)的最優(yōu)生育率控制問題。運(yùn)用Mazur定理證明了最優(yōu)生育率控制的存在性。利用J.L.Lions的變分不等式理論,給出了生育率控制為最優(yōu)的必要條件,得到了由積分-偏微分方程和變分不等式構(gòu)成的最優(yōu)性組。

生育率控制；尺度結(jié)構(gòu)；最優(yōu)條件

1 建立模型

生物種群系統(tǒng)控制問題關(guān)系著生態(tài)的平衡和經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)發(fā)展。許多學(xué)者從事這方面的研究，并取得了一些重要成果[1-9]。文獻(xiàn)[2]討論了時(shí)變種群系統(tǒng)最優(yōu)生育率控制問題，文獻(xiàn)[3]研究了基于時(shí)滯和年齡分布的種群系統(tǒng)的生育率控制問題，文獻(xiàn)[4]討論了帶有尺度結(jié)構(gòu)的捕食-被捕食系統(tǒng)的最優(yōu)收獲問題，文獻(xiàn)[5-6]研究了周期環(huán)境中基于個(gè)體尺度的種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲問題。其中，文獻(xiàn)[6]采用收獲率(例如漁業(yè)中的捕獲率)作為控制變量,證明了存在最優(yōu)收獲率，在此前提下，能使系統(tǒng)種群密度盡可能接近理想分布。為了研究生育率對(duì)種群發(fā)展的影響，本文選取生育率作為控制變量，考慮下列數(shù)學(xué)模型所描述的種群系統(tǒng)(P)。

其中，p(x,t)為t時(shí)刻尺度為x的種群密度；l是個(gè)體不能超過的最大尺度；T是系統(tǒng)演變周期；Q=(0,l)×[0,+∞);μ(x,t)和V(x,t)分別是種群死亡率和尺度增長(zhǎng)率；f(x,t)是外界向環(huán)境內(nèi)的輸入率；β(x,t)是種群生育率，它是系統(tǒng)(P)的控制量，稱為生育率控制。顯然,系統(tǒng)(P)的解p(x,t)依賴于控制量β(x,t)，因此也把p(x,t)記為p(x,t;β)，簡(jiǎn)記為p(β)或pβ。

設(shè)Zd(x,t)是種群密度的理想分布，人們希望通過對(duì)生育率β的控制，使種群密度p(x,t;β)盡可能地接近Zd(x,t)。為此，選取性能指標(biāo)泛函：

(1)

注意到該性能指標(biāo)泛函中種群的密度函數(shù)p(x,t)依賴于控制量生育率β(x,t),而文獻(xiàn)[6]中性能指標(biāo)泛函中種群的密度函數(shù)是依賴于收獲率的。實(shí)際問題可以抽象為如下的數(shù)學(xué)問題：求滿足等式

(2)

的β*∈Uad。其中，p(x,t;β)是系統(tǒng)(P)的解，生育率β∈Uad，容許控制集

(3)

本文假設(shè)各項(xiàng)參數(shù)滿足如下條件：

(H3)f∈L∞(Q),f(x,t)≥0且f(x,t)=f(x,t+T),a.e.(x,t)∈Q

為了方便下文討論，引入如下定義和結(jié)果。

由文獻(xiàn)[5]，易得下列命題：

命題2設(shè)p1(x,t),p2(x,t)分別是系統(tǒng)(P)對(duì)應(yīng)β1(x,t),β2(x,t)的解，若0≤β1(x,t)≤β2(x,t)a.e.inQ，則p1(x,t)≤p2(x,t)a.e.inQ。

2 最優(yōu)生育率控制的存在性

引理1設(shè)p1(x,t),p2(x,t)為系統(tǒng)(P)的解，對(duì)任意的0<λ<1有

證明設(shè)p1(x,t),p2(x,t)為系統(tǒng)(P)的解，對(duì)任意的0<λ<1有

(4)

(5)

(6)

(7)

利用(5)～(7)式可得：

(8)

現(xiàn)在證明：p*=pβ*,a.e.inQ。

在(8)中令n→∞取極限在弱解的意義下有：

根據(jù)系統(tǒng)(P)解的唯一性得p*=pβ*。

接下來證明β*為最優(yōu)控制。一方面根據(jù)引理1，易證

(9)

3 必要條件和最優(yōu)性組

設(shè)β∈Uad，p(x,t;β)為系統(tǒng)(P)的解，p(β)在β*處沿方向(β-β*)的G-微分[10]記為:

(10)

引進(jìn)記號(hào):

(11)

由于Uad是凸集，所以當(dāng)β*,β∈Uad時(shí)，βλ∈Uad，用pλ和p*分別表示系統(tǒng)(P)中當(dāng)β=βλ，β=β*時(shí)的解，將所得方程對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減，兩端再除以λ>0，令λ→0+取極限，注意到定義式(10)，可推得

(12)

下面證明生育率控制β∈Uad為最優(yōu)的必要條件。

定理2 設(shè)β*∈Uad是系統(tǒng)(P)關(guān)于問題(2)的最優(yōu)生育率控制，則β*∈Uad滿足下面的不等式：

(13)

證明對(duì)于任意的β∈Uad和0<λ<1，有：

βλ(x,t)=β*(x,t)+λ[β(x,t)-β*(x,t)]=λβ(x,t)+(1-λ)β*(x,t)∈Uad

又因?yàn)棣?∈Uad是系統(tǒng)(P)的最優(yōu)生育率控制，所以J(βλ)-J(β*)≥0。注意到性能指標(biāo)泛函J(β)的定義式(1)和式(10)，由極限的保號(hào)性可以推得

由此式(13)得證。

為了變換不等式(13)，引入伴隨狀態(tài)q(x,t;β*)

(14)

設(shè)z(x,t)是方程組(12)的解，用z(x,t)乘(14)的第一個(gè)等式并在(0,T)×(0,l)上積分得到

(15)

對(duì)第一項(xiàng)和第二項(xiàng)應(yīng)用分部積分公式并注意(12)、(14)式，有

(16)

將方程組(12)的第一個(gè)方程代入得

(17)

由(13)式得

(18)

綜上所述，可以得到：

[1]Liu Yan,HE Ze-rong.Behavioral analysis of a nonlinear three-staged population model with age-size-structure[J].Applied Mathematics and Computation,2014,227:437-448

[2]李健全，陳任昭．年齡相關(guān)的種群系統(tǒng)的最優(yōu)生育率控制[J]．生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，21(2)：191-203

[3]甄潔，趙春．基于時(shí)滯和年齡結(jié)構(gòu)的種群系統(tǒng)的最優(yōu)生育率控制[J]．信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，27(2)：157-161

[4]劉炎，何澤榮．具有Size結(jié)構(gòu)的捕食種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲策略[J]．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2012，32(1)：90-102

[5]何澤榮，劉榮，劉麗麗．周期環(huán)境中基于個(gè)體尺度的種群模型的最優(yōu)收獲策略[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014，37(1)：145-159

[6]何澤榮，劉榮，劉麗麗．模擬周期環(huán)境和尺度結(jié)構(gòu)的種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲率[J]．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2014，34(3)：684-690

[7]趙春，王綿森，趙平．一類種群系統(tǒng)的適定性及最優(yōu)收獲問題[J]．系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2005，25(1)：1-12

[8]付軍，李健全，陳任昭．年齡相關(guān)的種群空間擴(kuò)散系統(tǒng)的廣義解與收獲控制[J]．控制理論與應(yīng)用，2005，22(4)：588-596

[9]He Ze-rong,Liu Yan.An optimal birth control problem for a dynamical population model with size-structure[J].Nonlinear Analysis-Real World Applications,2012,13(3):1369-1378

[10]趙義純．非線性泛函分析及其應(yīng)用[M]．北京：高等教育出版社，1989：15-16

(責(zé)任編輯：汪材印)

10.3969/j.issn.1673-2006.2016.03.025

2015-12-15

安徽省高校省級(jí)自然科學(xué)研究一般項(xiàng)目“復(fù)形范疇中的Gorenstein 同調(diào)理論”(2014KJ004)；阜陽(yáng)師范學(xué)院科學(xué)研究項(xiàng)目“復(fù)形范疇中的相對(duì)同調(diào)”(2013FSKJ13)。

田雪(1980-)，女，吉林省吉林市人，碩士，講師，主要研究方向：分布參數(shù)系統(tǒng)控制。

O231.4

A

1673-2006(2016)03-0096-04