頁巖氣不穩(wěn)定滲流壓力傳播規(guī)律和數(shù)學模型

朱維耀，亓倩，馬千，鄧佳，岳明，劉玉章

（1.北京科技大學土木與環(huán)境工程學院；2.中國石油勘探開發(fā)研究院）

頁巖氣不穩(wěn)定滲流壓力傳播規(guī)律和數(shù)學模型

朱維耀1，亓倩1，馬千1，鄧佳1，岳明1，劉玉章2

（1.北京科技大學土木與環(huán)境工程學院；2.中國石油勘探開發(fā)研究院）

利用穩(wěn)定狀態(tài)依次替換法，研究了頁巖基質(zhì)儲集層內(nèi)壓力擾動的傳播規(guī)律，得到動邊界隨時間變化的關系，考慮解吸、擴散、滑移作用及動邊界的影響，建立了頁巖氣不穩(wěn)定滲流數(shù)學模型。采用拉普拉斯變換，求解了內(nèi)邊界定產(chǎn)、外邊界為動邊界條件下的不穩(wěn)定滲流壓力特征方程。結合中國南方某海相頁巖氣藏儲集層參數(shù)，應用MATLAB編程，計算分析了頁巖氣不穩(wěn)定滲流壓力特征及其影響因素。研究表明：頁巖氣開采過程中，壓力傳播具有動邊界效應，動邊界隨時間延續(xù)向外傳播，且傳播速度逐漸減慢；動邊界使壓力傳播速度變慢，儲集層壓力下降減緩；頁巖氣解吸使壓力傳播速度減慢，地層壓力下降減緩；擴散系數(shù)越大，地層壓力下降越慢，且擴散系數(shù)影響逐漸減小。在氣藏開采過程中，擴散、滑移對產(chǎn)氣量貢獻逐漸增加，占主要地位；滲流及解吸對產(chǎn)氣量貢獻逐漸減小后趨于平穩(wěn)。圖9參18

頁巖氣；不穩(wěn)定滲流；壓力傳播規(guī)律；數(shù)學模型；動邊界

0 引言

頁巖氣具有多尺度流動的特征，并以吸附、游離或溶解狀態(tài)賦存于納米—微米級頁巖孔隙及裂縫中，氣體產(chǎn)出機理主要為解吸、擴散、滑移等，為低速強非線性滲流[1-5]；PASCAL[6]和劉慈群等[7-8]認為：低滲透油藏滲流具有啟動壓力梯度，壓力擾動的傳播并非瞬時到達無窮遠，其滲流規(guī)律就是一個動邊界問題；頁巖儲集層具有與低滲油藏類似的動邊界壓力傳播特性；壓力方程的建立和求解較難，考慮動邊界問題則更難，至今尚未見這方面的研究報道。雖然目前國內(nèi)外對頁巖氣開發(fā)的研究已進入快速發(fā)展階段，然而由于頁巖氣儲集層條件復雜，對頁巖氣滲流和產(chǎn)能遞減規(guī)律的研究，大多數(shù)研究成果給出的僅是頁巖氣滲流規(guī)律及其影響因素，盡管也有部分文獻提出了具體的滲流方程，但考慮的因素尚少[9-12]，方程過于簡化，難于更好地反映頁巖氣的低速強非線性滲流規(guī)律。為此，有必要揭示其頁巖氣的非線性流動規(guī)律，研究頁巖氣不穩(wěn)定滲流特征，以便選取合理有效的開發(fā)方式和增產(chǎn)手段，為頁巖氣開發(fā)提供理論依據(jù)。

本文基于壓力傳播的穩(wěn)定狀態(tài)依次替換法對頁巖氣滲流動邊界問題進行研究，進而建立考慮解吸、擴散、滑移及動邊界影響的頁巖氣不穩(wěn)定滲流數(shù)學模型，并推導和求解。結合中國南方某海相頁巖儲集層參數(shù)，分析頁巖氣不穩(wěn)定滲流壓力特征及其影響因素。

1 頁巖氣壓力傳播規(guī)律

在解決不穩(wěn)定滲流壓力動態(tài)的問題時，可以把不穩(wěn)定滲流過程的每一瞬間狀態(tài)看作是穩(wěn)定的，這種方法稱為穩(wěn)定狀態(tài)依次替換法[13]。

當頁巖氣投入開發(fā)、頁巖儲集層被打開后，形成的壓力降將逐漸向外傳播，設某時刻t，壓力降傳到R(t)處，在R(t)范圍內(nèi)形成壓降漏斗，R(t)即為滲流過程中的擾動邊界。R(t)隨時間逐漸增大，壓力降波及到的邊緣為條件影響邊緣，在該邊緣上壓力等于原始地層壓力。

1.1 非線性滲流對動邊界的影響

頁巖儲集層非常致密，主要為納米—微米級孔隙，管壁和流體之間的微觀作用力使氣體在納米—微米孔隙中流動時出現(xiàn)類似油藏啟動壓力梯度現(xiàn)象。頁巖氣的流動不僅有滲流過程，還存在擴散、滑移、解吸流動，氣體流動總體表現(xiàn)為非線性流動，流動阻力比常規(guī)天然氣大?；撔郊恿艘环N滑脫動力，但在驅(qū)動力小于氣固間吸附作用所產(chǎn)生的阻力后，氣體同樣不能流動，即壓力傳播具有一定的動用范圍。因此在不穩(wěn)定滲流過程中壓力擾動隨時間延續(xù)逐漸向外傳播，其邊界條件也是一個動邊界問題。

對于納米—微米孔隙頁巖儲集層，氣體在其中流動時，由于儲集層滲透率極低，流動已偏離達西定律，擴散、滑移作用對儲集層內(nèi)氣體流動影響增加。朱維耀等[14]建立了考慮擴散、滑移的納米—微米孔隙氣體流動方程：

則任一瞬間，地層壓力為：

如圖1所示，在地層中半徑為r處取出厚度為h，寬度為dr的微小圓環(huán)體，其體積為2πrhdr，此單元體中游離態(tài)氣體的原始質(zhì)量為2πrhφiρidr。在給定時刻t，該單元體中殘留氣體質(zhì)量為2πrhφρdr，因此，從單元體孔隙中采出的游離態(tài)氣體質(zhì)量為2πrh(φiρi-φρ)dr。

圖1 頁巖氣平面徑向流示意圖

考慮吸附態(tài)氣體的解吸，采出的總氣體量為：

代入氣體狀態(tài)方程，聯(lián)立（2）式、（3）式進一步求得：

氣井流量按穩(wěn)定滲流公式可寫為：

假設頁巖氣井采用定產(chǎn)量生產(chǎn)，即qsc1為常數(shù)，則，聯(lián)立（4）式、（5）式可得：

由此得出頁巖儲集層壓力擾動傳播動邊界隨時間變化的關系為：

中國南方下志留統(tǒng)龍馬溪組海相頁巖C氣藏孔隙度為0.07，絕對滲透率0.000 5×10-3μm2；地層溫度396.15 K，標準狀態(tài)下氣體壓縮因子為1，真實氣體壓縮因子0.89；氣體黏度0.027 mPa·s；外邊界壓力24 MPa；井筒半徑0.1 m；氣藏厚度30.5 m；平均解吸量3.370 7×10-10kg/(m3·s)；擴散系數(shù)8.406 7×10-7cm2/s，定產(chǎn)量200 m3/d。

利用C氣藏基本參數(shù)，采用（7）式繪制不同滲透率條件下頁巖氣儲集層動邊界隨時間變化關系圖。由圖2可見，同一時刻，滲透率越大，壓力擾動傳播動邊界越遠。在生產(chǎn)初期，壓力擾動傳播邊界擴展較快，隨著生產(chǎn)時間的延續(xù)，傳播速度逐漸減慢。當滲透率大于0.5×10-3μm2時，壓力快速傳播到動邊界；當滲透率小于等于0.5×10-3μm2時，壓力隨著時間的推進逐漸向外傳播，因此頁巖儲集層中壓力傳播需考慮動邊界的影響。

圖2 不同滲透率條件下動邊界隨時間變化關系

1.2 頁巖儲集層壓力傳播動邊界問題

部分學者認為在低滲透氣藏滲流問題中，由于啟動壓力梯度的影響，壓力并不是瞬間傳播到無窮遠，而是隨著時間的推進逐漸向外傳播，壓力的傳播邊界稱之為動邊界。分析啟動壓力梯度和非線性滲流對壓力傳播邊界的影響，認為只有在外加壓力梯度大于啟動壓力梯度時，氣體才發(fā)生流動。在頁巖氣開采過程中，由于啟動壓力梯度的存在，壓力傳播存在一定的范圍。建立考慮啟動壓力梯度的穩(wěn)態(tài)徑向流常微分方程及其內(nèi)邊界定產(chǎn)、外邊界定壓的邊界條件：

求解得到啟動壓力梯度下頁巖儲集層中直井穩(wěn)態(tài)滲流表達式：

地層中采出的總氣體量：

將（10）式代入考慮啟動壓力梯度的頁巖儲集層直井穩(wěn)態(tài)滲流表達式（（9）式），得頁巖氣儲集層壓力擾動傳播動邊界隨時間變化的關系為：

當Gt→0時，即得到不考慮啟動壓力梯度的頁巖儲集層壓力擾動傳播動邊界與時間的變化關系：

圖3為不同啟動壓力梯度下動邊界隨時間變化關系?？梢姡谕粫r刻，啟動壓力梯度越大，壓力擾動傳播動邊界越小。

圖3 不同啟動壓力梯度下動邊界隨時間變化關系

2 頁巖氣不穩(wěn)定滲流模型及求解

頁巖氣在儲集層中的流動包括3個過程：甲烷從頁巖基質(zhì)表面解吸；甲烷通過頁巖基質(zhì)和微孔隙流動；甲烷在裂縫系統(tǒng)流動。本文考慮頁巖儲集層氣體解吸、擴散、滑移等非線性滲流特征在不穩(wěn)定滲流過程中對壓力擾動傳播動邊界的影響，利用壓力傳播的穩(wěn)定狀態(tài)依次替換法，建立頁巖氣不穩(wěn)定滲流模型，并進行推導和求解。

2.1 頁巖氣吸附-解吸模型

通過吸附-解吸實驗得到不同平衡壓力下頁巖吸附-解吸過程的含氣量變化。將得到的實驗結果與吸附-解吸模型對比，結果表明，Langmuir模型擬合程度很高且形式簡單，適于描述頁巖氣的吸附過程[15]。

Langmuir吸附模型[15]的數(shù)學表達式如下：

考慮瞬時平衡條件，解吸量可以表示為：

2.2 頁巖氣不穩(wěn)定滲流模型

在考慮解吸、擴散、滑移作用的頁巖氣非線性滲流方程基礎上[16-17]，基于天然氣滲流的連續(xù)性方程、運動方程和狀態(tài)方程，考慮不穩(wěn)定滲流過程中壓力擾動傳播動邊界的影響，引入動邊界的模型，建立頁巖氣儲集層不穩(wěn)定滲流控制方程：

引入擬壓力函數(shù)，并定義如下：

由（15）式、（17）式得到用擬壓力表示的頁巖氣不穩(wěn)定滲流的基本微分方程：

則（18）式可轉(zhuǎn)換為：

2.3 頁巖氣不穩(wěn)定滲流模型求解

當頁巖氣直井以某一恒定產(chǎn)量生產(chǎn)時，內(nèi)邊界定產(chǎn)，外邊界定壓，受動邊界影響，泄壓半徑為當前時刻壓力擾動傳播到的距離，則其定解條件如下：

為方便求解，將（23）式用無因次量表示，無因次距離：

無因次擬時間：

無因次擬壓力：

無因次流量：

則（23）式可化為：

引入拉普拉斯變換函數(shù)：

則（28）式變換為：

代入對應的定解條件：

經(jīng)過逆變換，求得地層任意一點壓力變化規(guī)律為：

其中βn為下式第n個正根：

當r=rw時，得井底壓力變化規(guī)律：

3 頁巖氣不穩(wěn)定滲流儲集層壓力分布特征

根據(jù)前面推導出的考慮解吸、擴散的頁巖氣不穩(wěn)定滲流壓力分布規(guī)律，結合C氣藏參數(shù)，應用MATLAB編程計算，對頁巖氣不穩(wěn)定滲流壓力分布及其影響因素進行分析。

圖4為不同時間地層壓力分布曲線。由圖可見，隨著生產(chǎn)時間的延長，地層壓力逐漸向外傳播。在動邊界影響范圍內(nèi)，頁巖氣儲集層及氣體釋放彈性能，形成一個壓降漏斗。動邊界影響范圍以外的地區(qū)，由于沒有壓力擾動，氣體并不流動，且動邊界的傳播速度逐漸減慢。

圖5為不同產(chǎn)量條件下井底壓力隨時間變化曲線。由圖可見，井底壓力隨時間增加而降低，且減小趨勢逐漸減緩，在前50 d，井底流壓下降較快。同一時刻，產(chǎn)量越大，地層壓力下降越多。

圖4 不同生產(chǎn)時間地層壓力分布曲線

圖5 不同產(chǎn)氣量條件下井底壓力隨生產(chǎn)時間變化曲線

圖6為動邊界對地層壓力分布的影響。由圖可見，考慮動邊界影響時，壓力擾動范圍減小，地層壓力分布下降減緩。對于超致密的納微米孔隙頁巖儲集層，壓力擾動隨時間逐漸向外傳播，且速度較慢，因此，考慮動邊界影響的壓力分布更貼近實際，更能準確地指導頁巖氣的生產(chǎn)。

圖6 動邊界對地層壓力分布的影響

圖7為解吸量對地層壓力分布的影響。由圖可見，考慮解吸量時地層壓力較高，吸附氣體的解吸使地層壓力傳播速度減慢，地層壓力下降減緩。

圖7 解吸氣體對地層壓力分布的影響

圖8為擴散系數(shù)對地層壓力分布的影響。由圖可見，定產(chǎn)條件下，在動邊界影響范圍內(nèi)，擴散系數(shù)越大，地層壓力下降越慢，且擴散系數(shù)的影響逐漸減小。

圖9為解吸、滲流、擴散、滑移及對產(chǎn)氣量貢獻率。由圖可見，擴散、滑移在頁巖氣藏開采過程中占主要地位。在氣藏開采過程中，隨著開采的進行，滲流及解吸對產(chǎn)氣量的貢獻逐漸減小后趨于平穩(wěn)，而擴散、滑移的貢獻逐漸增加。生產(chǎn)初期，頁巖氣藏壓降較小，基質(zhì)中的游離氣滑移、擴散，對產(chǎn)氣量的貢獻逐漸增加；隨著生產(chǎn)的進行，解吸氣不斷釋放，貢獻逐漸趨于平穩(wěn)。

圖8 擴散系數(shù)對地層壓力分布的影響

圖9 滲流、解吸、擴散、滑移對產(chǎn)氣量的貢獻率

4 結論

基于頁巖氣吸附-解吸模型及納米—微米孔隙氣體流動模型，建立了考慮解吸、擴散、滑移的頁巖氣不穩(wěn)定滲流數(shù)學模型。引入擬壓力、擬時間函數(shù)及天然氣擴散、解吸壓縮系數(shù)，得到了頁巖氣不穩(wěn)定滲流控制方程。

利用穩(wěn)定狀態(tài)依次替換法推導了考慮解吸、擴散、滑移的頁巖氣儲集層壓力擾動傳播動邊界隨時間變化的關系式。研究表明，動邊界隨時間增加逐漸增大，滲透率越大，動邊界傳播越遠。

通過拉普拉斯變換，推導求解了內(nèi)邊界定產(chǎn)、外邊界為動邊界的頁巖氣儲集層不穩(wěn)定滲流壓力特征方程，得出了井底壓力變化規(guī)律。結合中國南方某海相頁巖氣藏參數(shù)，計算分析了頁巖氣不穩(wěn)定滲流儲集層壓力分布及其影響因素。研究結果表明，地層壓力分布在動邊界影響范圍內(nèi)形成壓降漏斗，在動邊界影響范圍以外，沒有壓力擾動，氣體并不流動；動邊界隨時間向外傳播，且傳播速度逐漸減慢。井底壓力隨時間增加而降低，且降低趨勢逐漸減緩。與不考慮動邊界的壓降曲線對比，考慮動邊界影響的地層壓力傳播慢，壓力下降減緩。氣體解吸擴散影響壓力的傳播速度，解吸使壓力傳播速度減慢，地層壓力下降減緩；擴散系數(shù)越大，地層壓力下降越慢，且擴散系數(shù)的影響逐漸減小。在氣藏開采過程中，擴散、滑移對產(chǎn)氣量的貢獻逐漸增加，且占主要地位；滲流及解吸對產(chǎn)氣量的貢獻逐漸減小后趨于平穩(wěn)。用本模型方法描述頁巖氣儲集層的壓力分布特征更符合實際。

符號注釋：

a——與努森數(shù)Kn有關的修正系數(shù)（當0≤Kn＜0.001，a=0；0.001≤Kn＜0.1，a=1.2；0.1≤Kn＜10，a=1.34）；C——氣體的等溫壓縮系數(shù)，Pa-1；Cd——解吸壓縮系數(shù)，Pa-1；Ck——擴散壓縮系數(shù)，Pa-1；Ct*——綜合壓縮系數(shù)，Pa-1；DK——擴散系數(shù)，m2/s；Ei——冪積分函數(shù)；G——啟動壓力梯度，Pa/m；h——氣層厚度，m；I0——零階第一類虛變量貝塞爾函數(shù)；I1——一階第一類虛變量貝塞爾函數(shù)；J0——零階第一類貝塞爾函數(shù)；J1——一階第一類貝塞爾函數(shù)；K0——儲集層絕對滲透率，m2；K0——零階第二類虛變量貝塞爾函數(shù)；K1——一階第二類虛變量貝塞爾函數(shù)；m——擬壓力函數(shù)，Pa/s；p——儲集層壓力，Pa；pa——某一已知壓力，Pa；pe——外邊界壓力，Pa；pL——Langmuir壓力，表示吸附量為最大吸附量一半時的壓力，Pa；psc——標準壓力，Pa；pw——內(nèi)邊界壓力，Pa；qd——單位體積頁巖單位時間的解吸量，kg/（m3·s）；Qsc——地層中采出的總氣體量，m3；qsc1——標準條件下氣井流量，m3/s；qsc2——啟動壓力梯度影響標準條件下氣井流量，m3/s；r——距井筒距離，m；re——氣井供給半徑，m；rw——井筒半徑，m；R（t）——動邊界，m；R1（t）——微尺度效應影響動邊界，m；R2（t）——啟動壓力梯度影響動邊界，m；s——拉普拉斯算子；t——生產(chǎn)時間，s；ta*——擬時間，s；T——地層溫度，K；Tsc——標準狀態(tài)下溫度，K；v——氣體滲流速度，m/s；Vd——單位體積基質(zhì)累計解吸量，m3/m3；VE——氣體的吸附量，m3/m3；VL——Langmuir體積，表示最大吸附量，m3/m3；x——滲流距離，m；Y0——零階第二類貝塞爾函數(shù)；Y1——一階第二類貝塞爾函數(shù)；Z——氣體壓縮因子，無因次；Zsc——標準狀態(tài)下氣體壓縮因子，無因次；μ——氣體黏度，Pa·s；ρ——氣體密度，kg/m3；ρgsc——標準狀態(tài)下氣體密度，kg/m3；φ——儲集層孔隙度，f；Ψ——非線性擬壓力函數(shù)，Pa/s；——拉普拉斯變換非線性擬壓力函數(shù)，Pa/s；Ψw——井底非線性擬壓力，Pa/s。下標：D——無因次；i——原始地層條件；w——井底。

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（編輯 郭海莉）

Unstable seepage modeling and pressure propagation of shale gas reservoirs

ZHU Weiyao1,QI Qian1,MA Qian1,DENG Jia1,YUE Ming1,LIU Yuzhang2
(1.Civil and Environmental Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China; 2.PetroChina Research Institute of Petroleum Exploration & Development,Beijing 100083,China)

Pressure disturbance propagation was investigated using the steady state replacement method,the relationship between moving boundary and time was obtained.An unstable seepage model in shale gas reservoirs was established considering the effects of desorption,diffusion,slip and moving boundary.Using Laplace transform,the pressure characteristics equation was solved for the condition of internal boundary being constant production and outer boundary being the moving boundary.Subsequently,combining the parameters of shale gas in southern China,unstable seepage pressure characteristics and its influence factors of shale gas reservoir were analyzed using MATLAB software.The results indicate that the pressure propagation is characterized by moving boundary effect during shale gas exploitation,which means that moving boundary is propagated outwards with the propagation velocity decreasing gradually.Under the effect of moving boundary or shale gas desorption,the pressure propagation velocity decreases and the reservoir pressure drop slows down.With the increasing of the diffusion coefficient,the reservoir pressure drop slows down and the effect of diffusion coefficient decreases gradually.In the process of gas reservoir exploitation,diffusion and slip contribute more and more to gas production,acting as the dominant factors,while the contribution of flow and desorption level off after decreasing.

shale gas; unstable seepage; pressure propagation law; mathematical model; moving boundary

國家重點基礎研究（973）發(fā)展計劃（2013CB228002）

TE37

A

1000-0747(2016)02-0261-07

10.11698/PED.2016.02.12

朱維耀（1960-），男，遼寧沈陽人，博士，北京科技大學教授，現(xiàn)從事滲流力學、非常規(guī)油氣田開發(fā)方面的研究工作。地址：北京市海淀區(qū)學院路30號，北京科技大學土木與環(huán)境工程學院，郵政編碼：100083。E-mail：weiyaook@sina.corn

2015-07-01

2016-02-20