鏡像延拓EMD方法的改進及其應(yīng)用

李鵬鵬，馮武衛(wèi),2，張玉蓮，王 琴

（1.浙江海洋大學(xué)船舶與機電工程學(xué)院，浙江舟山 316022；2.浙江省近海海洋工程技術(shù)重點實驗室，浙江舟山 316022；3.揚帆集團股份公司，浙江舟山 316101）

鏡像延拓EMD方法的改進及其應(yīng)用

李鵬鵬1，馮武衛(wèi)1,2，張玉蓮1，王 琴3

（1.浙江海洋大學(xué)船舶與機電工程學(xué)院，浙江舟山 316022；2.浙江省近海海洋工程技術(shù)重點實驗室，浙江舟山 316022；3.揚帆集團股份公司，浙江舟山 316101）

希爾伯特黃（Hilbert-Huang）變換是一種自調(diào)節(jié)信號分解方法，通常該方法包括兩部分：經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥mpirical Mode Decomposition，EMD）和希爾伯特變換。由于希爾伯特黃變換理論并不成熟，尤其是該方法存在的“端點效應(yīng)”問題，使其在某些場合應(yīng)用誤差較大。為了解決端點效應(yīng)問題，本文首先從闡述了Hilbert-Huang變換的基本理論、算法、存在的問題及常見的解決方法入手，針對鏡像閉合延拓EMD處理端點效應(yīng)問題時的不足，提出了一種新的鏡像延拓EMD方法。最后利用仿真信號驗證了該方法的有效性，取得了較好的結(jié)果。

Hilbert-Huang變換；經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸?；故障診斷系統(tǒng)

船舶機械設(shè)備運行過程中存在著諸多的非平穩(wěn)信號，例如船用發(fā)動機旋轉(zhuǎn)設(shè)備在升降速過程中的摩擦、基座松動、不對中、裂紋、旋轉(zhuǎn)失速、油膜渦動和油膜振蕩等故障，其軸承徑向振動信號都表現(xiàn)出非平穩(wěn)性。因此對非平穩(wěn)信號處理方法的研究已經(jīng)成為船用機械設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測及故障診斷的研究熱點之一。在1998年，Norden E.Huang等人提出了一種自適應(yīng)的Hilbert-Huang變換信號處理方法，該方法是近年來對以傅立葉變換的基礎(chǔ)的線性和穩(wěn)態(tài)譜分析的一個重要突破。

與其它信號處理方法相似，當(dāng)利用Hilbert變換分解信號時，信號兩端端點效應(yīng)問題較為突出。如果信號序列較長，可以在分解過程中不斷丟棄端點數(shù)據(jù)來確保分解結(jié)果的誤差最小，而如果信號長度較短，上述方法將無法操作。對于上述問題，Norden E.Huang提出了根據(jù)原始信號波對兩端數(shù)據(jù)進行適度延拓以改善端點效應(yīng)的辦法，此方法對減小端點效應(yīng)的影響效果顯著。針對希爾伯特變換中存在的端點效應(yīng)問題，信號處理領(lǐng)域?qū)W者做了深入的研究，提出了許多卓有成效的方法。在2001年，趙進軍等[1]提出了鏡像閉合延拓算法。該算法把原數(shù)據(jù)序列對稱地延拓成一個封閉的環(huán)形數(shù)據(jù)，再對環(huán)形數(shù)據(jù)進行EMD分解。2004年，劉慧婷等[2]運用多項式擬合方法進行信號延拓。該算法利用信號極值點數(shù)據(jù)序列端點處的幾個極值點求出擬合多項式，從而得到極值點序列在端點處的近似值，然后預(yù)測信號的極值包絡(luò)。2005年，鄧擁軍等[3]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)應(yīng)用于信號延拓過程中，通過大量實驗驗證，該算法適應(yīng)性強，抑制端點效應(yīng)效果明顯。然而實際應(yīng)用中，該方法需要根據(jù)不同的信號設(shè)定不同類型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，同時神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計算速度差，學(xué)習(xí)、結(jié)構(gòu)和類型的選擇過分依賴于經(jīng)驗等固有缺陷都限制了該算法的通用性。同年，程軍圣，于德介等[4]提出一種新的延拓算法：基于時變參數(shù)ARMA模型延拓的算法，該算法的基本思想與基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)延拓的算法類似，但該算法在對非線性信號進行延拓時，會產(chǎn)生較大的預(yù)測誤差。

雖然目前已有大量解決端點效應(yīng)的方法，但從實際應(yīng)用結(jié)果上看，端點效應(yīng)仍未得到較理想的解決，而該問題是制約EMD方法分解結(jié)果的精確性，限制希爾伯特黃變換應(yīng)用的的最棘手的問題，因此本文對該問題進行深入的研究，提出一種改善的鏡像延拓方法，通過仿真信號的分析，驗證了本文方法的有效性。本文方法可應(yīng)用于各類旋轉(zhuǎn)機械，如船舶機械、水產(chǎn)加工機械、港口起重機械等各類大型設(shè)備故障檢測與信號處理。

1 EMD方法實現(xiàn)過程

EMD是將信號分解為固有模式函數(shù)集合表示的方法。對任意實信號x(t)進行經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸獾木唧w過程如下：

首先計算出信號x(t)的所有局部極值點，然后連接所有局部極大值點和所有極小值點，連接過程可以采用數(shù)據(jù)擬合的方法，記局部極大值點曲線為上包絡(luò)線fmax(t)和局部極小值點為下包絡(luò)線fmin(t)。記fmax (t)和fmin(t)的平均值為m(t)，x(t)與m(t)的差記作h(t)，即：

在理想情況下，h(t)可以作為一個IMF，因為h(t)的構(gòu)造過程就是使它滿足IMF的兩個條件。但是由于實際信號復(fù)雜性，一般情況下h(t)不是一個平穩(wěn)的數(shù)據(jù)系列。因此將h(t)視為新的x(t)，重復(fù)以上操作，直至當(dāng)h(t)滿足一定的固有模式函數(shù)判據(jù)（如上下包絡(luò)線平均值趨近于零）時，記：

將c1視為一個IMF，再作：

將r(t)視為新的x(t)，重復(fù)上述過程，然后依次獲得第二個IMF和第三個IMF，……。當(dāng)cn或r(t)滿足給定的篩分停止條件（如殘余函數(shù)r(t)足夠小或r(t)成為單調(diào)函數(shù)）時，篩分過程終止，最終分解式可描述為：

式中r(t)稱作殘余函數(shù)，表示信號平均變化趨勢。

EMD程序流程如圖1所示。

圖1 EMD程序流程圖[5]Fig.1 EMD program process chart[5]

2 改進的EMD算法

針對EMD方法存在的端點效應(yīng)問題，目前已有多種解決方法[6-10]。但是EMD目前仍缺少嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明，對分解結(jié)果也缺少評價指標(biāo)，因此仍很難說明何種方法更好。因此本文對該方法加以改進和晚上，提出了一種改進的鏡像延拓EMD處理方法。

本文方法的計算過程如下：①計算原始信號的局部極值；②對新的極值序列進行對稱延拓；③比較原信號的端點與延拓后新的極值點；④針對新生成的序列，以左端點為對稱面進行鏡像延拓；⑤采用上述EMD算法過程進行信號分解；⑥根據(jù)原始信號的起始點位置和長度，對新的信號分解結(jié)果進行截斷。整個算法詳細(xì)的計算過程可描述為：

（1）首先計算原始信號x(n)，n=1，2，……，N的局部極值點，如圖2所示。

圖2 原始信號及其極值點Fig.2 Practical signal and its extremum points

令信號的局部極大值點序列為：

局部極小值點為：

（2）對信號按公式（7）進行極值點對稱延拓，從而得到新的極值點：

（3）對延拓得到的新序列進行修正：

當(dāng)端點值滿足公式(8)，則表示原始信號的端點即為極值點。否則，需要利用新的極點對信號進行鏡像延拓。設(shè)鏡像延拓和處理后信號為xyan(i)，i= 1，2，……，nyan，運算過程中需要保留原始信號在信號中的起點和數(shù)據(jù)長度，分別設(shè)為xstartyan和len。圖3給出了利用本文方法得到的延拓結(jié)果。

（4）采用信號的左端點作為對稱面，按公式(9)對信號進行鏡像延拓，得到用于經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸獾男滦盘杧new(i)，i=1，2，……，nnew：

圖3 信號對稱延拓及修正后得到的新信號xyanFig.3 Obtained new signal xyan by extending and revising

同時，更新原始信號在新信號中的起點位置xstartnew=xstartyan+nyan-2。鏡像延拓結(jié)果如圖4所示。

圖4 信號鏡像延拓結(jié)果Fig.4 Signal mirror extending results

3 仿真信號研究

為了驗證本文的改進鏡像延拓EMD的效果，分別使用以端點為極值點的EMD（以下簡記為NEMD）、鏡像閉合延拓EMD（以下簡記為MEMD）和改進鏡像延拓EMD（以下簡記為IMEMD）三種方法進行分解，對式（10）所示仿真信號進行分析：

式（10）所示仿真信號由三個余弦信號線性疊加組成，采樣率為1。三種方法的分解結(jié)果如圖6所示所示，從圖6所示結(jié)果，可以看出MEMD和IMEMD均分解得到了三階IMF分量，分別對應(yīng)仿真信號中三個余弦信號分量，而NEMD方法只分解得到了兩階IMF分量。且NEMD分解效果不好，而MEMD和IMEMD分解效果均比較好。為了更一步比較MEMD和IMEMD兩種方法的分解效果，將兩種方法的各階IMF分量與仿真信號中的信號分量進行對比，如圖7所示，從圖7可以看出，對第1、2階IMF，在兩個端點處IMEMD均比MEMD翹曲更小，與真實信號分量更接近。對第3階IMF，MEMD得到的結(jié)果是一個單調(diào)信號，不能反應(yīng)出真實信號分量的變化趨勢，而IMEMD能夠反應(yīng)出這種變化趨勢，均為半個周期的正弦型信號，因此IMEMD比MEMD能夠更好的處理端點效應(yīng)問題。為了更進一步的評價分解結(jié)果與真實信號間的誤差，定義相對誤差判據(jù)如式（11）所示。

圖6 三種處理方法分解結(jié)果Fig.6 The results of three processing methods

圖7 MEMD和IMEMD分解結(jié)果對比圖Fig.7 The results of comparing MEMD and IMEMD

其中xi(t)是原始信號中的第i個高頻分量成分，對上面兩種方法的分解結(jié)果分別計算相對誤差得：

從表1中可以看出，IMEMD與MEMD相比，各階IMF與真實信號之間的相對誤差都更小，由此可以看出IMEMD可以更好的削弱端點效應(yīng)對結(jié)果的影響。由于IMEMD在MEMD的基礎(chǔ)上增加了極值點對稱延拓處理，所以端點的位置直接影響到IMEMD的分解結(jié)果，當(dāng)信號的端點滿足式（8）時，表示信號的端點可以直接作為極值點，此時不進行延拓，IMEMD與MEMD相同。為了說明信號的端點對IMEMD分解結(jié)果的影響，下面仍以式（10）所示信號為例，保持右端點不變，左端點起始位置取1～11，使用MEMD和IMEMD進行分析并計算相對誤差，結(jié)果見表2。

限于篇幅，上表只列出了其中的4組分析結(jié)果。從表2可以看出對不同端點位置的信號，IMEMD均比MEMD相對誤差較小。為了便于對比兩種方法的相對誤差，將上表的結(jié)果繪制相對誤差對比圖如圖8所示。

圖8 MEMD和IMEMD分解結(jié)果相對誤差對比Fig.8 The error of comparing MEMD and IMEMD

上圖橫坐標(biāo)為信號的左端點位置，從1到11。從圖8中可以看出，端點位置從1到5時，兩種方法的所得結(jié)果的相對誤差比較接近，IMEMD只比MEMD略好一點。但是端點位置從6開始時，MEMD出現(xiàn)了較大的相對誤差，而IMEMD的相對誤差一直較小。特別是第3階IMF，MEMD的誤差較大，已不能獲得正確的分解結(jié)果。對大量信號進行分析，結(jié)果顯示IMEMD能夠較好的抑制端點效應(yīng)對結(jié)果的影響，尤其是當(dāng)信號端點不是極值點時，IMEMD比MEMD分解結(jié)果更好。

表1 MEMD和IMEMD分解結(jié)果相對誤差Tab.1 The relative error of comparing results with MEMD and IMEMD methods

表2 不同端點位置的信號MEMD和IMEMD分解結(jié)果相對誤差Tab.2 The relative error of MEMD and IMEMD methods with different endpoint location

4 結(jié)論

本文針對EMD的端點效應(yīng)，結(jié)合已有的極值點對稱延拓和鏡像閉合延拓方法，提出了改進鏡像延拓EMD，并以仿真信號對該方法的有效性進行了檢驗，結(jié)果表明該方法能夠較好的解決端點效應(yīng)問題。最后將EMD應(yīng)用于特征信號提取和旋轉(zhuǎn)機械穩(wěn)定性分析，取得了良好的結(jié)果。

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Study of Improved Mirror Extending EMD Method and Application

LI Peng-peng1,FENG Wu-wei1,2,ZHANG Yu-lian1,et al
(1.School of Ship and Mechatronics Engineering,Zhejiang Ocean University,Zhoushan 316022; 2.Key Laboratory of Offshore Engineering Technology of Zhejiang Province,Zhoushan 316022,China)

HHT is presented is an adaptive signal processing method.There are two steps in the HHT, which is Empirical Mode Decomposition (EMD)and Hilbert transform.Because of the HHT theory is not mature,especially it’s boundary effect problem,which will result in large error in some fields.In order to solve the boundary effect problem,this paper firstly introduces the sifting process of the EMD,some problems and solved methods.The Mirror Extending EMD is a method to solve the boundary effect problem of EMD,but there are some problems of this Method.An improved Mirror Extending EMD(IMEMD)is presented by this paper.Then he simulative signal verified the effectiveness of the new method and achieved good results.

Hilbert-Huang Transform;EMD;fault diagnosis system

TH201

A

1008－830X(2016)03－0244－05

2016-03-05

國家自然科學(xué)基金面上項目（51379189）；中央財政支持地方高校發(fā)展專項海洋工程裝備創(chuàng)新團隊資助項目；浙江省科技廳重大專項社會發(fā)展項目（2013C03031）

李鵬鵬（1978-），女，山西運城人，碩士研究生，研究方向：機械故障診斷.

馮武衛(wèi)，男，副教授.E-mail:fengwuwei@163.com