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    撥開(kāi)迷霧 找準(zhǔn)方向
    ——從高三復(fù)習(xí)課《圓錐曲線》一道例題的化簡(jiǎn)方法談起

    2017-01-09 01:11:20張躍紅
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2017年9期
    關(guān)鍵詞:未知量圓錐曲線共線

    張躍紅

    (南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 210003)

    在高三復(fù)習(xí)中,圓錐曲線部分的解答題是讓教師和學(xué)生都比較頭疼的.因?yàn)樵跍y(cè)試中,它并不屬于真正的難題,本應(yīng)該通過(guò)復(fù)習(xí)能取得不錯(cuò)的成績(jī).但事實(shí)上,教師勞心費(fèi)力,收效卻甚微.學(xué)生一旦遇到綜合性題目,往往頭緒萬(wàn)千,深陷其中,而不能自拔,最后無(wú)功而返.那么,如何才能讓學(xué)生盡快理清思路,從“迷霧”中走出?本文結(jié)合高三復(fù)習(xí)課中一道例題的化簡(jiǎn)方法,談一些想法與同行交流.

    1 一個(gè)例題

    如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0). 過(guò)點(diǎn)D(1,0)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),直線A1M與A2N的交點(diǎn)為G.

    圖1

    (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

    (2)求證:點(diǎn)G恒在一條定直線上.

    本題的第(2)問(wèn)是比較常見(jiàn)的問(wèn)題,解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何處理直線與橢圓的交點(diǎn).雖然圓錐曲線的解答題會(huì)涉及到各類(lèi)型的問(wèn)題,比如求值,最值與范圍,定點(diǎn)、定值等等,但歸根結(jié)底都會(huì)與直線和圓錐曲線的交點(diǎn)有關(guān).而事實(shí)上,學(xué)生處理不好圓錐曲線問(wèn)題往往就是因?yàn)椴磺宄恰霸O(shè)點(diǎn)”,“設(shè)直線”,還是“求點(diǎn)”?以至于“東想西想”列出來(lái)一堆式子,而面對(duì)它們又不知道要做些什么,理不清思路,最后只好作罷.

    那么,面對(duì)這樣的問(wèn)題,到底應(yīng)該如何思考?

    2 多種解法

    2.1 直接求

    方法1設(shè)直線A1M的方程為y=k1(x+2),直線A2N的方程為y=k2(x-2).

    消去y得

    解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為

    同理,可解得點(diǎn)N的坐標(biāo)為

    由M,D,N三點(diǎn)共線,

    化簡(jiǎn)得(k2-3k1)(4k1k2+1)=0.

    由題設(shè)可知k1與k2同號(hào),

    所以k2=3k1.

    解得交點(diǎn)G的坐標(biāo)為

    將k2=3k1代入點(diǎn)G的橫坐標(biāo),得

    所以,點(diǎn)G恒在定直線x=4上.

    從方法1的解答過(guò)程中知道,在求M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),聯(lián)立方程組是算了兩次的.能只算一次嗎?

    2.2 以一代二

    方法2設(shè)直線A1M的方程為y=k1(x+2),

    直線A1N的方程為y=k3(x+2),

    直線A2N的方程為y=k2(x-2).

    消去y得

    解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為

    將k1替換成k3,可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為

    化簡(jiǎn)可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為

    下面解法同方法1.

    還有其他解法嗎?

    2.3 設(shè)而不求

    方法3由已知條件,可猜出點(diǎn)G恒在直線x=4上.

    證明如下:顯然,直線MN的斜率為0時(shí)不合題意.

    設(shè)直線MN的方程為x=my+1,

    由點(diǎn)A1,M,G三點(diǎn)共線,有

    再由點(diǎn)A2,N,G三點(diǎn)共線,

    將x1=m y1+1,x2=m y2+1代入①式,

    化簡(jiǎn)得2my1y2-3(y1+y2)=0. ②

    消去x得(m2+4)y2+2m y-3=0,

    從而有

    將其代入②式,有

    所以,當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)時(shí),

    點(diǎn)G恒在定直線x=4上.

    方法3是先將直線MN的位置特殊化(比如垂直于x軸),猜出結(jié)論,再進(jìn)行證明.當(dāng)然,也可以直接證明.

    方法4設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

    直線A1M的方程為,

    直線A2N的方程為

    解得交點(diǎn)G的橫坐標(biāo)

    由M,D,N三點(diǎn)共線,

    化簡(jiǎn)可得y1x2-y2x1=y1-y2,

    將其代入點(diǎn)G的橫坐標(biāo),可得

    代入點(diǎn)G的橫坐標(biāo),

    由點(diǎn)M,N在橢圓上,

    化簡(jiǎn)得

    即x1=x2或2x1x2-5(x1+x2)+8=0.

    當(dāng)x1=x2時(shí),由M,D,N三點(diǎn)共線,

    可知x1=x2=1,與x1≠1且x2≠1矛盾,

    所以2x1x2-5(x1+x2)+8=0.

    當(dāng)x1=x2=1時(shí),可知

    滿足xG=4.

    綜上所述,點(diǎn)G恒在定直線x=4上.

    3 比較分析

    從本題的四種解法中,可以看出:方法1和2,與方法3和4在處理直線與橢圓的交點(diǎn)M,N坐標(biāo)時(shí),采用的方式是完全不同的.前兩種采用的方法是“直接求”,而后兩種是“設(shè)而不求”.

    那么,何為“直接求”與“設(shè)而不求”?它們之間有什么區(qū)別、聯(lián)系?應(yīng)在何種情況下使用?

    所謂“直接求”是指,在處理圓錐曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程組,通過(guò)解方程直接求出它們交點(diǎn);而“設(shè)而不求”,則只是將它們用坐標(biāo)的形式表示出來(lái)(即M(x1,y1),N(x2,y2)),然后再根據(jù)已知條件,找到它們坐標(biāo)之間的等量關(guān)系,進(jìn)而運(yùn)算、化簡(jiǎn).

    方法1和2雖然在運(yùn)算上有些繁,但在思維與化簡(jiǎn)能力上的要求并不高.究其原因,是因?yàn)橹本€A1M(或直線A2N)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),都有一個(gè)點(diǎn)A1(或A2)的坐標(biāo)是已知的,如果需要求另一個(gè)交點(diǎn)M(或N)的坐標(biāo),即轉(zhuǎn)化為解方程問(wèn)題.接下來(lái),解題線索會(huì)很快理清,只需尋找k1和k2的關(guān)系(M,D,N三點(diǎn)共線),然后將其代入點(diǎn)G的坐標(biāo),問(wèn)題迎刃而解.所以,“直接求”可作為處理“直線與圓錐曲線相交時(shí),已有一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)確定”的情況下這類(lèi)問(wèn)題的首選,把它作為解題的突破口,然后再根據(jù)其他條件化解題目.

    可以發(fā)現(xiàn),方法2比方法1的化簡(jiǎn)要簡(jiǎn)單一些,原因是少求一次交點(diǎn)坐標(biāo).方法1用了完全不相關(guān)的兩條線(A1M和A2N)與橢圓方程聯(lián)立求交點(diǎn).而方法2卻用了過(guò)同一點(diǎn)A1的兩條線(A1M和A1N)與橢圓聯(lián)立.在求出交點(diǎn)M的坐標(biāo)后,點(diǎn)N的坐標(biāo)則無(wú)需再求.因?yàn)橹本€A1M和A1N與橢圓聯(lián)立之后得到的方程,只有k1與k3是不同的,其余完全相同,所以只需將點(diǎn)M坐標(biāo)當(dāng)中的k1替換成k3,即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo).稱(chēng)其“以一代二”,即“用一次運(yùn)算代替二次運(yùn)算”,從而實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

    除此之外,“以一代二”還有另外一個(gè)用途,即“用一個(gè)方程代替二個(gè)方程”.比如,在化簡(jiǎn)運(yùn)算中遇到2x21+3x1-4=0且2x22+3x2-4=0時(shí),有時(shí)并不需要將x1和x2的值分別求出,可以用一個(gè)一元二次方程2x2+3x-4=0代替它們兩個(gè)方程,而x1和x2則是此一元二次方程的兩個(gè)根,可用韋達(dá)定理和x1x2=-2進(jìn)行整體代換,簡(jiǎn)化運(yùn)算.

    “設(shè)而不求”中的“設(shè)”是非常容易的.如何找到所設(shè)若干未知量的等量關(guān)系,以及在列出的多個(gè)關(guān)系式中理清所求目標(biāo)與這些未知量之間的聯(lián)系,才是重中之重!

    雖然方法3和4都采用了“設(shè)而不求”,但化簡(jiǎn)過(guò)程明顯不同.

    方法3,當(dāng)猜出點(diǎn)G恒在定直線x=4上的結(jié)論后,需要證明的關(guān)鍵等量關(guān)系是.而此等式存在四個(gè)未知量,消元?jiǎng)菰诒匦?等式①是由點(diǎn)M,N分別在直線A1G和A2G上的“身份”得到的,挖掘點(diǎn)M,N的其他“身份”得到等式進(jìn)而再消元便是關(guān)鍵.易知,點(diǎn)M,N還有兩重“身份”:在橢圓上及直線MN過(guò)點(diǎn)D.由于等式①均為一次形式,若用在橢圓上的“身份”消元顯然不合適,所以利用它們的另一重“身份”設(shè)出直線MN的方程x=m y+1消去x,得到方程2m y1y2-3(y1+y2)=0,再借助韋達(dá)定理進(jìn)行整體代換.

    設(shè)直線MN的方程時(shí),需要考慮設(shè)成哪種形式,是x=my+1?還是y=k(x-1)?如本題,直線MN的斜率不為0,且斜率存在與否都有可能,最好設(shè)成x=my+1,避免斜率的討論.一旦設(shè)成此種形式,在與橢圓方程聯(lián)立時(shí),最好消去x,得到關(guān)于y的一元二次方程,這樣運(yùn)算簡(jiǎn)單.若直線MN的斜率一定存在時(shí),可設(shè)成y=k(x-1)的形式,再與橢圓方程聯(lián)立可消去y,會(huì)更方便運(yùn)算.

    方法4,先要分析交點(diǎn)的多重“身份”(比如M,N兩點(diǎn)在橢圓上,又滿足M,D,N三點(diǎn)共線,還滿足直線A1M與A2N的交點(diǎn)為G),根據(jù)它們的多重“身份”列出不同的等量關(guān)系.比如,點(diǎn)M,N在橢圓上,有;M,D,N三點(diǎn)共線,有;直線A1M與直線A2N的交點(diǎn)為G,可得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為xG=.

    接下來(lái),至關(guān)重要的是如何處理這些方程!

    (1)判斷未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)是否匹配.如果匹配(即未知量與方程個(gè)數(shù)相等),未知量均可求.之后,對(duì)若干方程進(jìn)行四則運(yùn)算,問(wèn)題便迎刃而解;

    (2)如果不匹配,比如方法4,5個(gè)未知量x1,y1,x2,y2,xG,卻只列出4個(gè)方程(①、②、③、④),未知量的值是不可能全部求出的,化簡(jiǎn)的“終極目標(biāo)”必是將某兩個(gè)未知量間的關(guān)系代入所求方程④.這些未知量留誰(shuí)?去誰(shuí)?看結(jié)構(gòu)!所求目標(biāo)④過(guò)于復(fù)雜,但觀察到未知量y1x2,y2x1同時(shí)出現(xiàn),故可先利用③的整式形式y(tǒng)1x2-y2x1=y1-y2進(jìn)一步化簡(jiǎn),得到xG=.通過(guò)觀察,可以發(fā)現(xiàn)此式為分式結(jié)構(gòu),且分子、分母均含有y的一次形式.若同時(shí)除以y1,出現(xiàn),而又有,若將其代入只會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)未知量x1和x2間的關(guān)系,這與我們的預(yù)期不謀而合.倘若再尋找到x1和x2間的關(guān)系,然后再代入所求目標(biāo),問(wèn)題便可解決.事實(shí)上,,很快找到了x1和x2間的關(guān)系.

    從前面的比較分析中,可以看出“設(shè)而不求”對(duì)方程“掌控”能力的要求是比較高的.其關(guān)鍵在于對(duì)所“設(shè)”的若干未知量的處理,是能求出未知量的值?還是只能利用關(guān)系進(jìn)行整體代換?要做到心中有數(shù).至于用哪些未知量的關(guān)系進(jìn)行代換,一定要根據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)決定.

    一般情況下,“設(shè)而不求”是比較適合于直線與圓錐曲線的交點(diǎn)均未知的情況.因?yàn)椤霸O(shè)而不求”的化簡(jiǎn)要求比較高,如果已知一交點(diǎn)坐標(biāo),不如“直接求”這樣比較“省心”.當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)都未知時(shí),它的優(yōu)越性才會(huì)顯現(xiàn).

    4 思考線索

    處理好直線與圓錐曲線的交點(diǎn)是解決圓錐曲線問(wèn)題的核心,決定了整個(gè)問(wèn)題的“發(fā)展”方向.只有交點(diǎn)問(wèn)題處理清楚找對(duì)方向了,才會(huì)為后面的解答鋪平道路.

    鑒于此,并基于以上不同解法的比較分析,總結(jié)概括出處理直線與圓錐曲線交點(diǎn)問(wèn)題的思考線索:

    (1)合理使用“直接求”與“設(shè)而不求”兩種方法.

    若已知直線與圓錐曲線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)待另一交點(diǎn)的坐標(biāo),采用“直接求”的方法相對(duì)容易找到解決問(wèn)題的突破口;若兩交點(diǎn)均未知,可使用“設(shè)而不求”.

    (2)使用“直接求”時(shí),一方面,需考慮將直線方程設(shè)成哪種形式(比如y=kx+b或x=my+n);另一方面,需考慮是否可以使用“以一代二”的化簡(jiǎn)方法.通常情況下,“以一代二”往往可以和“直接求”結(jié)合起來(lái)使用,達(dá)到事半功倍的效果.

    (3)使用“設(shè)而不求”時(shí),第一,需考慮交點(diǎn)有幾重“身份”,根據(jù)不同的“身份”列出方程.第二,需考慮未知量與方程的個(gè)數(shù)是否匹配.若匹配,未知量均可求;若不匹配,只能求出其中某些未知量的關(guān)系.第三,需考慮化簡(jiǎn)若干方程的途徑.通常情況下,化簡(jiǎn)途徑有兩種:借助韋達(dá)定理進(jìn)行整體代換;或是根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇易被消去的未知量,利用四則運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn).

    當(dāng)然,上述思考線索并不是絕對(duì)的,還需要具體問(wèn)題具體分析.但至少可以讓我們?cè)谟龅綀A錐曲線問(wèn)題時(shí),有一個(gè)明確的方向,在各種紛繁復(fù)雜的頭緒中,盡快理清思路,少走彎路.

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