空間滯后誤差自相關(guān)隨機(jī)前沿模型參數(shù)的估計(jì)

竇劍軍，張輝國(guó)，胡錫健(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046)

空間滯后誤差自相關(guān)隨機(jī)前沿模型參數(shù)的估計(jì)

竇劍軍，張輝國(guó)，胡錫健
(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046)

文章利用工具變量矩陣方法研究了空間滯后誤差自相關(guān)隨機(jī)前沿模型參數(shù)的估計(jì)問題，得到了參數(shù)估計(jì)的表達(dá)式。與極大似然估計(jì)相比較，工具變量矩陣法極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算。蒙特卡羅模擬的結(jié)果表明,參數(shù)估計(jì)值十分逼近真值。

空間滯后誤差自相關(guān)模型；隨機(jī)前沿模型；工具變量矩陣；蒙特卡羅模擬

0 引言

隨著產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中投入-產(chǎn)出理論的深入發(fā)展，生產(chǎn)者越來越關(guān)注生產(chǎn)過程中的技術(shù)效率問題。作為技術(shù)效率測(cè)算的參數(shù)方法的隨機(jī)前沿模型被廣泛地應(yīng)用于效率的測(cè)算中，該方法最早由Aigner、Lovell和Schmidt、Meeusen[1]和Van den Broeck[2]和Battese&Corra[3]三組研究人員于1977年同時(shí)獨(dú)自提出。其基本思想和理論依據(jù)歸結(jié)為：以盈利為目的的生產(chǎn)者追求的是利潤(rùn)的最大化，但是在實(shí)際的生產(chǎn)過程中，由于管理水平的不同以及其他一些因素，并不是所有的生產(chǎn)單元都能達(dá)到生產(chǎn)前沿面上，也就是廠商的產(chǎn)出未必能實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化，而是與前沿面有一個(gè)“垂直”的距離。在隨機(jī)前沿模型的設(shè)定中，這一差異用技術(shù)無效率項(xiàng)和外生的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來表示。所謂技術(shù)無效率項(xiàng)是指在給定的投入水平下，由于企業(yè)在生產(chǎn)過程中的各種管理不嚴(yán)和生產(chǎn)者個(gè)人技術(shù)問題引起生產(chǎn)過程中技術(shù)沒有得到最大的發(fā)揮，企業(yè)生產(chǎn)者沒有達(dá)到最大可能的產(chǎn)出，刻畫的是某些生產(chǎn)單元位于前沿面下的事實(shí)；而外生的隨機(jī)擾動(dòng)是指不可控制的隨機(jī)因素，例如天氣、運(yùn)氣、測(cè)量誤差等。

在以查爾斯·W·柯布和保羅·H·道格拉斯建立的C-D生產(chǎn)函數(shù)為基礎(chǔ)的隨機(jī)前沿模型中，其基本假定是不同生產(chǎn)單元之間相互獨(dú)立，并不考慮它們的相互效應(yīng)。但是在許多情況下，特別是涉及到區(qū)域經(jīng)濟(jì)研究、技術(shù)擴(kuò)散過程中，地理位置上的鄰接關(guān)系在生產(chǎn)單元之間起著至關(guān)重要的作用，生產(chǎn)單元相互獨(dú)立的假設(shè)存在很大的缺陷。隨著經(jīng)濟(jì)全球化的深入發(fā)展和區(qū)域之間經(jīng)濟(jì)合作的不斷加強(qiáng)，任何一個(gè)國(guó)家或地區(qū)其經(jīng)濟(jì)發(fā)展都相互借鑒，進(jìn)行全方位的經(jīng)濟(jì)合作和文化à流。當(dāng)外生不確定性因素影響一個(gè)國(guó)家經(jīng)濟(jì)時(shí)，其影響以一定的方式進(jìn)行擴(kuò)散，影響到其他有經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系的國(guó)家或地區(qū)，例如2008年美國(guó)爆發(fā)的金融危機(jī)。

近年來，空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)作為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)全新分支，其理論研究和實(shí)證分析迅速發(fā)展?？臻g結(jié)構(gòu)關(guān)系成為空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的一個(gè)重要組成部分，將空間效應(yīng)引入經(jīng)典計(jì)量和統(tǒng)計(jì)方法中，并廣泛地應(yīng)用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、地理學(xué)、傳染病學(xué)等諸多領(lǐng)域。如果存在空間的à互作用，但隨機(jī)前沿模型中沒有引入空間結(jié)構(gòu)，仍然假設(shè)生產(chǎn)單元之間相互獨(dú)立并對(duì)其技術(shù)效率做出定量分析，勢(shì)必會(huì)掩蓋空間層面和地理位置上的相互作用，從而導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)和技術(shù)效率推斷有偏。國(guó)內(nèi)外將空間影響關(guān)系和隨機(jī)前沿模型相結(jié)合的研究相對(duì)較少，開創(chuàng)性地將空間相互影響和隨機(jī)前沿分析相結(jié)合的工作來自Druska和Horrace (2004)[4],隨后國(guó)內(nèi)也開始了空間隨機(jī)前沿模型的研究工作。本文采用橫截面數(shù)據(jù)，建立了空間滯后誤差自相關(guān)隨機(jī)前沿模型，同時(shí)考慮因變量在地理位置上的滯后和誤差的空間相關(guān)性，用二階段最小二乘法和矩估計(jì)方法估計(jì)空間滯后誤差自相關(guān)隨機(jī)前沿模型，具體來說，該方法首先選擇工具變量矩陣對(duì)因變量的空間滯后作回歸，這樣因變量的空間滯后就和隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)，然后采用二乘法求參數(shù)的估計(jì)。相對(duì)于極大似然估計(jì)法無法得到參數(shù)的解析解，只能用迭代算法，該方法有效地解決了空間滯后誤差自相關(guān)隨機(jī)前沿模型的估計(jì)問題。

1 空間滯后誤差自相關(guān)隨機(jī)前沿模型的估計(jì)問題

待估計(jì)的模型為：

其中，y為因變量，x為自變量；β為回歸系數(shù)；u為技術(shù)無效率向量；v為誤差項(xiàng)，η為隨機(jī)干擾項(xiàng)向量；W是空間權(quán)重矩陣，Wy為因變量的空間滯后，Wv為誤差項(xiàng)空間滯后；ρ是待估計(jì)的空間自回歸系數(shù)；λ是待估計(jì)的空間誤差自相關(guān)系數(shù)。

在本文中假設(shè)技術(shù)無效率項(xiàng)ui～i.i.d.N+(0，σ2u)，隨機(jī)干擾項(xiàng)ηi～i.i.d.N(0，σ2e)。

ηi和ui相互獨(dú)立且和自變量x之間不相關(guān)。對(duì)模型(1)進(jìn)行極大似然估計(jì)，u的分布密度函數(shù)為：

因?yàn)棣恰玁(0，σ2eI)，ν=(I-λW)-1η根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)：

可得v的分布密度函數(shù)為：

由于u和v不相關(guān)，可得(u,v)的聯(lián)合分布密度函數(shù)：

由ε=ν-u，根據(jù)二元變換定理可知(u，ε)的聯(lián)合分布密度函數(shù)為：

然后將 f(u，ε)對(duì)u積分得到ε的邊際分布密度函數(shù)：

由于ε=(I-ρW)y-xβ，基于式(2),可得到模型（1）的對(duì)數(shù)似然函數(shù)：

在上式對(duì)每個(gè)參數(shù)求偏導(dǎo)，令一階導(dǎo)數(shù)等于0無法得到參數(shù)的解析解，因?yàn)橛?jì)算過程涉及到概率密度函數(shù)和累計(jì)分布函數(shù)。如果直接用修正的最小二乘法(COLS)估計(jì)，首先要用普通最小二乘(OLS)方法估計(jì)式(1)，但是，由于：

其中，A=I-ρW,在一般情況下，式(4)不等于0，即意味著誤差項(xiàng)ε與Wy之間存在相關(guān)性，采用OLS方法估計(jì)模型(1)不滿足高斯-馬爾科夫條件，這樣違背基本假設(shè)的估計(jì)值不是一致估計(jì)值，從而導(dǎo)致第二步的修正沒有意義。

2 二階段最小二乘和矩估計(jì)方法

通過上面的分析可知，修正最小二乘方法無法估計(jì)空間滯后誤差自相關(guān)隨機(jī)前沿模型的原因在于該方法的基本假定條件不成立。這樣一個(gè)很自然的問題就是，如果通過工具變量矩陣做回歸滿足基本假定條件，是否可以得到參數(shù)的一致估計(jì)量?根據(jù)最小二乘原理，答案是肯定的，至此，接下來的問題就是如何用工具變量矩陣作回歸滿足基本假定條件，再用最小二乘法得到參數(shù)ρ，β(不含常數(shù)項(xiàng))和λ的一致估計(jì)量；在第二階段，由ε?根據(jù)矩估計(jì)(MEE)得到σ2u和σ2e的一致估計(jì)，并對(duì)截距項(xiàng)進(jìn)行修正。

待估計(jì)的模型為：

因?yàn)棣?λWν+η，可得ν=(I-λW)-1η，將ε=ν-u帶入式(1)可得：

根據(jù)Lesage(2009)[5]的方法：

在這里只取前兩項(xiàng)并帶入式(5)得：

令ε=η-u，則模型可變?yōu)椋?/p>

為表達(dá)方便，將模型(6)表示為：

其中，Z=(Wy，x，Wη)，δ=(ρ，β，λ)T

由于變量存在內(nèi)生性問題，無法直接對(duì)式(7)進(jìn)行估計(jì)，一個(gè)有效的解決途徑是通過構(gòu)建工具變量矩陣Q對(duì)空間滯后因變量作回歸得到的一致估計(jì)量：

然后用Z?=(W?y，x，Wη)帶入式(7)，求得δ的2SLS估計(jì)量：

在上述求解過程中，一個(gè)重要的問題是工具變量的選擇，在這里由于x和Wη共生Wy,所以在選擇工具變量矩陣是應(yīng)同時(shí)考慮x和Wη的作用。對(duì)模型(6)進(jìn)行變形得：

(I-ρW)y=xβ+λWη+ε，進(jìn)一步有：

其中根據(jù)(I-ρW)-1=I+ρW+ρ2W2+ρ3W3+…并帶入式(9)有：

所以工具變量矩陣選擇為Q=[x，Wx，Wη，W2η]

另外一個(gè)問題是，對(duì)于空間滯后誤差自相關(guān)隨機(jī)前沿模型，采用式(8)得到常數(shù)項(xiàng)的估計(jì)值不是一致估計(jì)量。因?yàn)檎`差項(xiàng)ε中同時(shí)包含了對(duì)稱的雙邊誤差項(xiàng)η和非對(duì)稱的單邊非效率項(xiàng)u的均值的共同效應(yīng)。

為了得到σe2和σu2的一致估計(jì)量，將第一階段的估計(jì)量δ2SLS帶入式(7)，得到ε的殘差項(xiàng)，以為基礎(chǔ)，構(gòu)建相應(yīng)的二階和三階樣本矩：

根據(jù)Olsen等(1980)[6]的方法，σ2u與σ2e的一致估計(jì)量為：

3 技術(shù)效率的估計(jì)

上述模型的參數(shù)估計(jì)是隨機(jī)前沿模型估計(jì)的第一步，第二步是對(duì)生產(chǎn)單元進(jìn)行技術(shù)效率的推斷，找到技術(shù)無效率的生產(chǎn)單元，并評(píng)價(jià)無效率的程度。Jondrow、Lovell and Materovi等(JLMS)(1982)[7]指出各個(gè)生產(chǎn)單元的技術(shù)效率項(xiàng)ui可以通過E(ui|εi)或Mode(ui|εi)來估計(jì)，第i個(gè)生產(chǎn)單元的技術(shù)效率TEi=exp{-?i}，其中?i=E(ui|εi)或Mode (ui|εi)。為此需要得到 f(u|ε)，根據(jù)條件概率分布：

其中μ和Ω定義前面已經(jīng)給出，易見 f(u|ε)服從N元截尾正態(tài)分布N+(μ，Ω),估其眾數(shù)為：

因此，一旦求出u的點(diǎn)估計(jì)，各生產(chǎn)單元的技術(shù)效率估計(jì)可表達(dá)為：

4 蒙特卡羅模擬

考慮如下數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)生成過程：

其中ui～i.i.d.N+(0，0.82)，ηi～i.i.d.N(0，0.22)，(β0，β1，β2， β3)=(4，5，6，7)，解釋變量x1，x2和x3均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，將 ρ的取值固定為0.5，誤差自相關(guān)系數(shù) λ考慮-0.9，-0.7，-0.5，-0.3，-0.1，0,0.1,0.3,0.5,0.7,0.9共11種情況?？臻g權(quán)重矩陣取為Rook規(guī)則型權(quán)重矩陣和Queen規(guī)則型權(quán)重矩陣，每種權(quán)重矩陣經(jīng)過行標(biāo)準(zhǔn)化處理，考察的樣本量為N=196,400，模擬次數(shù)均為50次。結(jié)果見表1和表2。

表1 Rook型權(quán)重矩陣估計(jì)結(jié)果

從表1可以看出，ρ，β0，β1，β2，β3的估計(jì)值不隨λ的變化而變化，當(dāng)樣本量為196時(shí)ρ，β0，β1，β2，β3的估計(jì)值已經(jīng)非常接近真值，當(dāng)樣本量增大時(shí)，這幾個(gè)值沒有顯著的變化，但σu2，σe2的估計(jì)值當(dāng)樣本量增大時(shí)，估計(jì)值越來越接近真實(shí)值。λ的估計(jì)值有一點(diǎn)的偏差但偏差不大，基本接近真實(shí)值。

表2 Queen型權(quán)重矩陣估計(jì)結(jié)果

從表2可以看出，ρ，β0，β1，β2，β3的估計(jì)值和Rook型權(quán)重矩陣一樣，仍然不隨λ的變化而變化，在樣本量為196時(shí)，ρ，β0，β1，β2，β3的估計(jì)值已經(jīng)非常接近真實(shí)值，所以當(dāng)樣本量增大時(shí)，變化不是很大，但是σu2，σe2的估計(jì)值隨樣本量的增大越來越靠近真實(shí)值，λ的估計(jì)值和真實(shí)值有一點(diǎn)偏差但不大，基本接近真實(shí)值。

5 結(jié)論與展望

本文構(gòu)建了半正態(tài)空間滯后誤差自相關(guān)隨機(jī)前沿模型，用二階段最小二乘法和據(jù)估計(jì)方法對(duì)該模型進(jìn)行了估計(jì)，得到了參數(shù)估計(jì)的表達(dá)式，該方法有效地解決了極大似然估計(jì)模型無法得到參數(shù)解析解只能用近似迭代算法的問題。蒙特卡羅模擬的結(jié)果表明，本文采用的方法對(duì)模型有很好的估計(jì)。

本文僅考慮了誤差的空間自相關(guān)性的情況，沒有考慮技術(shù)無效率項(xiàng)的空間自相關(guān)性。如何對(duì)空間滯后誤差和技術(shù)無效率空間自相關(guān)模型作估計(jì)還需進(jìn)一步的研究，對(duì)技術(shù)無效率項(xiàng)還可以作其他形式的假定，以及模型的具體應(yīng)用還需進(jìn)一步的討論。

[1]Aigner D,Lovell K,Schmidt P.Formulation and Estimation of Sto?chastic Frontier Production Function Models[J].Journal of Econo?metrics,1977,(6).

[2]Meeusen W,van den Broeck J.Effciency Estimation From Cobb-Douglas Production Functions With Composed Error[J].International Economic Review,1977,(18).

[3]Battese G,Corra G.Estimation of a Production Frontier Model:With Application to the Pastoral Zone of Eastern Australia[J].Australian Journal of Agricultural Economics,1977,(21).

[4]Druska V,Horrace W.Generalized Moments Estimation for Spatial Panel Data:Indonesian Rice Farming[J].American Journal of Agricul?tural Economics,2004,86(1).

[5]James Le Sage,Robert K.Pace:Introduction to the Spatial Economet?rics[J].Statistical Papers,2011,52(2).

[6]Olson J,Schmidt P,Waldman D.A Monte Carlo Study of Estimators of the Stochastic;Frontier Production Function[J].Journal of Econo?metris，1980,13(1).

[7]Jondrow J,Lovell K,Materov I,et al.On the Estimation of Technical Ineffciency in the Stochastic Frontier Production Function Model[J]. Journal of Econometrics,1982,(19).

（責(zé)任編輯/易永生）

F222

A

1002-6487（2016）24-0004-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41261087);教育部人文社會(huì)科學(xué)青年研究項(xiàng)目(12XJJC91001);新疆大學(xué)博士啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(BS130103)

竇劍軍(1987—),男，甘肅白銀人，碩士研究生，研究方向：空間統(tǒng)計(jì)學(xué)、空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。