模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

朱嘉文

【摘要】 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中積極采用模型思想，幫助學(xué)生形成理性的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，是當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要使命之一. 本文以“模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用”為主要研究對(duì)象，首先闡釋了模型思想的概念和基本要求，然后從提問(wèn)、猜測(cè)以及應(yīng)用三個(gè)角度論述了具體的應(yīng)用策略，望本文的論述能夠?yàn)楫?dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)工作者提供一定的借鑒與啟示.

【關(guān)鍵詞】 模型思想；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；教學(xué)策略

模型思想是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在2011年新增加的概念，需要教師在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中予以充分的落實(shí). 但是在小學(xué)階段，很多小學(xué)生對(duì)于模型思想的理解和感悟并不如他們對(duì)某些數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，所以需要教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效的引導(dǎo)和合理的知識(shí)融合，以便學(xué)生能夠在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中形成理性的數(shù)學(xué)思維，通過(guò)建模的方式解決實(shí)際問(wèn)題.

一、模型思想的概念詮釋

在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中所采用的模型思想，指的是讓學(xué)生在基于數(shù)學(xué)本質(zhì)意義的基礎(chǔ)上，去感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的關(guān)聯(lián)性. 讓學(xué)生深刻地感知到數(shù)學(xué)與外部世界之間存在著廣博的關(guān)聯(lián)性，而架構(gòu)這種關(guān)聯(lián)性的“橋梁”就是所謂的數(shù)學(xué)模型. 在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，模型思想也可以理解為從個(gè)性問(wèn)題當(dāng)中探索出具象化的規(guī)律、理論或科學(xué)知識(shí)，生成具體的解題模型，并將這種模型作用于共性問(wèn)題解決方式的思想或行為.

二、模型思想的基本要求

模型思想的建立要蘊(yùn)含在具體的數(shù)學(xué)建模之中，這里所謂的數(shù)學(xué)模型指的是要根據(jù)特定的研究目的，采用靈活或者抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括性地表達(dá)所要研究對(duì)象的主要特征，以及基于此形成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 在小學(xué)階段，通過(guò)數(shù)學(xué)符號(hào)所建立起的方程、不等式、關(guān)系式和代數(shù)式，甚至各種圖標(biāo)和幾何圖形等都屬于數(shù)學(xué)模型. 通常情況下數(shù)學(xué)模型的建立需要經(jīng)歷從觀察實(shí)際情境到發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，從提出問(wèn)題到抽象形成數(shù)學(xué)模型，再到生成數(shù)學(xué)結(jié)論、檢測(cè)以及調(diào)整和最終確認(rèn)的過(guò)程. 但是在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，并非每章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)都可以完全嚴(yán)格地恪守這一構(gòu)建流程，因此筆者認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程可以進(jìn)行三步式的簡(jiǎn)化，首先從現(xiàn)實(shí)生活或真實(shí)的問(wèn)題情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，即問(wèn)題的提出過(guò)程；其次利用已經(jīng)擁有的數(shù)學(xué)知識(shí)，諸如方程、不等式或代數(shù)式等完成對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象建模過(guò)程，這個(gè)過(guò)程需要學(xué)生具有較強(qiáng)的概括、判斷和選擇能力；最后通過(guò)數(shù)學(xué)模型求解題目，生成結(jié)論，而學(xué)生在整個(gè)由建模而生成問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，個(gè)體的知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀也得到了相應(yīng)的發(fā)展.

三、模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用過(guò)程

（一）提問(wèn)過(guò)程

在這一環(huán)節(jié)中，教師要盡可能地選用真實(shí)的情境或素材來(lái)展開(kāi)提問(wèn)，問(wèn)題可以由教師提出，也可以讓學(xué)生通過(guò)對(duì)情境的研究來(lái)提出. 比如教師利用長(zhǎng)短各一的兩組木筷，用圖釘固定成一個(gè)長(zhǎng)方形木框，然后在告知學(xué)生長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生計(jì)算長(zhǎng)方形的面積. 在學(xué)生完成計(jì)算之后，教師拉動(dòng)圖釘?shù)奈恢茫瑢㈤L(zhǎng)方形拉扯成平行四邊形，然后問(wèn)出這樣的問(wèn)題：“這個(gè)平行四邊形是通過(guò)方才長(zhǎng)方形的邊框變化而來(lái)的，那么平行四邊形的面積是否與之前的長(zhǎng)方形相同呢？如果不同，那么這個(gè)平行四邊形的面積又是多少呢？”這里所提出的有關(guān)面積是否變化的問(wèn)題，歸根到底就是探究平行四邊形面積該如何計(jì)算，即建立了平行四邊形面積計(jì)算的數(shù)學(xué)模型.

（二）猜測(cè)過(guò)程

教師在提問(wèn)環(huán)節(jié)當(dāng)中提出了兩個(gè)問(wèn)題，即由同樣的邊框所圍繞成的長(zhǎng)方形與平行四邊形面積是否一致，如果不一致那么平行四邊形的面積該如何計(jì)算. 當(dāng)學(xué)生圍繞教師所提出的這兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行猜測(cè)時(shí)，筆者認(rèn)為教師無(wú)論如何都不要過(guò)早地對(duì)其進(jìn)行肯定或否定，而是積極關(guān)注學(xué)生是否調(diào)用了以前的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，來(lái)對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行分析. 這個(gè)時(shí)候有同學(xué)指出，原有長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是6 cm和5 cm，這樣形成的長(zhǎng)方形面積是30 cm2，如果平行四邊形的面積與之相同，那意味著平行四邊形的面積也是30 cm2，這個(gè)時(shí)候有的同學(xué)忽然聯(lián)想到小時(shí)候玩過(guò)的七巧板，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的一個(gè)銳角明顯與另一處的空缺可以形成互補(bǔ)關(guān)系，使之形成一個(gè)全新的長(zhǎng)方形，但是很明顯這個(gè)全新的長(zhǎng)方形雖然長(zhǎng)度仍然是6 cm，但是寬卻由原來(lái)的5 cm變成了一條比原來(lái)還短的一條邊，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，很快由學(xué)生推斷出，變形后形成的平行四邊形，其面積并不與之前的長(zhǎng)方形相同，準(zhǔn)確地說(shuō)是小于之前的長(zhǎng)方形. 這個(gè)時(shí)候根據(jù)學(xué)生的猜測(cè)，筆者馬上又引入了一個(gè)問(wèn)題：“那么根據(jù)剛才大家推測(cè)全新的平行四邊形面積時(shí)，大家有沒(méi)有想過(guò)究竟是什么發(fā)生了變化，導(dǎo)致長(zhǎng)方形在變成平行四邊形的過(guò)程中面積變小了呢？”

為了讓學(xué)生跟隨教師的思路，筆者將教學(xué)道具交給學(xué)生，讓學(xué)生在自己反復(fù)變換平行四邊形和長(zhǎng)方形的過(guò)程中，感受面積變化的決定因素；同時(shí)在此過(guò)程中也會(huì)引入多媒體課件，讓學(xué)生一邊觀看課件中的平行四邊形和長(zhǎng)方形的轉(zhuǎn)換過(guò)程，一邊猜測(cè)平行四邊形面積變化的決定性因素. 當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，將長(zhǎng)方形的一條邊固定住，另外三條邊發(fā)生變化的同時(shí)，整個(gè)圖形的高度發(fā)生了根本性的變化，而這個(gè)高度也就是利用拼湊法所形成的全新的長(zhǎng)方形的新邊，所有長(zhǎng)方形的面積都可以通過(guò)長(zhǎng)邊乘短邊的方式來(lái)進(jìn)行計(jì)算，很快就有學(xué)生推測(cè)出平行四邊形的面積公式等于底邊的長(zhǎng)度乘平行四邊形的高. 這個(gè)時(shí)候教師在利用課件中的項(xiàng)目演示對(duì)學(xué)生進(jìn)行解釋說(shuō)明，將正式的平行四邊形的面積公式教給學(xué)生，即S平行四邊形 = ah.

（三）應(yīng)用過(guò)程

嚴(yán)格意義上來(lái)說(shuō)，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型的方式來(lái)解題，并不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的，而是一種有效手段. 所以當(dāng)教師通過(guò)教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，主動(dòng)或引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題時(shí)，學(xué)生還需要反復(fù)猜測(cè)、不斷證實(shí)，才能生出對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決策略，并通過(guò)教師的解釋和確立，將實(shí)際問(wèn)題的解決方式上升到理論和科學(xué)層面. 但眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與掌握歸根到底要回歸到實(shí)際問(wèn)題層面，去解決更多的共性問(wèn)題，所以我們可以將數(shù)學(xué)建模過(guò)程理解為從個(gè)性問(wèn)題中抽離出共性的理論和科學(xué)知識(shí)，再由此去解決更多的共性問(wèn)題. 比如在完成“S平行四邊形 = ah”這樣的數(shù)學(xué)模型建立之后，教師就可以提出這樣的問(wèn)題：“一個(gè)平行四邊形的瓷磚長(zhǎng)是9 cm，高是7 cm，那么這塊平行四邊形的瓷磚的具體面積究竟是多少？”根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算公式，可以清晰地將這道題目進(jìn)行計(jì)算得出S平行四邊形 = ah = 9 cm × 7 cm = 63 cm2. 此外根據(jù)平行四邊形面積計(jì)算公式中所要注意的問(wèn)題，教師還需要在實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中進(jìn)行補(bǔ)充，即邊長(zhǎng)只有乘所在邊的高，才能計(jì)算出平行四邊形的具體面積. 舉例來(lái)說(shuō)，平行四邊形分別有四條邊，可以命名為a，b，c，d，換言之，a只有乘a對(duì)應(yīng)的高才能求解出平行四邊形的面積，反之a(chǎn)乘b所對(duì)應(yīng)的高，是錯(cuò)誤的求解方法. 所以為了避免學(xué)生出現(xiàn)這種錯(cuò)誤，學(xué)生在具體利用模型求解問(wèn)題的過(guò)程中，教師還要對(duì)求解過(guò)程和模型分布進(jìn)行細(xì)化，讓學(xué)生對(duì)模型構(gòu)建的過(guò)程進(jìn)行細(xì)致化的分析，以便實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)此部分知識(shí)的內(nèi)化與理解.

除了筆者所舉出的平行四邊形面積計(jì)算的案例應(yīng)用之外，數(shù)學(xué)模型還有一類(lèi)較為常見(jiàn)的應(yīng)用類(lèi)型——數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，即對(duì)各種數(shù)量關(guān)系的把握. 比如在學(xué)習(xí)“乘法分配律”的相關(guān)知識(shí)時(shí)，教師需要幫助學(xué)生抽離出“ab + ac = a（b + c）”的模型，然后由此引申出一系列數(shù)學(xué)分配求和的應(yīng)用問(wèn)題，采取兩種方法解題的方式予以教學(xué). 比如一個(gè)教室當(dāng)中有十把椅子和二十張桌子，每張桌子和椅子上都要貼上兩個(gè)標(biāo)簽，請(qǐng)問(wèn)一共需要準(zhǔn)備多少個(gè)標(biāo)簽？當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生利用兩種方式來(lái)進(jìn)行解題時(shí)，其實(shí)就是對(duì)分配律數(shù)學(xué)模型的整合利用. 比如可以將這樣的思考過(guò)程理解為椅子需要準(zhǔn)備多少標(biāo)簽？桌子需要準(zhǔn)備多少標(biāo)簽？即理解為標(biāo)簽總數(shù) = 椅子的標(biāo)簽數(shù)量 + 桌子的標(biāo)簽數(shù)量. 還有一種方式就是椅子和桌子一共有多少，按照總體的數(shù)量來(lái)計(jì)算標(biāo)簽，即總標(biāo)簽數(shù) = （椅子 + 桌子） × 每個(gè)的標(biāo)簽數(shù)量. 當(dāng)學(xué)生能夠充分掌握這兩種解題思路時(shí)，其實(shí)潛意識(shí)當(dāng)中已經(jīng)對(duì)乘法分配律的應(yīng)用題的模型構(gòu)建有了充分的認(rèn)知.

結(jié) 論

總而言之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師需要重視對(duì)模型思想的使用和教學(xué)，要讓學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)和解題的過(guò)程中，真實(shí)地感受模型思想，感受建模過(guò)程. 教師可以通過(guò)滲透和引導(dǎo)學(xué)生感悟、反思模型思想，充分培養(yǎng)和調(diào)動(dòng)起構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的積極性，從而提升個(gè)體的數(shù)學(xué)思維和知識(shí)理解能力，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定長(zhǎng)遠(yuǎn)的基礎(chǔ). 從小學(xué)生個(gè)體意識(shí)的特點(diǎn)來(lái)看，教師在通過(guò)提出問(wèn)題、猜測(cè)問(wèn)題、應(yīng)用模型的過(guò)程中，需要對(duì)整個(gè)過(guò)程進(jìn)行把控和監(jiān)督，防止因?yàn)閷?duì)知識(shí)的片面誤解，造成學(xué)習(xí)效果的偏差.

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