分式求值的“10”個常用技巧

張愛東

分式求值是分式運算中的一類常見問題，對計算能力的要求較高.在求解此類問題時，既要注意基本法則的應(yīng)用，也要掌握相關(guān)的解題技巧.下面舉例說明.

一、整體通分

例1：計算x2+x+1-.

分析：把（x2+x+1）看成一個整體，對式子進(jìn)行通分，并且分子還可利用乘法公式簡化運算.

解：原式 =-==-.

二、部分通分

例2：計算 ---.

分析：按照常規(guī)解法是把四個分母一起通分，這樣求解過于繁瑣.若選擇前面兩個分式通分，然后再逐個通分，這樣便化繁瑣為簡單.

解：原式=--

=-=-.

三、取倒數(shù)

例3：已知=1，求x+的值.

分析：根據(jù)已知分式的特點，運用取倒數(shù)的方法是解決這類問題的常用方法.

解：把=1兩邊取倒數(shù)，得=1，

即x-3+=1，所以x+=4.

四、整體代入

例4：已知-=，則的值是（ ）.

A. B. - C. 2 D. -2

分析：將已知等式變形，轉(zhuǎn)化為含有ab、（a-b）的代數(shù)式，整體代入求解.

解：將已知條件通分合并得=，所以ab=2×（b-a）=-2（a-b），則==-2.故答案選D.

五、特值思想

例5：已知-=1，則的值是（ ）.

A. B. - C. 1 D. -1

分析：本題從不同的角度來思考，可以得到不同解法，但用特值思想求解最簡捷.

解：取b = 1，則a=，代入得，原式 =-1，故答案選D.

六、因式分解

例6：計算+.

分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)，每個分式的分子、分母均可進(jìn)行因式分解，因此可將每個分式先因式分解，約分后，再進(jìn)行計算.

解：原式 =+

=+

==

七、巧用拼湊

例7：化簡.

分析：觀察分式不難發(fā)現(xiàn)，其中的常數(shù)3給該分式的運算帶來了不便.為此可設(shè)法將3巧妙拼湊成與a、b、c有關(guān)的式子，這樣很容易想到3=++.

解：原式=+

=+

=

=++.

八、善于裂項

例8：計算

+++.

分析：用常規(guī)解法進(jìn)行計算顯然會非常麻煩，仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，每個分母都可以分解為兩個一次因式的積，例如x2 + x = x（x+1），且=-.

解：原式 =（-）+（ - ）+

（-）+（-）

=-

=.

九、活用公式

例9：計算

（x+）（x2+）（x4+）（x8+）（x16+）（x2-1） .

分析：直覺告訴我們，本題可以利用公式進(jìn)行計算.如何利用公式呢？通過觀察可知，只要在式子前添加（x-）這個因式，便可利用平方差公式，多次利用公式便可簡捷獲解.

解：當(dāng)x≠1時，

原式=×

=……

=×

=

=x33-.

當(dāng)x=1時，該等式也成立.

十、妙用換元

例10：化簡

（x+）2-（x+-）2÷

.

分析：乍一看本題較繁瑣，但仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn)，它們都是x+、 x2+的形式，因為（x+）2=x2++2，為此可想到妙用換元，便可快速獲解.

解：設(shè)a=x+，

則原式 =a2-（a-）2÷

=a2-（）2×

=a2-（a2-a+1）

=a2-a2+a-1

=a-1

=x+-1.