一種半數(shù)致死濃度的新算法

朱 濤，趙前進，侯中麗

(安徽理工大學，安徽淮南 232001)

一種半數(shù)致死濃度的新算法

朱 濤，趙前進*，侯中麗

(安徽理工大學，安徽淮南 232001)

利用Thiele型連分式插值法，研究并建立簡單的有理函數(shù)量效關系模型，以氟化鈉水溶液飼養(yǎng)中華蟾蜍蝌蚪的毒性試驗數(shù)據(jù)為例，求出濃度-死亡數(shù)的量效關系表達式，計算半數(shù)致死濃度值(median lethal concentration，LC50)并繪制量效曲線。對比其他計算方法，Thiele型連分式插值法計算LC50結果可信度高，且運算簡單，逼近效果好。

半數(shù)致死濃度；有理逼近；連分式插值

在藥物研究中，半數(shù)致死濃度(median lethal concentration，LC50)是衡量藥物對實驗動物毒力的重要指標。LC50是指全部實驗動物中半數(shù)死亡時所需要的藥物劑量，目前對LC50的計算方法很多，有寇氏法、改良寇氏法、坐標值圖解法、概率單位法、線性回歸法等[1-3]。在實際研究中，常用的藥物濃度與動物死亡數(shù)量的量效關系模型大多是非線性回歸模型。但是,有些非線性回歸模型不能化為線性回歸模型,難以估計參數(shù)。另外,有些非線性回歸模型過于復雜,利用它求解LC50困難。為簡便計算LC50，本研究基于Thiele型連分式插值[4-6]建立簡單的有理函數(shù)量效關系模型，來簡化半數(shù)致死濃度的計算?，F(xiàn)將研究結果報道如下。

1 材料與方法

1.1 材料

依據(jù)文獻[7]，以氟化鈉(NaF)水溶液飼養(yǎng)中華蟾蜍36期蝌蚪的毒性試驗數(shù)據(jù)為例，見表1。

1.2 方法

1.2.1 Thiele型連分式插值法 設點集X={x0,x1,…,xn}?[a,b]，函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義。X上的Thiele型連分式插值為：

其中φ[x0,x1,…,xk]為f(x)在x0,x1,…,xk處的k階逆差商，遞推定義如下:

φ[xp]=f(xp),p=0,1,…,n

φ[x0,x1,…,xk]=

表1NaF水溶液飼養(yǎng)中華蟾蜍36期蝌蚪的毒性試驗數(shù)據(jù)

Table1ThetoxicitytestdataofBufo gargarizanstadpolesat36thstageexposedindifferentconcentrationsofNaF

NaF濃度/(mg/L)ConcentrationofNaF蝌蚪數(shù)NumberofTadpoles死亡數(shù)Numberofdeath24h48h96h46060000500604445306055557060666600601112126306018212166060720447006029435073060284351760605260608006058606083060606060

用連分式插值作逼近時，可能會出現(xiàn)Rn(x)在插值區(qū)間內有極點。另外，隨n變大，使得函數(shù)Rn(x)振蕩加劇，同時使舍入誤差的擴散加劇[8]。因此，當n較大時，對試驗數(shù)據(jù)進行分組，用算術平均法壓縮，壓縮后的數(shù)據(jù)中含有原數(shù)據(jù)點的信息。將表1數(shù)據(jù)分成5組，按順次，相鄰的2～3個數(shù)為一組，得到4或5個新的插值點(x軸為藥物濃度，y軸為蝌蚪死亡數(shù))，以這樣求得的有理函數(shù)作為量效關系模型。

1.2.2 數(shù)據(jù)處理方法 使用Maple17.0軟件，運行Thiele型連分式插值命令語句，得出量效關系表達式，并通過解方程計算LC50；使用Matlab8.0軟件，根據(jù)量效關系表達式，繪制量效關系曲線圖。

2 結果

2.1 作用24 h的量效關系

由表1可見，660mg/L的NaF水溶液致死蝌蚪數(shù)目為7只，但該數(shù)據(jù)與相鄰濃度作用結果相比，誤差過大，在實際計算中應舍去。余下數(shù)據(jù)分5組計算時，插值區(qū)間出現(xiàn)極點。因此，對作用24h獲得的數(shù)據(jù)，采用平均法壓縮處理后，為避免極點出現(xiàn)，選擇四個插值點，新的插值點分別為(496.67，3)、(600，11.67)、(715，28.5)、(796.67，56.67)，得到量效關系表達式：

當y=30時(試驗動物總數(shù)為60)，得LC50=721.77 mg/L。

2.2 作用48 h的量效關系

數(shù)據(jù)采用平均法壓縮處理后，得到新的5個插值點，分別為(480，2)、(550，5.5)、(630，17.67)、(730，48.67)、(815，60)，得到量效關系表達式：

當y=30時，得LC50=673.33mg/L。

2.3 作用96 h的量效關系

數(shù)據(jù)采用平均法壓縮處理后，得到新的5個插值點，分別為(480，2)、(550，5.5)、(630，25.67)、(730，53.67)、(815，60)，得到量效關系表達式：

當y=30時，得LC50=642.61 mg/L。

2.4 量效曲線圖與LD50

將上述量效關系表達式解方程后得出的LD50與其他方法計算結果比較(表2)。 繪制量效曲線圖與試驗數(shù)據(jù)散點圖，并標注LD50(圖1)。

表2 四種方法計算半數(shù)致死濃度結果(mg/L)

Table 2 The results of LC50from the four methods

時間/hTimeThiele型連分式插值Thiele-typecontinuedfractioninterpolation線性回歸法Linearregression寇氏法Kochi概率單位法ProbitanalysisLC50可信濃度區(qū)間LC50trustedconcentrationrange24h721.77681.39686.22691.39700～76048h673.33653.57656.52663.10660～70096h642.61633.17635.57639.99630～660

3 討論

在醫(yī)學生物等科研工作中，藥物的量效關系多為非線性關系，研究者常通過計算軟件，依據(jù)數(shù)學模型的逼近效果，得到擬合量效曲線方程。但此類方程含有復雜的函數(shù)關系，使得求解難度大。而本文提出Thiele型連分式插值法的新算法，在簡化求解LC50方面有以下特點。

3.1 獲得量效曲線表達式，逼近程度高，計算LC50可信結果高

本研究中得出量效關系表達式，通過解方程即可求得LC50，計算結果均在試驗結果的濃度區(qū)間，可信程度高(表1)；對比李翠萍等研究結果，其采用的3種計算方法中，每種方法的計算結果并非都在可信濃度范圍內(表2)。故本方法計算LC50，逼近程度高。另外，依據(jù)表達式繪制的量效曲線圖，反映了量效變化趨勢(圖1)。量效曲線逼近試驗數(shù)據(jù)實際分布的各散點，呈先陡后平形態(tài)，效果較好(圖1B和圖1C)；量效曲線效果稍差，其原因在于該組試驗數(shù)據(jù)中個別有較大的誤差所導致(圖1A)。

3.2 方法簡單，表達式計算快捷

計算LC50的方法中，線性回歸法需要將非線性數(shù)據(jù)進行初始轉換處理后，才能進行運算，這樣會造成數(shù)據(jù)特征的部分丟失，人為造成誤差；寇氏法[9]需要滿足反應量呈正態(tài)分布、藥物濃度必須按等比級分布等條件，適用范圍有局限性；概率單位法[10]是通過Probit分析后，利用概率或Probit模型，在95%置信區(qū)間中找到概率為0.5的估計濃度。而采用本方法得的出表達式，函數(shù)關系簡單，利于求解，不會發(fā)生無法求解的現(xiàn)象。

圖1 (NaF水溶液濃度-死亡數(shù))散點圖與量效曲線圖

因此，通過建立簡單的有理函數(shù)逼近非線性回歸的模型，Thiele型連分式插值法計算LC50取得了較好的效果，該方法特點突出，優(yōu)勢明顯，值得今后在藥物研究中加以應用與推廣。

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A New Algorithm of Median Lethal Concentration

ZHU Tao,ZHAO Qian-jin,HOU Zhong-li

(AnhuiUniversityofScienceandTechnology,Huainan,Anhui,232001,China)

With the application of Thiele-type continued fraction interpolation method, this paper studied and established of a model of a simple dose-effect relationship of rational function with the experimental data of the toxicity ofBufogargarizanstadpoles cultivated in the water solution of sodium fluoride as the case.The experiment was designed to acquire the expression of a dose-effect relationship between concentration and death in an effort to calculate median lethal concentration(LC50) and draw the quantity-effect curve. In comparison with other algorithms,the outcome of LC50with the application of the Thiele-type continued fraction interpolation was characterized as simple calculation and satisfactory approximation effect.

LC50; rational approximation; continued fraction interpolation

2015-10-14

國家自然科學基金項目((60973050)

朱 濤(1979-)，男，安徽淮南人，講師，碩士，主要從事藥物免疫學研究。*通訊作者

S859

A

1007-5038(2016)05-0074-03