一維六方準晶中界面裂紋與位錯的交互作用*

肖萬伸，歐陽成，張春雨

(湖南大學 機械與運載工程學院，湖南 長沙 410082)

一維六方準晶中界面裂紋與位錯的交互作用*

肖萬伸*，歐陽成，張春雨

(湖南大學 機械與運載工程學院，湖南 長沙 410082)

應用復變函數(shù)的方法，研究了一維六方準晶雙材料中單個圓弧形夾雜界面裂紋與基體中螺型位錯之間的交互作用問題，求得了該問題的封閉形式解.當界面裂紋消失時，所得的退化結果與已有文獻一致.導出了位錯在圓外無限大區(qū)域中的任意位置時，界面裂紋尖端應力強度因子的表達式.數(shù)值結果表明，隨著位錯距離界面裂紋的位置越來越遠，裂紋尖端應力強度因子的值越來越小；隨著界面裂紋開口角度的增大，裂紋尖端應力強度因子的值先增大后減小.

準晶；界面裂紋；螺型位錯；應力強度因子；復變函數(shù)方法

1984年，Shechtman等人發(fā)現(xiàn)準晶.一直以來，準晶以其獨特的物理力學性能和未來良好的應用前景，使其無論是在理論研究還是在實驗觀察方面，都吸引著廣大研究者的關注[1-5].然而，準晶復合材料中的缺陷問題，如位錯、裂紋、夾雜等會極大地影響到材料的力學性能.

近些年來，越來越多的科研人員開始研究準晶中的缺陷問題.Fan等[6]應用復變函數(shù)的方法研究了一維六方準晶中運動的Griffith裂紋問題；Wang等[7]研究了十次準晶中半無限裂紋與刃型位錯的干涉效應問題，并求得了裂紋尖端的應力強度因子和應變能釋放率的表達式；Hu等[8]研究了一維六方準晶中螺型位錯與圓形夾雜的彈性干涉問題，并揭示了位錯力與相位子場彈性常數(shù)和聲子場-相位子場耦合彈性常數(shù)之間的變化規(guī)律.這些研究大多是針對單一缺陷問題或者單一準晶材料中的缺陷問題，對于準晶復合材料中缺陷之間的干涉效應問題，報道的比較少.

本文研究了一維六方準晶雙材料中單個圓弧形界面裂紋與基體中螺型位錯之間的交互作用問題.運用復變函數(shù)的解析延拓技術與奇性主部分析方法，獲得了該問題的封閉形式解.在得到界面裂紋尖端應力強度因子的表達式后，討論了裂紋尖端應力強度因子分別與裂紋開口角度、位錯相對位置的變化規(guī)律.

1 問題的描述與求解

在一維六方準晶中，當缺陷(位錯、裂紋)的幾何特征沿準周期方向(z軸)無變化時，其彈性問題可分解為2個相互獨立的問題[9].第一個問題是經(jīng)典彈性問題，已被充分研究過.因此我們僅討論第二個反平面聲子場-相位子場耦合問題，于是有：

(1)

Hzx=2R3εzx+K2ωzx,Hzy=2R3εzy+K2ωzy.

(2)

(3)

(4)

(5)

在一維六方準晶中，反平面聲子場-相位子場的耦合問題可以化成2個調和方程的求解[9]，即

(6)

(7)

(8)

(9)

圖1 圓弧形界面裂紋與螺型位錯交互作用模型

(10)

(11)

式中：D0‖, D0⊥為復常數(shù);F10(z),G10(z)和F20(z), G20(z)在各自區(qū)域內全純.

把式(8)(9)用極坐標的形式表示，有

(12)

(13)

在2種介質的交界面L′段上，由于圓弧形裂紋存在，所以沒有面力作用，即

(14)

由式(12)(13)(14)，同時考慮式(7)可得:

(15)

(16)

根據(jù)推廣的Schwarz延拓原理，并考慮到式(15)(16)可得:

(17)

(18)

同理可得:

(19)

(20)

(21)

(22)

對于整個圓周交界面來說，圓內區(qū)域S+和圓外無限大區(qū)域S-兩側的應力相等，即

t∈L+L′.

(23)

t∈L+L′.

(24)

根據(jù)推廣的Liouville定理，同時考慮到式(17)(18)(21)(22)，那么在全平面上有

(25)

(26)

在2種介質的交界面L2段上，滿足位移連續(xù)性條件，則

(27)

式(27)兩邊分別對α微分后，可得

(28)

即

(29)

綜合考慮式(25)(26)(29)，可以得到

(30)

(31)

則圓內區(qū)域S+和圓外無限大區(qū)域S-的聲子場和相位子場復勢函數(shù)的封閉形式解答為

(32)

(33)

(34)

(35)

當α=0時，即界面裂紋消失時，得到的一維六方準晶雙材料中螺型位錯與界面無裂紋的圓形夾雜的干涉解答與已有文獻一致[8].

2 裂紋尖端的應力強度因子

(36)

(37)

(38)

將式(32)(33)分別代入式(37)(38)，可得

(39)

(40)

3 數(shù)值分析與討論

(41)

圖2給出了當α取不同值時，無量綱應力強度因子K3隨位錯相對位置β變化的數(shù)值曲線圖.從圖2中可以得出，隨著β逐漸增大，即位錯逐漸遠離界面裂紋的時候，應力強度因子K3逐漸減小.這是因為當α不變時，隨著β的增大，位錯離裂紋尖端就越遠，那么它對裂紋尖端的影響自然就越小，所以應力強度因子就跟著逐漸減小.

圖3給出了當β取不同值時，無量綱應力強度因子K3隨裂紋開口角度α變化的數(shù)據(jù)曲線圖.從圖3中可以得出，隨著α逐漸增大，應力強度因子K3先在一定范圍內急劇增大并且達到最大值，然后再逐漸減小；并且隨著β逐漸減小，應力強度因子達到的最大值更大.這是因為裂紋越長(α越大)則K3越大；位錯距離裂紋尖端越近(β越小)，K3也越大.但從圖1可見，α越大則x軸上的位錯距裂紋尖端越遠(β越大)，因此存在一組(α,β)值使裂尖應力強度因子達到最大值.

β

α

4 結 論

本文研究了一維六方準晶雙材料中單個圓弧形夾雜界面裂紋與基體中螺型位錯之間的交互作用問題.運用復變函數(shù)的解析延拓技術與奇性主部分析方法，獲得了該問題的封閉形式解.當界面裂紋消失時，所得的退化結果與已有文獻一致.

在得到界面裂紋尖端應力強度因子的表達式后，討論了圓形晶體夾雜與準晶基體的單個圓弧形界面裂紋的應力強度因子分別與裂紋開口角度、位錯相對位置的變化規(guī)律.隨著位錯距離界面裂紋的位置越來越遠，裂紋尖端應力強度因子的值越來越?。浑S著界面裂紋開口角度的增大，裂紋尖端應力強度因子的值先增大后減小，即存在一個特定的裂紋開口角度，使得應力強度因子的值達到最大值.

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Interaction between Circular Interfacial Crack and Screw Dislocation in 1D Hexagonal Quasicrystals

XIAO Wan-shen?, OUYANG Cheng, ZHANG Chun-yu

(College of Mechanical and Vehicle Engineering, Hunan Univ, Changsha, Hunan 410082,China)

The interaction effects between a single circular interfacial crack and screw dislocation located inside the matrix were investigated for 1D hexagonal quasicrystal. Through applying the complex potential method, the closed form solutions of this problem were obtained. The degradation results are consistent with the conclusions in previous literature. The stress intensity factor at the crack tip was also derived. The results show that the stress intensity factor decreases with the increase of the distance between the dislocation and interfacial crack. With the increase of the opening angle of the circular interfacial crack, the stress intensity factor increases firstly and then decreases.

quasicrystals; interfacial cracks; screw dislocations; stress intensity factor; complex variable method

1674-2974(2016)12-0071-05

2016-04-21 基金項目：國家自然科學基金資助項目(11572118, 51175164), National Natural Science Foundation of China(11572118, 51175164) 作者簡介：肖萬伸(1959-)，男，湖南道縣人，湖南大學教授，博士 ?通訊聯(lián)系人，E-mail: xwshndc@163.com

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