向量在解答解析幾何問題中的活用

◇ 山東 王 兵

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向量在解答解析幾何問題中的活用

◇ 山東 王 兵

向量是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具.運用向量求解解析幾何中的共線(平行)、垂直、夾角和位置關(guān)系等復(fù)雜問題,不僅方法新穎、巧妙,而且可以減少計算量,優(yōu)化解題過程.下面以高考試題為例說明向量在解答解析幾何問題中的靈活運用.

1 求解有關(guān)共線(平行)問題

例1(2016年四川卷) 設(shè)O為坐標(biāo)原點,P是以F為焦點的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點,M是線段PF上的點,且|PM|=2|MF|,則直線OM斜率的最大值為( ).

點評本題若根據(jù)條件利用2點間的距離公式,會出現(xiàn)根式,計算量和難度都相當(dāng)大,這里利用向量共線的坐標(biāo)運算則較為方便,這就是用向量解決問題的優(yōu)勢.

2 求解有關(guān)垂直問題

點評2個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),它在求解有關(guān)垂直等問題中有著明顯的優(yōu)勢;2條直線垂直可轉(zhuǎn)化為2條直線的方向向量垂直,即2向量的數(shù)量積為0.

3 求解位置關(guān)系問題

(1) 求橢圓E的方程;

(2) 設(shè)直線x=my-1 (m∈R)交橢圓E于A、B2點,判斷點G(-9/4,0)與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

解(1) 橢圓E的方程為x2/4+y2/2=1.

點評第(2)問,若利用點到圓心的距離和半徑比較大小,需將直線方程與橢圓E的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系求弦AB的中點H(即圓心坐標(biāo)),利用2點間的距離公式求|GH|,利用弦長公式求|AB|,從而求出半徑,進(jìn)而比較大小判斷出點與圓的位置關(guān)系,解題過程十分復(fù)雜.而這里通過構(gòu)造向量,由2個向量數(shù)量積的正、負(fù)來判斷點與圓的位置關(guān)系，使解答過程簡潔、輕松得多.

山東省泰安長城中學(xué))