一道圓錐曲線的解析

◇ 福建 蘇燦強(qiáng)

?

一道圓錐曲線的解析

◇ 福建 蘇燦強(qiáng)

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是歷年高考的必考內(nèi)容,是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),解答題一般設(shè)置在壓軸題上,主要考查學(xué)生的綜合能力、思維拓展及運(yùn)算能力,囊括高中重要的數(shù)學(xué)思想和方法,可以準(zhǔn)確地衡量學(xué)生綜合解題能力以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)．下面舉例講評(píng)．

圖1

(1) 求橢圓的方程;

(2) 設(shè)直線AC、BD斜率分別為k1、k2,求k1+k2.

1 闡述題意

本題是一道解析幾何綜合題,以直線和橢圓為載體,主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí).通過(guò)橢圓中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題綜合考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力.

已知條件:橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及半焦距、離心率,線段OE=EF. 隱含條件:∠EOF=∠EFO,A、B關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng),線段CD為焦點(diǎn)弦. 問(wèn)題:直線AC、BD的斜率分別為k1、k2,求k1+k2的值.

學(xué)生的難點(diǎn): 1)在帶字母的運(yùn)算中,不注重算理的分析,不能使算法更合乎邏輯. 2)處理解析幾何問(wèn)題的核心方法是將所涉及的幾何問(wèn)題代數(shù)化,通過(guò)代數(shù)運(yùn)算,解決幾何問(wèn)題,其中重要的一點(diǎn)是加強(qiáng)對(duì)問(wèn)題的代數(shù)轉(zhuǎn)化能力,線段OE=EF這個(gè)等式內(nèi)容豐富,可利用角度多,怎么使用?學(xué)生很難準(zhǔn)確選用. 3)在解決本題的過(guò)程中選擇不同的解題策略,運(yùn)算量差距較大,如何在解題的過(guò)程中多角度地獲取信息、運(yùn)用信息,進(jìn)而選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}路徑.

本題對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力,特別是算理分析有相當(dāng)高的要求,思維量較大,屬難題.

學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn): 1)線段CD過(guò)點(diǎn)F,學(xué)生易簡(jiǎn)單理解為過(guò)定點(diǎn)的直線,而忽略焦點(diǎn)弦的特征. 2)簡(jiǎn)單的羅列關(guān)系、互相代換導(dǎo)致運(yùn)算復(fù)雜化,算不出結(jié)果. 3)沒(méi)有解題思路,只知道套用公式,無(wú)法將題目中的條件進(jìn)行代數(shù)轉(zhuǎn)化,而使解題無(wú)法繼續(xù).

2 題目背景

從知識(shí)立意的角度分析,本題主要考查直線的斜率與方程、橢圓的方程和幾何性質(zhì),利用方程判定曲線的性質(zhì)以及圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題等.

從能力立意的角度思考,本題對(duì)符號(hào)運(yùn)算能力要求較高,要求學(xué)生具有較強(qiáng)的分析、論證能力.側(cè)重考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,抽象概括能力,數(shù)與形轉(zhuǎn)化的能力,運(yùn)算求解能力和推理論證能力,對(duì)知識(shí)的運(yùn)用和遷移的能力等.對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)、直觀思維的敏捷性、演繹推理的邏輯性等.

試題的幾何背景來(lái)自于圓:在如圖2所示的圓中,因?yàn)椤?+∠2=∠3=∠4=∠5=∠6+∠7,且∠2=∠7,所以∠1=∠6.把上述結(jié)論推廣到橢圓中研究.試題的設(shè)計(jì)在注重基礎(chǔ)的前提下,充分體現(xiàn)了解析幾何的思想方法,強(qiáng)調(diào)了從學(xué)科的思想體系的角度去認(rèn)識(shí)、把握知識(shí)和方法.

圖2

3 題目解答

x2/2+y2=1.

①

(2)方法1設(shè)直線AB的方程為

y=kx,

②

則直線CD的方程為

y=-k(x-1),

③

由式①、②得

(2k2+1)x2=2.

④

由式①、③得

(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.

⑤

記A(x1,kx1),B(x2,kx2),C(x3,k(1-x3)),D(x4,k(1-x4)),則直線AC、BD的斜率之和

又由式④、⑤可知

則k1+k2=0.

⑥

則直線CD的方程為

⑦

由式①、⑦得

⑧

則直線AC、BD的斜率之和

方法3先取CD垂直與x軸的情況,判斷k1+k2=0,然后代入驗(yàn)證.

4 總結(jié)提煉

處理圓錐曲線問(wèn)題的精髓是將平面圖形坐標(biāo)化,核心方法是將所涉及的幾何問(wèn)題代數(shù)化,通過(guò)代數(shù)運(yùn)算,解決幾何問(wèn)題.形與數(shù)的恰到好處地整合能有效促進(jìn)思維鏈的自然生長(zhǎng),學(xué)生借助于圖形直覺(jué)選擇問(wèn)題情境的某些特征,確定所要探索的變量關(guān)系的各種可能性,并整體把握問(wèn)題解決的方向.依靠代數(shù)定量分析演繹推理論證猜想,細(xì)化完善思路,從而使思維鏈得到有效延伸.在形與數(shù)2種不同形式的問(wèn)題表征下,問(wèn)題解決的脈絡(luò)會(huì)更清晰,效率會(huì)更高,方向會(huì)更準(zhǔn)確.要培養(yǎng)學(xué)生有效控制運(yùn)算失誤,注重?cái)?shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算變形和算理分析,尤其是合乎情理的算法的邏輯評(píng)估.要引導(dǎo)學(xué)生重視做題后的感悟,不僅要關(guān)注一題多解,更要能“聞一知十”,進(jìn)行反省性抽象歸納、概括.

福建省安溪第六中學(xué))