2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理第20題的推廣

◇ 江西 黃賢鋒 北京 童嘉森(特級(jí)教師)

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2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理第20題的推廣

◇ 江西 黃賢鋒1北京 童嘉森2(特級(jí)教師)

(1) 求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo).

(2) 設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)l′平行于OT,與橢圓E交于不同的2點(diǎn)A、B,且與直線(xiàn)l交于點(diǎn)P.證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

(2) 存在常數(shù)λ=4/5.

本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,以及利用“設(shè)而不求”的方法求相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng);本題運(yùn)用“幾何問(wèn)題代數(shù)化”的基本思想探究橢圓的切線(xiàn)和相關(guān)割線(xiàn)之間的內(nèi)在聯(lián)系,思辨性強(qiáng).

回顧此題,筆者引發(fā)如下思考:常數(shù)λ與切點(diǎn)T究竟有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系?對(duì)于這樣一對(duì)特殊的切線(xiàn)和割線(xiàn),能否得出一般性的結(jié)論?該結(jié)論能否推廣到雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)呢?

經(jīng)過(guò)一番涂入思考,筆者得出了如下幾個(gè)結(jié)論,希望能和大家共勉.

圖1

2) 當(dāng)T為左、右頂點(diǎn),即y0=0時(shí),易得上述結(jié)論也成立.

類(lèi)比結(jié)論1,可得出雙曲線(xiàn)中的類(lèi)似結(jié)論.

進(jìn)一步得出拋物線(xiàn)中的類(lèi)似結(jié)論.

圖2

證明如圖2,設(shè)P(x1,y1),因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y2=2px的點(diǎn)T(x0,y0)處的切線(xiàn)l方程為y0y=p(x+x0),所以

將l′的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立代入,可得(y1+tsinθ)2=2p(x1+tcosθ),整理得

所以

因?yàn)辄c(diǎn)P(x1,y1)在切線(xiàn)l上,由弦長(zhǎng)公式可得

探究至此,深感這道高考題的內(nèi)涵十分豐富,試題的一般性結(jié)論凸顯了圓錐曲線(xiàn)的一類(lèi)切線(xiàn)與割線(xiàn)的內(nèi)在聯(lián)系,揭示了該問(wèn)題的幾何本質(zhì).