平面向量在高中數(shù)學(xué)空間幾何中的應(yīng)用

【摘 要】向量的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵，通過向量實(shí)現(xiàn)對代數(shù)和幾何之間的聯(lián)系，通過這種聯(lián)系能夠?qū)?fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題加以解決，降低數(shù)學(xué)問題的難度，更好的解決幾何問題。通過向量的學(xué)習(xí)也能鍛煉學(xué)生的建模、數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的逐漸提升。

【關(guān)鍵詞】向量；空間幾何；高中數(shù)學(xué)

一、平面向量概念的引入

平面向量是銜接代數(shù)和幾何之間的重要的橋梁，向量不同于數(shù)量，是既有大小還有方向的量，數(shù)量只有大小，是代數(shù)領(lǐng)域的概念，可以比較不同數(shù)量之間的大小，而向量有著方向和大小的雙重屬性，有著兩個(gè)決定因素。向量的常用的表示方法有幾何表示法，就是通過有向線段的方向?qū)崿F(xiàn)表達(dá)，包括起點(diǎn)、方向和長度等組成，還可以通過字母表示法實(shí)現(xiàn)表達(dá)，在字母上方添加箭頭，實(shí)現(xiàn)對向量的表達(dá)。向量的大小，也就是向量的長度，又稱為向量的模，表示為 ，其中向量的長度為0的向量稱為零向量，而向量的長度為1的向量稱為單位向量，向量之間是不能進(jìn)行大小的比較，但是向量的模之間是可以進(jìn)行大小比較。向量的相等即要求大小相等，還要求方向相同，兩個(gè)向量之間只有相等的關(guān)系，不存在大于或者小于的關(guān)系。方向相等或者想反的非零向量叫做平行向量，可見相等向量一定是平行向量，而平行向量則不一定是相等向量。向量和向量段之間也是存在著差別，向量有且僅有兩個(gè)決定因素，即為大小和方向，只要這兩個(gè)因素相同，即為相等向量，而向量段除向量的兩個(gè)決定性因素之外，還存在著向量的起點(diǎn)，只有當(dāng)起點(diǎn)也一致的時(shí)候，向量段之間才為相等的關(guān)系，也就是說，即使向量段的大小和方向相同了，但是起點(diǎn)不一致，可以稱作相等向量，但是不能稱作相等的向量段。

二、平面向量知識中包含的數(shù)學(xué)思想

（一）構(gòu)建模型的數(shù)學(xué)思想。構(gòu)建模型的思想是高中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建模型就是從復(fù)雜的問題或者現(xiàn)實(shí)問題中通過簡化和抽象形成一些特定的數(shù)學(xué)問題的思想，構(gòu)建模型的思想是數(shù)學(xué)建模思想的基礎(chǔ)，通過數(shù)學(xué)手段解決實(shí)際的問題。向量中很多的問題包含著這一概念，向量的加減法歸結(jié)為平行四邊形法則和三角形法則，向量的移動和位移的問題可以歸納為解三角形的問題，通過這種思想的建立能夠解決現(xiàn)實(shí)中相對較為復(fù)雜的問題。

（二）數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過，數(shù)無形時(shí)少直覺，形無數(shù)時(shí)難入微，將數(shù)量和圖形之間的緊密關(guān)系直觀的展現(xiàn)出來，建立數(shù)形結(jié)合的思想是重要的數(shù)學(xué)思想，這種思想將數(shù)量表達(dá)的規(guī)范性和圖形表達(dá)的直觀性進(jìn)行比較好的結(jié)合，通過數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，解決數(shù)學(xué)問題。向量本身就兼具著幾何和代數(shù)兩個(gè)方面的含義，向量具有方向是向量幾何屬性的內(nèi)容，而向量的大小則是向量的代數(shù)屬性的內(nèi)容。在向量的學(xué)習(xí)中能夠很好的體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合這種思想的優(yōu)越性，并且通過向量知識的學(xué)習(xí)建立起這種重要的數(shù)學(xué)思想。在實(shí)際的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該在問題中捕捉“數(shù)”和“形”的相關(guān)表達(dá)，建立兩者之間的聯(lián)系，揭示兩者之間的密切關(guān)系。

（三）化歸轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)的研究中，研究一個(gè)問題可以有很多種的研究思路，當(dāng)一種思路的解決難度較大的時(shí)候，可以通過另一種方式實(shí)現(xiàn)對問題的解決。向量問題的學(xué)習(xí)中可以很好的掌握這種數(shù)學(xué)思想。通過這種化歸轉(zhuǎn)換的思想，實(shí)現(xiàn)問題更加靈活的解決，不僅能夠更好的解決問題，還能保障解決過程的效率。向量的表達(dá)和數(shù)學(xué)中其他知識之間也存在著極為緊密的聯(lián)系，通過對這些聯(lián)系更加有效的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題的解決。在研究向量之間的角度的問題就可以轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)之間的運(yùn)算問題，角度問題的研究相對較為復(fù)雜，而數(shù)量的計(jì)算相對較為簡單，通過簡單的方式實(shí)現(xiàn)對同一問題的解決。通過對數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系，將各種問題更加緊密的聯(lián)系起來，對數(shù)學(xué)的本質(zhì)有了更加深刻的思考。

三、在高中數(shù)學(xué)空間幾何中平面向量的運(yùn)用

平面向量是一種二維的向量，對這個(gè)概念的引申，導(dǎo)出了空間向量的概念，通過空間向量這一重要的工具能夠很好的研究空間集合的問題。通過向量能夠?qū)⑽恢眯畔⑥D(zhuǎn)化為數(shù)量信息，可以說，向量是架在幾何和代數(shù)問題之間的橋梁，通過向量能夠?qū)崿F(xiàn)這兩種信息之間的相互轉(zhuǎn)化，能夠?qū)崿F(xiàn)問題的化繁為簡。對于空間幾何中的幾何問題，包括距離和角度等等關(guān)系，傳統(tǒng)的幾何方式的解決較為繁瑣，需要在空間幾何中建立繁多的輔助線，計(jì)算量也較大，各種證明問題的證明過程繁瑣、復(fù)雜。而通過向量的手段，可以將幾何中的信息以一種數(shù)量的形式實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的表達(dá)，通過數(shù)量之間的相互關(guān)系，驗(yàn)證空間幾何中的幾何問題或者是關(guān)系，這樣就省去了添加過多的輔助線的問題，就算的過程也相對較為簡單，實(shí)現(xiàn)了對問題的簡化。傳統(tǒng)的解決幾何問題的幾何方法對運(yùn)算人員的邏輯推理的能力要求較高，通過向量方法的轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)對邏輯推理要求的降低，降低了解決問題的難度，實(shí)現(xiàn)對問題的簡化。

總之，向量是幾何和代數(shù)問題之間的橋梁，通過之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)對幾何問題解決過程的優(yōu)化。高中階段對向量知識的學(xué)習(xí)能夠促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建模型、數(shù)形結(jié)合和劃歸轉(zhuǎn)化思想的建立，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解更加的深入，能夠理解數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，并且通過這種知識之間的聯(lián)系，更好的解決數(shù)學(xué)問題。

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（作者單位：浙江省諸暨市海亮教育集團(tuán)）