工程計算中拉格朗日插值的誤差評價

摘 要：工程計算中，許多系數(shù)都是由物理實驗得出的。這些系數(shù)取值時，需要進行插值。嚴格來講，插值公式形式應該取決于物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系，由理論分析確定。尚不能用理論分析手段確定其具體形式時，拉格朗日插值多項式是常用的插值形式。與此相關，仍不時存在著插值多項式次數(shù)愈高精度愈高的誤區(qū)。由于物理實驗數(shù)據(jù)本身不可避免存在誤差，這些誤差也是隨插值次數(shù)的升高而增大。插值多項式的次數(shù)應該是適度的。當物理實驗數(shù)據(jù)足夠充分時，分段線性插值應該是首選的插值形式。當插值多項式有其他特殊要求時，如一階或二階導數(shù)連續(xù)等，則采用相應的更高一階多項式形式?？茖W評價拉格朗日插值多項式的誤差，對提高相關工程計算精度有著重要的意義。

關鍵詞：工程計算；實驗數(shù)據(jù)；插值；誤差評價

通常情況下，水力學實驗控制實測量相對誤差小于5%，此時認為是比較精確的。如相對誤差達到20%～25%，則認為精度差，誤差大。如若相對誤差在40%～50%，則插值計算已幾無價值。如若相對誤差達80%～100%，則結果就是荒謬的。由表中數(shù)據(jù)可以看出，自變量外延一個數(shù)據(jù)間隔，三、四次插值結果精度已很差，八次插值已幾無價值；若外延兩個數(shù)據(jù)間隔，二次插值結果已存在很大誤差，三次插值結果已幾無價值，四、五次插值結果則完全是荒謬的；若外延三個數(shù)據(jù)間隔，即使是線性插值即已存在較大的誤差，二次插值結果已幾無價值，三次插值結果就已經(jīng)是荒謬的。

4 結束語

通過上述分析可知：（1）誤差隨著數(shù)據(jù)外延間隔的增大，其放大倍數(shù)增長迅速，所以在保證精度的基礎上物理實驗數(shù)據(jù)要盡可能的充分。在插值時盡量不作大間隔的外延計算。（2）在數(shù)據(jù)足夠充分的情況下，分段線性插值是相對最精確的。只有當需要一階導數(shù)連續(xù)時，才有必要進行二次插值；需要二階導數(shù)連續(xù)時，才有必要進行三次插值；依此類推。如無特殊要求，盡量采用低次插值。

參考文獻

[1]四川大學水力學與山區(qū)河流開發(fā)保護國家重點實驗室.水力學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2016，4.

[2]李占松，朱士江.水流運動的不確定性芻議[A].第七屆全國水力學與水利信息學大會論文集（2015水力學與水利信息學進展）[C].武漢：武漢理工大學出版社，2015，10：71-75.

[3]李占松，王艷梅.論流動的恒定性與非恒定性[J].河南科學，2014，3

2（11）：2252-2255.

[4]楊景芳.微機計算水力學[M].大連：大連理工大學出版社，1991，5：35-41.

作者簡介：李占松（1965-），男，漢族，河南長葛人，副教授，博士，主要從事計算水力學及工程水力學方面的研究。

師冰雪（1991-），女，漢族，河南漯河人，水利水電工程專業(yè)碩士研究生。