離散時(shí)間系統(tǒng)響應(yīng)求解及其待定系數(shù)確定

張玲霞， 宋代寧， 齊會(huì)云

(西安電子科技大學(xué) 空間科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710071)

離散時(shí)間系統(tǒng)響應(yīng)求解及其待定系數(shù)確定

張玲霞， 宋代寧， 齊會(huì)云

(西安電子科技大學(xué) 空間科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710071)

響應(yīng)求解是“信號(hào)與系統(tǒng)”課程教學(xué)中的核心內(nèi)容。離散時(shí)間系統(tǒng)中方程右邊有激勵(lì)的移位序列的線性組合時(shí)，求解零狀態(tài)響應(yīng)的常用方法都是激勵(lì)分解法，但最后結(jié)果形式復(fù)雜，難以化簡和分析。本文提出一種直接求解及確定待定系數(shù)的方法。與激勵(lì)分解法相比，該方法結(jié)果表示簡單，計(jì)算方便，既可以計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)，也可以計(jì)算全響應(yīng)。

離散時(shí)間系統(tǒng)；經(jīng)典解；響應(yīng)；初始條件

0 引言

離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析是“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中的重要部分，其實(shí)質(zhì)就是求解給定初始條件下的差分方程。與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程不同，離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程具有迭代性，不同響應(yīng)的初始條件之間可以相互轉(zhuǎn)換，不用像連續(xù)系統(tǒng)那樣，需要采用沖激平衡法判定初值是否跳變，這為離散時(shí)間系統(tǒng)的分析帶來方便，而且響應(yīng)計(jì)算結(jié)果的表示也更為多樣和靈活[1]。經(jīng)典求解方法將全解分為齊次解和特解，特解中的待定系數(shù)由原方程直接確定，齊次解中的待定系數(shù)由全解的初始條件確定。在遇到方程右邊出現(xiàn)激勵(lì)的移位序列或移位序列的線性組合時(shí)，大多教材的講解都是基于激勵(lì)分解的思想[1-7]：先將激勵(lì)分解為簡單激勵(lì)或其移位的線性組合，再對(duì)簡單激勵(lì)引起的響應(yīng)求解，然后再根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的特點(diǎn)，按照分解激勵(lì)的組合形式將其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)也進(jìn)行相應(yīng)的線性組合。這樣處理其物理意義明確，初值迭代量也小，但是結(jié)果繁瑣，難以驗(yàn)證和后續(xù)分析，而且只是針對(duì)零狀態(tài)響應(yīng)。教材[8-10]討論了單位序列響應(yīng)的一種直接求解方法，對(duì)確定待定系數(shù)的初始條件的選取均有涉及，但是沒有給出初始條件選取的最簡規(guī)則。

由于二階常系數(shù)的差分方程的求解是教材中的經(jīng)典題型，本文以二階離散系統(tǒng)為例，給出一種求解具有多移位序列激勵(lì)系統(tǒng)響應(yīng)的方法和待定系數(shù)確定方法，并給出證明，不用分解激勵(lì)，計(jì)算過程簡單，結(jié)果表示清晰明了，不僅可以計(jì)算全響應(yīng)，也可以計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)。

1 問題的提出

某線性時(shí)不變系統(tǒng)方程為：y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k)-0.5f(k-1)，當(dāng)f(k)=ε(k)+2ε(k-1)時(shí)，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzx(k)。

解： (激勵(lì)分解法)將激勵(lì)f(k)=ε(k)+2ε(k-1)代入方程，有

yzs(k)+3yzs(k-1)+2yzs(k-2)=ε(k)+1.5ε(k-1)-ε(k-2)

(1)

方程右邊是ε(k)及其移位序列的線性組合，引入輔助變量y1(k)(簡單激勵(lì)ε(k)引起的響應(yīng))，有

(2)

只要計(jì)算出簡單激勵(lì)ε(k)的零狀態(tài)響應(yīng)y1zs(k)，則yzs(k)可以由下式的線性組合表示：

yzs(k)=y1zs(k)+1.5y1zs(k-1)-y1zs(k-2)

(3)

因此，問題的關(guān)鍵就是根據(jù)式(2)計(jì)算出y1zs(k)了。

y1zs(k)+3y1zs(k-1)+2y1zs(k-2)=1,k≥0

(4)

由式(2)迭代計(jì)算初值y1zs(0)=1,y1zs(1)=-2，則由經(jīng)典解法，可設(shè)：

(5)

代初值y1zs(0)=1,y1zs(1)=-2，得C1=-1/2,C2=4/3，則

(6)

最后，由式(3)得：

(7)

此結(jié)果表示形式復(fù)雜，難以化簡和驗(yàn)證。本文給出一種直接方法。

2 本文提出的方法(直接求解法)

由式(1)進(jìn)行迭代，計(jì)算初值：yzs(0)=1，yzs(1)=-2,yzs(2)=1,yzs(3)=-0.5當(dāng)k≥2時(shí)，式(1)變?yōu)?/p>

yzs(k)+3yzs(k-1)+2yzs(k-2)=1.5

(8)

由經(jīng)典解法，設(shè)

yzs(k)=C1(-1)k+C2(-2)k+0.25,k≥2

(9)

觀察式(9)，為求待定系數(shù)C1,C2，需要代初值yzs(2),yzs(3)，則

(10)

得C1=0.75,C2=0，則

yzs(k)=[0.75(-1)k+0.25]ε(k-2)

(11)

補(bǔ)充k=0,k=1時(shí)刻的初值，有

yzs(k)=[0.75(-1)k+0.25]ε(k-2)+δ(k)-0.5δ(k-1)

(12)

實(shí)際上，可以證明，C1,C2的求解可以直接代k≥2的前兩個(gè)時(shí)刻的初值yzs(0)和yzs(1)，結(jié)果與式(10)計(jì)算的相同。但結(jié)果表示更為簡單，見下式：

yzs(k)=[0.75(-1)k+0.25]ε(k)

(13)

3 推廣應(yīng)用

假設(shè)系統(tǒng)方程為：y(k)+a1y(k-1)+a2y(k-2)=b0f(k)+b1f(k-1)+b2f(k-2) ，且已知激勵(lì)

f(k)=skε(k)，y(-1),y(-2)也為已知，求y(k)。

求解思路：

(1)迭代計(jì)算初值yzs(0)y0，y(1)y1。

(2)求解，當(dāng)k≥2時(shí)，方程為

y(k)+a1y(k-1)+a1y(k-2)=b0sk+b1sk-1+b2sk-2

(14)

由經(jīng)典解法，設(shè)

(15)

特解系數(shù)可以由式(14)計(jì)算。代入y(0),y(1)初值，確定待定系數(shù)，代入式(14)，有

(16)

如果初值y(-1)，y(-2)均為零，則此響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)，式(16)可以表示為

(17)

由以上求解過程可知，式(15)中的待定系數(shù)C1和C2，應(yīng)由初值y(2)和y(3)確定，但用初值y(0)和y(1)求解的C1和C2也是相同的，而且響應(yīng)表示更簡單。下面給出證明。第一種情況：特征單根λ1≠λ2且s不等于特征根

設(shè)特解yp(k)=Psk，k≥2，代入式(14)，得

(18)

則式(15)為

(19)

迭代計(jì)算初值yzs(0)y0,y(1)y1

y(2)=b0s2+b1s+b2-a1y1-a2y0=m-a1y1-a2y0

(20)

y(3)=b0s3+b1s2+b2s-a1y2-a2y1=ms-a1m+

(21)

其中：m=b0s2-b1s+b2，結(jié)合式(18)，有

m=b0s2+b1s+b2=P(s2+a1s+a2)

(22)

將初值y(2)和y(3)代入式(19)，有

(23)

推出待定系數(shù)

(24)

式中：A=(Ps2λ2-Ps3+a1a2y0+λ2a2y0)，

B=(Ps2λ1-Ps3+a1a2y0+λ1a2y0)

將C1和C2代入式(19)，即可得全響應(yīng)y(k)，但此式不包含y(0)和y(1)。若直接代k=2的前兩個(gè)時(shí)刻的初值y(0)和y(1)，有

(25)

得

(26)

則全響應(yīng)為

(27)

即要證明

(28)

(29)

首先證明式(28)成立，式(29)由λ1與λ2的對(duì)稱性易證。

由特征方程及維達(dá)定理：

(30)

以及式(22)，可以推出式(28)左邊分子中

[A+m(s-a1-λ2)]

=(Ps2λ2-Ps3-λ1a2y0)+m(s+λ1)

第二種情況：s等于一特征單根，不妨設(shè)s=λ1≠λ2

可計(jì)算出特解為yp(k)=(P1k+P0)sk,k≥2，其中

(31)

(32)

其中C=C1+P0。

將初值y(2),y(3)代入式(32)，確定待定系數(shù)，得

(33)

其中：

m=b0s2+b1s+b2=-P1(a1λ1+2a2)

(34)

(35)

則全響應(yīng)為

(36)

如果直接代k=2的前兩個(gè)時(shí)刻的初值y(0)和y(1)，有

(37)

得

(38)

代入式(36)，全響應(yīng)為

(39)

由式(30)及式(34)，很容易推出

C2=

C=

第三種情況：s等于特征重根，即s=λ1=λ2=λ

m=b0s2+b1s+b2=2a2P2

(40)

設(shè)y(k)=yh(k)+yp(k)=(C1k+C2)λk+(P2k2+P1k+P0)λk，k≥2，即

y(k)=(C1k+C2+P2k2+P1k+P0)λk=(P2k2+Pk+C)λk,k≥2

(41)

其中P=C1+P1,C=C2+P0。

將初值y(2),y(3)代入式(41)，確定待定系數(shù)，得

(42)

式(30)變?yōu)棣?+a1λ+a2=0及λ=-2a1,λ2=a2，求解得

(43)

此時(shí)，響應(yīng)為

y(k)=(P2k2+P0k+C)λk,k≥2

(44)

如果直接代k=2的前兩個(gè)時(shí)刻的初值y(0)和y(1)，有

(45)

得

(46)

則響應(yīng)

y(k)=(P2k2+P0k+C)λk,k≥0

(47)

4 小結(jié)

(1)直接使用初值y(0)和y(1)計(jì)算待定系數(shù)，不僅省去迭代y(2)和y(3)的麻煩，而且結(jié)果更為簡單。若式(14)中b2或b1為零，也可用初值y(0)和y(1)確定待定系數(shù)。

(2)上述證明過程與y(-1)和y(-2)的具體數(shù)值無關(guān)，說明本文方法不僅可以用于全響應(yīng)的求解，也適用于零狀態(tài)響應(yīng)的求解。采用激勵(lì)分解法求解零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，需要引入輔助變量，輔助變量的零狀態(tài)響應(yīng)初值均為0。而輔助變量的全響應(yīng)初值不一定為零。因此，教材中講解的激勵(lì)分解法只適用于零狀態(tài)響應(yīng)的求解，不適合全響應(yīng)的計(jì)算。

(3)直觀理解k≥m(m=0,1,2)的全解的結(jié)構(gòu)中已經(jīng)包含了k≥m的激勵(lì)信息，而k≥m的兩個(gè)初值y(m)和y(m+1)是由k

(張玲霞等文)

因此直接代入k

(4)本文所述方法也可以直接計(jì)算單位序列響應(yīng)h(k)，例如，

h(k)+3h(k-1)+2h(k-2)=δ(k)-0.5δ(k-2)

當(dāng)k≥3時(shí),

h(k)+3h(k-1)+2h(k-2)=0

其解h(k)=C1(-1)k+C2(-2)k,k≥3中直接代時(shí)刻k=3之前的初值h(1)和h(2)計(jì)算待定系數(shù)即可，此時(shí)h(k)可表示為h(k)=[C1(-1)k+C2(-2)k]ε(k-1)+h(0)δ(k)

當(dāng)單位序列響應(yīng)方程為h(k)+3h(k-1)+2h(k-2)=δ(k)時(shí)，其解h(k)=C1(-1)k+C2(-2)k,k≥1中直接代k=1的前兩個(gè)初值h(-1)和h(0)即可，此時(shí)h(k)可表示為

h(k)=[C1(-1)k+C2(-2)k]ε(k)。

5 結(jié)語

離散時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)求解是“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中的主要內(nèi)容之一，其結(jié)果表示靈活多樣，在用經(jīng)典解法求解時(shí)，其初始條件可由方程迭代計(jì)算，非常簡單。但是如果初始條件選取不當(dāng)，響應(yīng)的表示會(huì)很復(fù)雜，難以驗(yàn)證和化簡。本文探討一種計(jì)算過程簡單，結(jié)果表示清晰明了的響應(yīng)求解方法，特別是當(dāng)系統(tǒng)方程中出現(xiàn)激勵(lì)的移位序列或移位序列的線性組合時(shí)，該方法的優(yōu)勢更為明顯。該方法不僅適用于零狀態(tài)響應(yīng)求解，也適用于全響應(yīng)求解。本文只對(duì)激勵(lì)為指數(shù)型的因果序列f(k)=skε(k)進(jìn)行了證明，對(duì)于其它冪函數(shù)或三角函數(shù)形式的激勵(lì)未加考慮，有待于繼續(xù)完善。

[1] 吳大正，信號(hào)與線性系統(tǒng)分析(第4版)[M]， 北京：高等教育出版社，2005.8.

[2] 徐亞寧，蘇啟常，信號(hào)與系統(tǒng)(第三版)[M]，北京：電子工業(yè)出版社，2011.7.

[3] 曾黃麟，信號(hào)與線性系統(tǒng)[M]，北京：科學(xué)出版社，2011.2

[4] 金波，張正炳，信號(hào)與系統(tǒng)分析[M]，北京：高等教育出版社，2011.4.[5] 鄧翔宇，信號(hào)與系統(tǒng)(第二版)[M]，北京：清華大學(xué)出版社，北京交通大學(xué)出版社，2005.7

[6] 張永瑞，信號(hào)與系統(tǒng)(精編版)[M]，西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2014.6.

[7] 張曄，信號(hào)與系統(tǒng)[M]，哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2010.12. [8] 郭寶龍，閆允一，朱娟娟等，工程信號(hào)與系統(tǒng)[M]，北京：高等教育出版社，2014.7.

[9] 呂幼新，張明友編著，信號(hào)與系統(tǒng)(第二版)[M]，北京：電子工業(yè)出版社，2007.8.

[10] 陳后金，胡健，薛健，信號(hào)與系統(tǒng)(第二版)[M]，北京：清華大學(xué)出版社，北京交通大學(xué)出版社，2005.7

Method to Solve the Response and Its Undetermined Coefficients of LTI Discrete System

ZHANG Ling-xia, SONG Dai-ning, QI Hui-yun

(SchoolofAerospaceScience&Technology,XidianUniversity,Xi'an710071，China)

The response analysis of linear time-invariant (LTI) system is the core of the Signal and System course. The solving zero-state response is commonly based on the decomposition of the excitation when the excitation is a linear combination of simple signal and its sequences. But the final results are complex in the form and difficult to simplify and subsequent analysis. In this paper, a method to determine the response and its undetermined coefficients is given. Compared with excitation decomposition, the presented method is simple, convenient and can be used to compute zero-state response or complete response.

discrete-time system; classical solution; response; initial condition

2015-06-25;

2015-09- 23

張玲霞(1965-)，女，博士，副教授，主要從事電路、信號(hào)課程教學(xué)以及綜合測試與故障診斷等科研工作，E-mail: zlxnpu@163.com

G420

A

1008-0686(2016)02-0067-05