“數(shù)”“形”結(jié)合是數(shù)學(xué)的核心思想和靈魂

◎吳宜朔

“數(shù)”“形”結(jié)合是數(shù)學(xué)的核心思想和靈魂

◎吳宜朔

數(shù)學(xué)是一門古老的學(xué)問(wèn)，是人類進(jìn)化史上的重要工具。其研究?jī)?nèi)容豐富、應(yīng)用領(lǐng)域廣泛。其中，數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中兩個(gè)最古老、最基本的內(nèi)容，它們相互轉(zhuǎn)化、相互滲透、相互支撐。中學(xué)數(shù)學(xué)將研究對(duì)象分為數(shù)和形兩部分，實(shí)際二者是密切交織和結(jié)合在一起的。有研究將數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法和解題思路，更高程度上，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的核心思想和靈魂。因?yàn)樗灤┯跀?shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程中，滲透于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用中。

數(shù)學(xué)是因生產(chǎn)實(shí)踐需要而早在遠(yuǎn)古時(shí)代就產(chǎn)生的古老的基礎(chǔ)科學(xué)，其工具性和實(shí)用性特征顯著，所以，被幾乎所有學(xué)科和領(lǐng)域廣泛使用；又因其極強(qiáng)抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，在使用過(guò)程中，需借助圖形、圖像、圖示等直觀、簡(jiǎn)潔的形式呈現(xiàn)出來(lái)，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生于發(fā)展始終貫穿數(shù)形結(jié)合

人類最早用有形物體來(lái)計(jì)數(shù)。數(shù)學(xué)是研究事物數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)問(wèn)。它起源于人類最早的用手指、腳趾或小石子、小木棍等計(jì)數(shù)方式，同時(shí)，在實(shí)踐中對(duì)各種形狀的物體如大、小、方、圓等，進(jìn)行反復(fù)觀察、比較與使用，逐漸舍棄具體事物，進(jìn)而抽象概括出形的概念。所以，最早的數(shù)學(xué)本身就是數(shù)形結(jié)合。其它學(xué)科尤其自然科學(xué)都借助數(shù)學(xué)這一工具，精確地反映客觀事物的運(yùn)動(dòng)形態(tài)和規(guī)律。

隨著生產(chǎn)力的不斷發(fā)展和人類認(rèn)識(shí)水平的不斷提高，數(shù)學(xué)獲得了極大的進(jìn)步，也提出了許多新的研究課題，誕生了許多數(shù)學(xué)理論成果，如概率論、運(yùn)籌學(xué)、信息論、控制論等。數(shù)學(xué)與其它學(xué)科滲透，產(chǎn)生了諸多邊緣學(xué)科：物理數(shù)學(xué)、生物數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、語(yǔ)言數(shù)學(xué)等。數(shù)學(xué)方法被應(yīng)用于大量學(xué)科，如分析處理人口學(xué)、人種學(xué)和考古學(xué)等科研數(shù)據(jù)，還被運(yùn)用到研究經(jīng)濟(jì)學(xué)、法學(xué)、史學(xué)和語(yǔ)言學(xué)等社會(huì)科學(xué)中。這諸多方面都離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合的思想和方法的指導(dǎo)與運(yùn)用。

基于數(shù)學(xué)而誕生的計(jì)算機(jī)，更彰顯數(shù)學(xué)強(qiáng)大的工具性及實(shí)用性，也把數(shù)形結(jié)合的核心思想和靈魂發(fā)揮到極致。

數(shù)形結(jié)合是有效的教學(xué)方法和解題思路

以“數(shù)”化“形”。數(shù)學(xué)具有極強(qiáng)的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，在數(shù)學(xué)的教育教學(xué)中，必須借助一定的圖形圖示，將抽象的數(shù)學(xué)文字、數(shù)量關(guān)系等，借“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，把抽象問(wèn)題具體化，讓晦澀難懂的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、直接、有趣、易解，優(yōu)化解題途徑，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，增加趣味性和觀賞性。例如，在統(tǒng)計(jì)中，將繁雜的數(shù)字關(guān)系和表述可以通過(guò)一幅柱狀圖或扇形圖等直觀地呈現(xiàn)出來(lái)；在數(shù)量對(duì)比關(guān)系中，文字和數(shù)字的表述可以通過(guò)坐標(biāo)系、帶比例尺的圖示等表現(xiàn)，使得對(duì)比分明、結(jié)果一目了然。解題中，尤其應(yīng)用題，單純從文字表述容易使人思維混亂、邏輯模糊，但若將其恰當(dāng)?shù)乩L出圖形，頓時(shí)豁然開(kāi)朗，思路清晰，答案躍然紙上。

作為學(xué)生，要想真正學(xué)好數(shù)學(xué)并取得事半功倍的效果，必須樹(shù)立數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維和習(xí)慣，尤其在大型數(shù)學(xué)選拔考試和競(jìng)賽活動(dòng)中，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合化解抽象晦澀的數(shù)學(xué)問(wèn)題，會(huì)讓人感覺(jué)絕處逢生。

以“形”變“數(shù)”。雖然圖形、圖示、圖像有形象、直觀、簡(jiǎn)潔等優(yōu)點(diǎn)，但在定量和精確性方面還必須借助數(shù)的計(jì)算和表示，特別是對(duì)于較復(fù)雜 的“形”，既要正確的把圖形數(shù)字化，還要關(guān)注圖形的特點(diǎn)，深挖題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進(jìn)行精確的分析計(jì)算。

“數(shù)”“形”滲透。中學(xué)數(shù)學(xué)最具代表性的數(shù)形結(jié)合就是解析幾何，實(shí)質(zhì)就是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化：代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。直白表述就是徹底明白和靈活運(yùn)用參數(shù)的幾何意義和圖形的代數(shù)特征，達(dá)到數(shù)形的完美結(jié)合。

數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)在測(cè)繪應(yīng)用中的經(jīng)典表現(xiàn)

作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)被用于幾乎所有學(xué)科。各學(xué)科運(yùn)用數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換，來(lái)解決自身的實(shí)際問(wèn)題，而數(shù)學(xué)也借此為實(shí)際問(wèn)題提供理論基礎(chǔ)。可見(jiàn)通過(guò)相互滲透與融合，數(shù)學(xué)和其他學(xué)科相互促進(jìn)，獲得各自的進(jìn)步。當(dāng)然測(cè)繪也不例外。在數(shù)學(xué)與各學(xué)科的滲透發(fā)展中，測(cè)繪是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換最典型、最直接、最密切的學(xué)科。而三角幾何在高程測(cè)量、角度測(cè)量、距離測(cè)量中的作用更是不言而喻。

數(shù)學(xué)與測(cè)繪的關(guān)系源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，人類最早測(cè)繪都是圍繞“數(shù)”和“形”這兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行的，人類的測(cè)繪實(shí)際起源于丈量、勘測(cè)、界定土地，運(yùn)用規(guī)矩（圓規(guī)和角尺等）等幾何工具，巧妙的將“數(shù)”與“形”結(jié)合，為生產(chǎn)實(shí)踐服務(wù)。據(jù)考證，三角幾何學(xué)作為控制測(cè)量的理論基礎(chǔ)與基本方法，早在古希臘時(shí)期就已被用于天文測(cè)量學(xué)，這可看做測(cè)繪學(xué)與數(shù)學(xué)聯(lián)系的早期最重要反映。

把數(shù)學(xué)思維與方法滲透于測(cè)繪，借助數(shù)學(xué)及其新的分支學(xué)科，極大地促進(jìn)了測(cè)繪的發(fā)展。而應(yīng)用的重點(diǎn)就在于把數(shù)學(xué)中的“數(shù)”“形”結(jié)合與轉(zhuǎn)化，更深層的運(yùn)用到測(cè)繪中去，不僅提高測(cè)繪效率，更會(huì)使得測(cè)繪學(xué)的技術(shù)更進(jìn)一步走向規(guī)范化、邏輯化、精準(zhǔn)化。

近年來(lái)，隨著數(shù)學(xué)及其分支學(xué)科的迅速發(fā)展，測(cè)繪領(lǐng)域可借助的“數(shù)”“形”結(jié)合轉(zhuǎn)化工具也越來(lái)越先進(jìn)高效，如小波分析、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)、分形等，這些理論和方法也助推了大地測(cè)繪、攝影與遙感測(cè)繪、地圖制圖測(cè)繪、軍事防御工程測(cè)繪等諸多領(lǐng)域走向更高層次、更為深入的專業(yè)化、科學(xué)化、現(xiàn)代化發(fā)展軌道。

數(shù)學(xué)的博大精深及其廣泛的實(shí)用性，在人類發(fā)展史上所起的巨大作用是其它學(xué)科無(wú)法比擬的。我們?cè)趯W(xué)習(xí)和實(shí)踐中要活學(xué)活用，認(rèn)真體味。比如：近年對(duì)珠穆朗瑪峰高度的復(fù)測(cè)再次引起大家對(duì)測(cè)繪的關(guān)注；生活中，有很多人類自身無(wú)法達(dá)到的高度或者寬度，根本不容易直接測(cè)量，比如樓房、大樹(shù)、高塔等的高度及寬度，直接測(cè)量相對(duì)比較麻煩，但運(yùn)用數(shù)學(xué)和物理等相關(guān)知識(shí)和方法，即可實(shí)現(xiàn)間接測(cè)量，且所花的人力、物力等成本都相對(duì)小的多。

（作者單位：山東費(fèi)縣二中）