由課本一道習(xí)題所想到的
——淺論幾何題目的命制

☉江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初中 曹文喜

由課本一道習(xí)題所想到的
——淺論幾何題目的命制

☉江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初中 曹文喜

筆者多次參加泰州市的中考命題和區(qū)教研室調(diào)研測試的命題.試題的命制應(yīng)體現(xiàn)出新課標(biāo)要求下的某種教學(xué)導(dǎo)向.壓軸題（包含填空題的壓軸題或最后的大的壓軸題）是試卷命制的核心，試題的改編、創(chuàng)作離不開題源，回歸教材找題源是試題命制的常用方法，一道好的試題應(yīng)當(dāng)源于教材而又高于教材.現(xiàn)舉例如下.

原題（蘇教版數(shù)學(xué)八年級下冊P95，第21題）如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8.

（1）如圖（1），將矩形沿對角線BD折疊，使點A落在點E處，設(shè)DE與BC相交于點F，求BF的長；

（2）如圖（2），將矩形紙片折疊，使點B與點D重合，求折痕GH的長.

圖1

分析：由于矩形ABCD中，AD∥BC，所以由兩直線平行，得到內(nèi)錯角相等，從而我們發(fā)現(xiàn)圖（1）中，∠FDB＝∠ADB＝∠DBF，所以FB=FD；圖（2）中，∠BHG＝∠DHG＝∠DGH，所以DG=DH.

解：由圖（1）可知∠FDB＝∠ADB＝∠DBF.設(shè)BF=x，于是DF=BF=x，F(xiàn)C=BC-BF=8-x.在Rt△DFC中，由勾股定理得：62+（8-x）2＝x2，則x=6.25.

（2）如圖（3），連接BD交GH于O，由題意得BD=10，GH垂直平分BD，HD=HB.于是，在Rt△DHC中，由勾股定理得62+（8-DH）2＝DH2，則DH＝.在Rt△BOH中，OB=5，，由勾股定理得OH＝，則GH＝2OH＝

總結(jié)：這類折疊的圖形有以下結(jié)論，如圖（1）中相等的線段有：AB=CD=BE、AD=BC、FB=FD、FE=FC，（2）全等的三角形有：△ABD≌△CDB、△CDF≌△EBF；圖（2）中相等的線段有AB=CD=A′D、GA=G′A，全等的三角形有△DHC≌△DGA′，全等的四邊形有四邊形ABHG≌四邊形CDGH≌A′DHG.

變換原題的條件和任意一個結(jié)論，再添加必要的條件限制，就可以演變成一個新的題型，這里不再敘述，下面從課標(biāo)的要求和折痕的位置來談?wù)擃}目的命制：以上第（1）題的折痕是對角線BD，第（2）題的折痕是線段GH，其實都可以看作折痕的兩端分別在AD和BC上，如果折痕的一端在邊AB上，另一端是矩形的頂點C，則可以演變成如下的題型.

拓展1：如圖2，矩形ABCD中，AB= 6，BC=8，P為AB上一點，將△BCP沿CP翻折至△CEP，PE與AD相交于點O，且OE=OA，則BP的長為____.

圖2

分析：這是2015年泰州市中考數(shù)學(xué)填空壓軸題，按常規(guī)思維要考慮△OAP∽OEF∽CDF，但命題者顧及蘇科版新教材已經(jīng)弱化了有關(guān)相似三角形的知識且把相似三角形的知識點安排到了九年級下冊，而考綱的要求是強(qiáng)化全等三角形和勾股定理的運用，所以就添加了一個條件OE=OA，這樣很自然地想到了△OAP≌△OEF，所以O(shè)P=OF，從而OA+OF=OE+OP=PE=PB，下面利用勾股定理就能得出結(jié)果.

解：設(shè)BP=x，由題意可得∠OAP＝∠OEF=90°.又OA= OE，則△OAP≌△OEF.

則AP=EF，OP=OF，則OA+OF=OE+OP=PB=x.這樣FD=8-x，AP=6-x，F(xiàn)C=8-（6-x）=2+x.在Rt△DFC中，根據(jù)勾股定理可得：（2+x）2＝62+（8-x）2，則x=4.8.

總結(jié)：命題者添加了條件OE=OA，使利用相似三角形知識解答的題目變成了利用全等三角形求解，難的是部分學(xué)生想不到PB的長等于AF的長，這點也是此題的精彩之處，它考查了整體的數(shù)學(xué)思想.

如果沿著矩形的對角線折疊后，再沿著矩形的對邊折疊一次又可以演變成如下題目.

拓展2：如圖3（1），有一張矩形紙片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿對角線BD折疊，點C落在點C′的位置，BC′交AD于點G.

圖3

（1）求證：AG=C′G；

（2）如圖（2），再折疊一次，使點D與點A重合，折痕EN交AD于M，求EM的長.

分析：這是2011年深圳市的中考試題.對于第（1）小題，可根據(jù)圖形折疊前后的對稱線段相等、對應(yīng)角相等來證得兩個三角形全等得到.第（2）小題可利用第（1）小題的結(jié)論，通過勾股定理先求得AG、C′G的長，然后利用△DME∽△DC′G就可以求出EM的長.

（1）證明：如圖（1），由對折和圖形的對稱性，可知CD=C′D，∠C=∠C′=90°.

在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C=90°，則AB= C′D，∠A=∠C′.

在△ABG和△C′DG中，AB=C′D，∠A=∠C′，∠AGB=∠C′GD，則△ABG≌△C′DG，故AG=C′G.

（2）解：如圖（2），設(shè)EM=xcm，AG=ycm，則有：C′G=y， DG=8-y，DM=AD=4cm.

在Rt△C′DG中，∠DC′G=90°，C′D=CD=6，則C′G2+ C′D2=DG2，即y2+62=（8-y）2.

原題（2）將矩形紙片折疊，點B正好與點D重合，改變矩形的邊長，如果點B與點D不重合，則又可以演變成如下的題目.

拓展3：如圖4，長方形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD上的點E處，折痕的一端G點在邊BC上.

（1）如圖（1），當(dāng)折痕的另一端F在邊AD上且BG=10時，求AF的長.

（2）如圖（2），當(dāng)折痕的另一端F在邊AD上，B點的對應(yīng)點E在長方形內(nèi)部，E到AD的距離為2，且BG=10時，求AF的長.

圖4

圖5

分析：這是2015年我區(qū)調(diào)研測試的一道壓軸題.如圖（1），折疊后B點落在AD上，顯然EF=EG=BG=10.又HE=AB=8，這樣根據(jù)勾股定理就能得到AF=HF=6.如圖（2），折疊后，B點落在矩形的內(nèi)部，題目中有條件E到AD的距離為2，實際上就是E到BC的距離是6，理解這一點至關(guān)重要.再考慮到四邊形ABGF和四邊形HEGF是兩個全等的四邊形，因此它們對應(yīng)的對角線BF、EF也相等，從而列出方程求得AF的長.

解：（1）由翻折的性質(zhì)可知AF=HF，∠H=∠A=90°，HE=AB=8，EG=BG，∠BGF=∠EGF.在矩形ABCD中，AD∥BC，所以∠BGF=∠EFG，所以∠EFG=∠EGF，所以EF=EG=BG=10.

（2）如圖5，連接FB、FE.易知FB=FE.過點E作EM⊥AD，垂足為M，并延長ME交BC于點N.

由EM=2，得EN=6.

由勾股定理得GN=8，則AM=BN=18.設(shè)AF=x，F(xiàn)M= 18-x.

由FB=FE，可得：82+x2=4+（18-x）2，解得x=，則AF=

總結(jié)：本題的難點是好多學(xué)生想不到連接BF、EF，其實解題的關(guān)鍵是注意翻折前后的對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，所以∠HEG=∠ABG=90°，這樣易得△ENG∽△OME，運用相似三角形的知識也是解答本題的一個途徑.這樣就有了改編本題更多的空間，所以本題還可以改編為求OM、OE、OH、OF的長等.

總之，教材是中考命題的依據(jù)，是編制試題的題源.要想提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，應(yīng)緊扣課標(biāo)，回歸教材，發(fā)揮教材的示范作用，這樣可以避免題海戰(zhàn)術(shù).作為一名好的數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該好好研究教材，從課本基本圖形入手，可以變換課本母題的條件和結(jié)論改編成一個新的題型來考查學(xué)生的逆向思維能力；也可以改變母題的基本圖形，但所運用的知識點和解題方法不變；還可以改變母題的條件，使之從靜態(tài)變成動態(tài)，命制成一道符合課標(biāo)要求且具有創(chuàng)新性的題目，來考查學(xué)生的靈動思維和應(yīng)變能力.Z