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    不同年級“關(guān)聯(lián)”試題的命題實踐與思考

    2016-12-28 12:19:33江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年24期
    關(guān)鍵詞:三項式考題內(nèi)角

    ☉江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué) 趙 建

    不同年級“關(guān)聯(lián)”試題的命題實踐與思考

    ☉江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué) 趙 建

    在各級考試中,對于重要位置的把關(guān)題、關(guān)鍵題來說,是隨意復(fù)制粘貼各地所謂的考題到一次測試卷中還是精心挑戰(zhàn)經(jīng)典問題背景是值得每一個命題老師認(rèn)真面對和深入思考的.在最近一次期中命題過程中,筆者參與了初二、初三的命題工作,在這次命題中,我們在兩份試卷中分別設(shè)計了兩道“關(guān)聯(lián)”的數(shù)學(xué)把關(guān)題,考試之后得到兩個年級師生的好評和熱議,本文先給出這兩道考題及命題意圖,并跟進(jìn)命題思考和教學(xué)導(dǎo)向,提供研討.

    一、兩道“關(guān)聯(lián)”的把關(guān)題

    考題1(初二上學(xué)期期中考題)如圖1,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC>BC,射線CM平分∠ACB.

    圖1

    (1)設(shè)CM交AB于點D,DE⊥BC于點E,DF⊥AC于點F,連接EF.求證:CD與EF互相垂直平分.

    (2)若射線CM上有一點N到△ABC的頂點A,B的距離相等,連接NA,NB.

    ①請指出△NAB的形狀,并說明理由;

    ②當(dāng)AC=6,BC=4時,求四邊形ANBC的面積.

    命題意圖:這道題源自人教版教材八年級上冊習(xí)題.[1]只是強(qiáng)化了∠ACB是直角,重點考查角平分線的性質(zhì)與判定定理、垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì),對初二上學(xué)期的全等三角形、軸對稱一章的知識重點考查、聯(lián)合考查.解決第(2)題要注意第(1)問兩條垂線段的啟示作用,這樣可以快速打開思路.

    考題2(初三上學(xué)期期中考題)如圖2,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的弦,∠ACB的平分線CD分別交⊙O于D,交AB于M,連接AD、BD.

    (1)請你過點D分別向AC、BC作垂線,垂足分別為點E、F,求證:四邊形CEDF為正方形;

    圖2

    (2)設(shè)DA=m,DC=n,試用含m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長;

    命題意圖:這道題是在上面初二考題的基礎(chǔ)上變換設(shè)問角度,融入了初三新學(xué)的圓、相似等知識點,使得探究方向進(jìn)一步拓展.第(1)問證明四邊形CEDF是正方形是常規(guī)問題;第(2)問進(jìn)一步利用四邊形CEDF是正方形,先證△ADE≌△BDF,得出AE=BF,從而代換得AC+ BC=2CE;再證△CDE為等腰直角三角形,所以CE=n,所以AC+BC=又AB是⊙O的直徑,得∠ADB=90°.又CD平分∠ACB,所以AD=BD,所以AB=,即△ABC的周長=n.

    第(3)問可以過點M向AC,BC引垂線段MG,MH,然后利用相似比和,相加得=1,而,即的值不變,這個不變值為

    簡要反思:第(1)問的正方形啟示著第(2)問的AC+ BC=n.從而問題獲得進(jìn)展.第(3)問除上面利用比例式轉(zhuǎn)化之外,還可借助于面積法處理.

    二、“關(guān)聯(lián)”試題的進(jìn)一步思考

    初中階段很多試題的背景都是十分相像,但在不同年級不同章節(jié)中對其研究和解釋的角度不一,就像需要靈活選用工具處理一樣,本文提供的兩道“關(guān)聯(lián)”試題也是試圖闡釋這樣的道理.以下就圍繞“關(guān)聯(lián)”試題的命題給出進(jìn)一步的思考.

    1.關(guān)聯(lián)試題的命制要重視教材開發(fā)

    認(rèn)真研習(xí)初中版教材的同行應(yīng)該知道,教材上的例題、習(xí)題不僅都是經(jīng)典問題,而且相互呼應(yīng),若不加以對比研習(xí),常常容易忽略不同分冊教材之間的習(xí)題上的對應(yīng)與關(guān)聯(lián).比如上文兩道考題之間的關(guān)系,在初二、初三教材中都能找到原型.再如,初一圖形初步知識學(xué)習(xí)之后,教材上曾安排學(xué)生度量三角形的內(nèi)角和,再度量四邊形的內(nèi)角和,意圖讓學(xué)生通過度量這樣的一種實驗的方式直覺感知多邊形內(nèi)角和,為初一下學(xué)期學(xué)習(xí)和證明三角形內(nèi)角和形成鋪墊;該題還要求學(xué)生進(jìn)一步取四邊形的各邊中點,并度量中點四邊形的各邊的長、各個內(nèi)角的度數(shù),發(fā)現(xiàn)中點四邊形的對邊相等、對角相等,這些實驗操作其實都對應(yīng)著初二年級要學(xué)習(xí)的平行四邊形、中位線性質(zhì).如果我們不了解教材上的這些拓展習(xí)題的設(shè)計意圖,不引導(dǎo)學(xué)生重視這些試題的開發(fā)與利用,則可能丟失了很多重要價值.

    2.關(guān)聯(lián)試題的問題背景要簡潔好懂

    關(guān)聯(lián)試題的問題背景需要簡潔好懂,這樣可以減少學(xué)生“進(jìn)入”該題的障礙,但是需要經(jīng)過確認(rèn)和識別才能進(jìn)一步理解問題求解的方向與目標(biāo),并靈活調(diào)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識實現(xiàn)求解.這里我們也可提及一些關(guān)聯(lián)試題的問題情境,比如代數(shù)領(lǐng)域,以二次三項式為研究對象在初一可以引導(dǎo)學(xué)生辨別二次項式的次數(shù)、系數(shù)、項數(shù);而在初二則可安排學(xué)生先運(yùn)用整式乘法得到二次三項式,再逆向因式分解一個二次三項式,還可以基于完全平方式的角度對二次三項式的非負(fù)性、最值進(jìn)行初步探究;到初三時,針對二次三項式可以從一元二次方程、二次函數(shù)的角度設(shè)計試題考查.這樣來看,以二次三項式為背景的試題就是一個很有“數(shù)學(xué)味”的關(guān)聯(lián)試題.

    3.關(guān)聯(lián)試題的求解力爭能殊途同歸

    所選關(guān)聯(lián)試題作為把關(guān)題的重要教學(xué)引領(lǐng)還在于,鼓勵和引導(dǎo)師生在平時教學(xué)中重視那些解法可以殊途同歸的試題,比如可以在不同年級選用不同方法的試題就值得充分關(guān)注.比如,幾何領(lǐng)域,初二教材上曾要求學(xué)生解決過下面這道經(jīng)典幾何題:

    教材習(xí)題如圖3,在正方形ABCD中,M是BC邊(不含端點B、C)上任意一點,P是BC延長線上一點,N是∠DCP的平分線上一點.若∠AMN=90°,求證:AM=MN.

    圖3

    圖4

    初二的證明思路是這樣的:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.在正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.所以∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE.進(jìn)一步證出△AEM≌△MCN,故AM= MN.

    該題還可變式成等邊三角形、正多邊形的問題,比如下面的變式:

    變式題1:正三角形ABC中(如圖4),N是∠ACP的平分線上一點,則當(dāng)∠AMN=60°時,結(jié)論AM=MN是否還成立?請說明理由.

    變式題2:正n邊形ABCD…X,請你作出猜想:當(dāng)∠AMN的度數(shù)是多少時,結(jié)論AM=MN仍然成立.

    講解:變式1,2的結(jié)論仍然成立.初二證明時還可繼續(xù)采用截取的方式利用全等實現(xiàn)問題的解決.到了初三圓的學(xué)習(xí)之后,我們還可從結(jié)論出發(fā),如圖5,若連接AF,則Rt△AEF應(yīng)該是等腰直角三角形,如果作出Rt△AEF的外接圓,有何發(fā)現(xiàn)呢?點C也在這個圓上嗎?一個接近問題深層結(jié)構(gòu)的“輔助圓”證法來到眼前!

    圖5

    圖6

    圖7

    重要的是,基于外接圓的思路,正三角形問題、正n邊形問題也有類似的結(jié)構(gòu)(如圖6,圖7).

    三、寫在最后

    有人說命題基本功是教師專業(yè)精進(jìn)的突破口,筆者深有共鳴.一次考試常常影響著測試范圍內(nèi)的“全樣本”的師生,不但作為一種教學(xué)反饋,更是一次教學(xué)診斷、評估和引領(lǐng),我們提出在把關(guān)題處設(shè)置“關(guān)聯(lián)”試題的想法還是初步的,也是個性化的一些認(rèn)識,期待更多命題愛好者的題例跟進(jìn).

    1.課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心,編著.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)·八年級上冊[M].北京:人民教育出版社,2013.

    2.鄭毓信.多元表征與概念教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育,2011(10).

    3.陳愛軍.預(yù)設(shè)互動促進(jìn)對話,課件簡約漸次展現(xiàn)——李庾南老師“函數(shù)的圖像”課例賞析[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2016(10).

    4.鮑建生,顧泠沅,等.變式教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2003(1,2,3).

    5.許燕.從解題賞析走向教學(xué)研究——以2016年無錫卷第27題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(10).H

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