突出數(shù)學(xué)思想主線，優(yōu)化教材知識結(jié)構(gòu)
——青島版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（七～九）編寫的原則之一

☉山東省沂南教育局 李樹臣

突出數(shù)學(xué)思想主線，優(yōu)化教材知識結(jié)構(gòu)
——青島版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（七～九）編寫的原則之一

☉山東省沂南教育局 李樹臣

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》已把學(xué)生能獲得數(shù)學(xué)的基本思想作為課程的“總目標(biāo)”來要求［1］，并且在“教材編寫建議”中強調(diào)指出“教材在呈現(xiàn)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容與思想方法時，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識積累，在遵循科學(xué)性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則［1］”.這就從宏觀上向我們提出了應(yīng)把數(shù)學(xué)思想作為教材編寫的主線之一.

一、對數(shù)學(xué)思想的深層次認(rèn)識

數(shù)學(xué)思想是指“人們從事各種數(shù)學(xué)活動時，所表現(xiàn)出來的種種數(shù)學(xué)觀念及思維方式［2］”.《課標(biāo)（2011年版）》提出“無論是設(shè)計、實施課堂教學(xué)方案，還是組織各類教學(xué)活動，不僅要重視學(xué)生獲得知識技能，而且要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過獨立思考或者合作交流感悟數(shù)學(xué)的基本思想……［1］”

這里在“思想”前面加上了“基本”二字，目的有二：一方面是強調(diào)基本思想的重要性；另一方面是控制數(shù)量（基本思想不要太多了）.“數(shù)學(xué)思想”有許多，并且是具有層次性的，而“基本數(shù)學(xué)思想”則是其中具有本質(zhì)性特征和基本重要性的一些思想，處于較高的層次，其他的數(shù)學(xué)思想都可以由這些“數(shù)學(xué)的基本思想”演變出來，派生出來，發(fā)展出來.［3］

史寧中教授認(rèn)為，“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型……通過抽象，在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運算發(fā)展，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系.”［4］

《課標(biāo)（2011年版）》中所說的“數(shù)學(xué)的基本思想”主要指：數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)建模的思想.人類通過數(shù)學(xué)抽象，從客觀世界中得到數(shù)學(xué)的概念和法則，建立了數(shù)學(xué)學(xué)科；通過數(shù)學(xué)推理，進一步得到大量結(jié)論，數(shù)學(xué)科學(xué)得以發(fā)展；通過數(shù)學(xué)建模，把數(shù)學(xué)應(yīng)用到客觀世界中，產(chǎn)生了巨大的效益，又反過來促進數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展.［3］

由上述數(shù)學(xué)思想演變、派生、發(fā)展出來的思想還有很多.例如，由“數(shù)學(xué)推理的思想”派生出來的有：歸納的思想，演繹的思想，公理化思想，轉(zhuǎn)換與化歸的思想，聯(lián)想類比的思想，逐步逼近的思想，代換的思想，特殊與一般的思想，等等.

在用數(shù)學(xué)思想解決具體問題時，會逐漸形成程序化的操作，就構(gòu)成了“數(shù)學(xué)方法”.數(shù)學(xué)方法也是有層次的，處于較高層次的可以稱為“數(shù)學(xué)的基本方法”.數(shù)學(xué)的基本方法有：演繹推理的方法，合情推理的方法，變量替換的方法，等價變形的方法，分類討論的方法，等等.下一層次的數(shù)學(xué)方法，有：分析法，綜合法，窮舉法，反證法，待定系數(shù)法，數(shù)學(xué)歸納法，遞推法，消元法，降冪法，換元法，配方法，列表法，圖像法，等等.

數(shù)學(xué)方法不同于數(shù)學(xué)思想，但二者相互聯(lián)系，協(xié)同發(fā)展.“數(shù)學(xué)思想”往往是觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、內(nèi)在的、概括的；而“數(shù)學(xué)方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的.［3］數(shù)學(xué)方法是解決問題的途徑、手段，是數(shù)學(xué)思想發(fā)展的前提，它常常反映某種數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)思想常常通過數(shù)學(xué)方法去體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)方法的靈魂.

二、初中數(shù)學(xué)教材應(yīng)滲透的主要數(shù)學(xué)思想方法

前蘇聯(lián)學(xué)者M.M.弗利德曼指出：“在學(xué)校課程中數(shù)學(xué)的思想和方法應(yīng)當(dāng)占有中心的地位，占有把教學(xué)大綱（作者注：現(xiàn)在稱課程標(biāo)準(zhǔn)）中所有的，為數(shù)很多的概念，所有的題目和章節(jié)聯(lián)結(jié)成一個統(tǒng)一的學(xué)科的核心地位.”《課標(biāo)（2011年版）》指出“課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.［1］”從某種意義上講，數(shù)學(xué)教材就是由一些重要的數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)成的，而數(shù)學(xué)思想方法則是構(gòu)成教材的靈魂.

在教學(xué)中使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo).這就決定了，數(shù)學(xué)教材的編寫絕對不能僅僅以學(xué)生掌握《課標(biāo)（2011年版）》界定的“課程內(nèi)容”并且形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本技能為目標(biāo)，而應(yīng)該讓學(xué)生在獲得這些課程知識的過程中同時獲得數(shù)學(xué)的基本思想.數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟能使學(xué)生所學(xué)的知識不再是零散的知識點，它能幫助學(xué)生形成有序的知識鏈，建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；它是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數(shù)學(xué)觀點和文化，是使學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維水平，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，從而發(fā)展數(shù)學(xué)、運用數(shù)學(xué)的保證.

數(shù)學(xué)思想方法已成為未來社會公民必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的核心內(nèi)容.數(shù)學(xué)思想方法是隨著學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、運用逐漸形成和發(fā)展起來的.

我們在青島版教材中主要向?qū)W生滲透了下列幾種重要的數(shù)學(xué)思想.

1.數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合思想，即把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系與圖形直觀地結(jié)合起來進行分析，并充分利用這種結(jié)合尋找解決問題的思路，從而使問題得到解決的思想方法.這種思想方法包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其實質(zhì)是把問題的數(shù)學(xué)關(guān)系和空間形式結(jié)合起來，使抽象問題直觀化，復(fù)雜問題簡單化，這樣往往能收到事半功倍的效果.

2.分類討論思想

在數(shù)學(xué)中，當(dāng)所遇到的問題存在多種情況，我們又不能一概而論時，就需要按照可能出現(xiàn)的各種情況分類討論，從而得到各種情況下的結(jié)論，這種處理問題的思想就是分類討論的思想.分類時主要要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把所研究的對象按可能出現(xiàn)的情況不重復(fù)、無遺漏地進行分類.

3.函數(shù)思想

函數(shù)的思想方法是指用變化的觀點來觀察、分析、研究問題中兩個變量之間的相互聯(lián)系與變化規(guī)律，并借助函數(shù)關(guān)系來思考、解決問題的方法.應(yīng)用函數(shù)思想方法解題的關(guān)鍵是確立變量之間的函數(shù)關(guān)系.一是根據(jù)實際問題或幾何圖形的性質(zhì)，建立變量之間的關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題；二是根據(jù)問題的需要構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決問題.

4.方程思想

方程思想是指把所研究數(shù)學(xué)問題中的已知量與未知量之間的等量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程（組），從而達到解決數(shù)學(xué)問題的一種思維方法.體現(xiàn)方程思想的數(shù)學(xué)解題主要有兩類：一是列方程（組）解決生活或生產(chǎn)中的實際問題；二是列方程（組）解其他的代數(shù)問題或幾何問題.特別注意的是，與幾何有關(guān)的計算題所涉及的數(shù)量關(guān)系往往與一些幾何定理、公式密切相關(guān).

5.轉(zhuǎn)化思想

解數(shù)學(xué)題的過程實際上就是轉(zhuǎn)化的過程，換言之，解題就是把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的問題的過程，通過對條件的轉(zhuǎn)化、結(jié)論的轉(zhuǎn)化，使問題化難為易，化生為熟，化未知為已知，最終求得問題的解答.這個過程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法.可以說，任何一個數(shù)學(xué)問題都是通過數(shù)或形的逐步轉(zhuǎn)化，化歸為一個比較熟悉、比較容易的問題，通過對新問題的解決，達到解決原問題的目的.

6.數(shù)學(xué)建模思想

在解決實際問題時，首先通過對已知和未知的分析，建立與某種數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，得到一個數(shù)學(xué)模型，然后利用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識求出這個模型的解，最后得到問題的答案，這種從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、理解問題，直至解決問題的方法稱為數(shù)學(xué)建模思想.

7.聯(lián)想、類比的思想

聯(lián)想、類比是根據(jù)兩個或兩類對象之間在某些方面的相似或相同，從而猜出它們在其他方面也可能相似或相同的一種猜想過程.類比不僅是一種從特殊到特殊的推理方法，也是一種探索解題思路、猜想問題答案或結(jié)論的思想方法.

三、教材中滲透數(shù)學(xué)思想的途徑

《課標(biāo)（2011年版）》指出“數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等.學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想［1］”.這實際上向我們提出了編寫教材時，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想和方法的宏觀途徑.滲透數(shù)學(xué)思想方法的宏觀途徑有兩條：

其一，通過純數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，不斷地反思和升華，逐步使學(xué)生理解和掌握隱含在這些數(shù)學(xué)知識之中的數(shù)學(xué)思想方法.即：

數(shù)學(xué)知識逐步概括數(shù)學(xué)思想方法

其二，通過解決實際問題，使學(xué)生掌握所要求的教學(xué)內(nèi)容的同時，形成那些對人的素質(zhì)有促進作用的基本思想方法.即：

具體來說，我們在編寫青島版教材時，主要通過以下幾個過程向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想和方法.

1.在概念的建立過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要知識，從課程論的研究觀點看，數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的基本結(jié)構(gòu)單位，正是因為這些數(shù)學(xué)概念的存在，才形成了數(shù)學(xué)教材的知識結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)概念的建立是一個過程，為了讓學(xué)生經(jīng)歷這個過程，我們精心設(shè)計問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過感覺、知覺對客觀事物形成感性認(rèn)識，再經(jīng)過分析比較、抽象概括等一系列思維活動抽取事物的本質(zhì)屬性.這樣學(xué)生除了能掌握數(shù)學(xué)概念，還能感受及領(lǐng)悟隱含于概念形成過程中的數(shù)學(xué)思想和方法.

案例1：分式方程的建立過程.

為了引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分式方程的建立過程，教材是這樣設(shè)計的：

【交流與發(fā)現(xiàn)】王師傅承擔(dān)了310個工件的焊接任務(wù).加工了100個工件后，開始采用焊接新工藝，工效提高到原來的1.5倍，共用8天完成了任務(wù).采用新工藝前，王師傅每天焊接多少個工件？

思考下面的問題：

（1）在這個問題中，哪些是已知量，哪些是未知量？

（2）如果選取某一個未知量用x表示，那么其他未知量怎樣用關(guān)于x的代數(shù)式表示？

（3）這個問題中的等量關(guān)系是什么？

（4）選擇哪個等量關(guān)系，可以得到關(guān)于未知數(shù)x的方程？

設(shè)采用新工藝前，王師傅每天焊接x個工件.采用新工藝前王師傅工作了天，采用新工藝后，王師傅工作了天.

根據(jù)等量關(guān)系：

（5）觀察（4）中得到的方程，你發(fā)現(xiàn)它有什么特征？

教材在學(xué)生思考并解答前五個問題的基礎(chǔ)上，給出了分式方程的定義.第六個問題是引導(dǎo)學(xué)生探索分式方程的解法.

在分式方程的建立及探索其解法的過程中，這種設(shè)計還向?qū)W生滲透了模型思想、轉(zhuǎn)化的思想及類比的思想.

2.采用“逐級遞進、螺旋上升”的方式反復(fù)強化

《課標(biāo)（2011年版）》提出“數(shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識過程，逐步理解和掌握的，如分?jǐn)?shù)、函數(shù)、概率、數(shù)形結(jié)合、模型思想等.因此，教材在呈現(xiàn)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容與思想方法時，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識積累，在遵循科學(xué)性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則［1］”.

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想.青島版教材把《課標(biāo)（2011年版）》界定的“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”采用“混編”的形式，共分33章.教材中的每一章內(nèi)容幾乎都能找到數(shù)與形結(jié)合的“影像”，可以說教科書的主要內(nèi)容就是靠數(shù)形結(jié)合思想“串聯(lián)”起來的.

案例2：滲透“數(shù)形結(jié)合思想”的知識掃描.

例如，“數(shù)”和“形”分別屬于“數(shù)與代數(shù)”及“圖形與幾何”兩大領(lǐng)域，二者的結(jié)合體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的特性.七年級第1章“我們身邊的圖形世界”中研究正方體的頂點個數(shù)、棱數(shù)時就是從觀察正方體得到的結(jié)果.第一個基本事實“兩點確定一條直線”就是通過實際作圖得到的.第2章“有理數(shù)”中在學(xué)習(xí)“數(shù)軸”的知識時，借助“溫度計”形象地感知數(shù)軸，這一模型直觀形象地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.第3章“有理數(shù)的運算”中，有理數(shù)的加法法則就是利用數(shù)軸，運用數(shù)形結(jié)合的方法經(jīng)過探究得到的.第7章“一元一次方程”中研究行程問題時，經(jīng)常用線段直觀圖形象地表示一些數(shù)量關(guān)系.第13章“平面圖形的認(rèn)識”中多邊形的內(nèi)角和、外角和的探究過程中，圖形的形象直觀特征起了關(guān)鍵的作用.八年級第6章“實數(shù)”中，利用勾股定理探究長度是等無理數(shù)的線段的幾何作圖方法更是數(shù)形結(jié)合的良好素材.第10章“一次函數(shù)”中的許多問題都是借助圖形得到解決的.九年級第2章“解直角三角形”中的許多概念的形成及問題的解答都離不開圖形的直觀作用.第3章“對圓的進一步認(rèn)識”中，利用勾股定理求解有關(guān)問題，體現(xiàn)了用數(shù)的知識求解幾何圖形的問題.第4章“一元二次方程”中，介紹的利用一元二次方程的知識求黃金分割線段的具體比值的方法是用數(shù)的知識解決形的問題的范例.第5章“對函數(shù)的再探索”中有大量的代數(shù)知識是結(jié)合圖像來學(xué)習(xí)的.

在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域，也有大量內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，如各種統(tǒng)計圖就是在統(tǒng)計表的基礎(chǔ)上，用幾何圖形或具體形象來表達統(tǒng)計資料的一種方式.八年級第4章“數(shù)據(jù)分析”中在學(xué)習(xí)有關(guān)統(tǒng)計量與統(tǒng)計圖表時，數(shù)形結(jié)合為學(xué)生清晰地表示數(shù)據(jù)、對數(shù)據(jù)進行分析，從而幫助學(xué)生進行科學(xué)決策起到了重要的作用.九年級第7章“頻率與概率”中學(xué)習(xí)的用樹狀圖計算概率就為抽象概率的學(xué)習(xí)提供了直觀形象的解釋等.

總之，大量的數(shù)與形相結(jié)合的素材為同學(xué)們學(xué)習(xí)、理解“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”的相關(guān)內(nèi)容提供了直觀上的幫助，這些內(nèi)容也進一步反映出“數(shù)”和“形”完美結(jié)合的必然趨勢.正如我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾說過的那樣“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”.

這種編排順序，體現(xiàn)出本套教材對于數(shù)形結(jié)合這一思想方法的明顯的階段性要求，通過以上知識的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以逐步感悟這一思想方法，從而有助于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識，有助于分析和解決新的數(shù)學(xué)問題.

3.在問題解決的過程中強化數(shù)學(xué)思想

《課標(biāo)（2011年版）》提出課程“總目標(biāo)”后，又從四個方面進行了具體闡述，其中在“問題解決”中強調(diào)“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識［1］”.對此，我們在引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識解決有關(guān)問題時，反復(fù)強化在解決問題過程中所表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想.

例如，“模型思想”是《課標(biāo)（2011年版）》提出的十大核心素養(yǎng)（概念）之一.“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義.這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識.［1］”

事實上，數(shù)學(xué)中的各種基本概念，都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實原型作為背景而抽象出來的.如各種數(shù)學(xué)公式、方程式、定理、理論體系等，就是一些具體的數(shù)學(xué)模型.在設(shè)計安排這些內(nèi)容時，我們都要結(jié)合具體的內(nèi)容充分體現(xiàn)“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程.

如教科書七年級下“10.4列方程組解應(yīng)用題”一節(jié)，共設(shè)計了通過建立方程組模型解答的應(yīng)用題38個，其中例題6個，練習(xí)6個，習(xí)題12個，綜合練習(xí)12個，“智趣園”和“史海漫游”各1個.學(xué)生通過解答這些題目，能進一步“體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型［1］”，從而逐漸強化學(xué)生對模型思想的認(rèn)識和理解.

4.在知識的歸納總結(jié)中概括數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法貫穿在整個中學(xué)數(shù)學(xué)教材的知識點中，以內(nèi)隱的方式融于數(shù)學(xué)知識體系.要使學(xué)生把這種思想內(nèi)化成自己的觀點，應(yīng)用它去解決問題，就要把各種知識所表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想方法適時做出歸納概括.

教師在引導(dǎo)學(xué)生進行章節(jié)復(fù)習(xí)時，要在對知識進行總結(jié)復(fù)習(xí)的同時，把統(tǒng)領(lǐng)這些知識的數(shù)學(xué)思想方法概括出來，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用意識，從而有利于學(xué)生更透徹地理解所學(xué)的知識，提高他們分析問題和解決問題的能力.

例如，在九年級上冊第3章“對圓的進一步認(rèn)識”末的“回顧與總結(jié)”中，我們共設(shè)計了15個問題，其中最后一個問題是：“在本章中，你認(rèn)為體現(xiàn)了哪些基本的數(shù)學(xué)思想？”

在學(xué)習(xí)完圓的有關(guān)知識后，要求通過回顧這些內(nèi)容中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法，使學(xué)生自覺地感悟這些思想和方法，進一步學(xué)會運用數(shù)學(xué)的思維方式去思考問題和解決問題.目的是讓學(xué)生結(jié)合本章重要概念的產(chǎn)生過程、重要定理的證明過程和典型例題，感悟以下幾個重要數(shù)學(xué)思想.

①演繹的思想.用分析法尋求解題思路，用綜合法敘述證明過程.

②歸納的思想.如正n邊形某些性質(zhì)的獲得.

③反證法.如通過假設(shè)“過同一直線上的三點A、B、C可以作圓”，推出與基本事實“過一點有且只有一條直線與已知直線”相矛盾，從而說明“過同一直線上的三點A、B、C可以作圓”的假設(shè)是不對的.復(fù)習(xí)時重點總結(jié)用反證法的證題思路和基本步驟，并指出與直接證法的區(qū)別.

④轉(zhuǎn)化的思想.如圓心角與所對弧、弦關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，圓周角與所對弧上圓心角的相互轉(zhuǎn)化，同弧上圓周角之間的轉(zhuǎn)化，圓與直線的位置關(guān)系與圓心到直線的距離的轉(zhuǎn)化等.

⑤分類的思想.如學(xué)習(xí)確定圓的條件；學(xué)習(xí)圓周角定理時要分圓心在圓周角的一邊上、圓周角的內(nèi)部、圓周角的外部進行研究；直線和圓的位置關(guān)系等.

5.用一些特色欄目對數(shù)學(xué)思想進行總結(jié)

數(shù)學(xué)思想“散見”于初中數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容知識之中，這些知識是數(shù)學(xué)思想的“載體”，教材根據(jù)實際情況，在學(xué)習(xí)完這些具體知識之后用一些特色欄目對數(shù)學(xué)思想進行了規(guī)范界定.

例如，教材在九年級上冊第3章的“回顧與總結(jié)”之后用“廣角鏡”欄目以“分類思想”為題目對這種思想進行了總結(jié).在八年級上冊“3.5分式的加法與減法”之后用“廣角鏡”欄目以“類比與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”為題目介紹了類比思想.

學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的感悟和理解是隨著學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、運用逐漸形成的.掌握一些必須的數(shù)學(xué)思想方法已成為未來社會公民必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的核心內(nèi)容［6］.教材的編寫理應(yīng)隨著具體知識的呈現(xiàn)過程，把一些基本的數(shù)學(xué)思想“提煉”出來，用這些思想統(tǒng)領(lǐng)教材.只有這樣，學(xué)生形成的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)才是一個優(yōu)化的結(jié)構(gòu)，也才能成為學(xué)生未來生活、工作和進一步學(xué)習(xí)的良好基礎(chǔ).

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.李吉寶，等.初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)與研究中的幾個問題［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2001（2）.

3.史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

4.史寧中.數(shù)學(xué)思想概論［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2008.

5.李海東.重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2011（1-2）.

6.李樹臣.探索圖形性質(zhì)培養(yǎng)推理意識——青島版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級第九章“平行線”教學(xué)研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.Z