橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)中的困惑與對(duì)策研究

李文銘+萬鳳燕

摘 要 《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》內(nèi)容概念性較強(qiáng)，教學(xué)中存在較多不容易處理的知識(shí)點(diǎn)，需要立足從圓出發(fā)來全方位探討橢圓，才能讓學(xué)生更好地掌握教學(xué)要點(diǎn)和難點(diǎn)。本文對(duì)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)中的困惑與對(duì)策進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞 橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)困惑 對(duì)策

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)解析幾何的第二大部分，橢圓正是研究圓錐曲線的第一步。而且橢圓概念及其方程正是之前用坐標(biāo)法研究直線和圓的深入，這種方法同樣適用于雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)，這更是解決圓錐曲線問題的一種有效方法。同時(shí)，橢圓概念與方程將曲線與方程對(duì)應(yīng)了起來，體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)與形結(jié)合的重要思想，而這種思想貫穿在整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。所以說，橢圓的學(xué)習(xí)與研究重中之重。

本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)是掌握橢圓的概念、從具體情境中抽象出橢圓的本質(zhì)特征；教學(xué)難點(diǎn)是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。但是在實(shí)際教學(xué)中存在著很多困惑。

問題1：橢圓定義的教學(xué)中如何體現(xiàn)出與圓的聯(lián)系？

在橢圓定義的教學(xué)中，大多教師以行星運(yùn)行軌跡、橢圓形的鏡子、雞蛋、槽罐車等實(shí)例圖片開頭來引起學(xué)生探究橢圓概念的興趣，之后在黑板上展示畫橢圓的過程（有些老師通過幾何畫板展示），以此讓學(xué)生來直觀感受橢圓，然后通過引導(dǎo)學(xué)生探討能夠畫出橢圓所需要滿足的幾何條件，從而師生一起合作得出橢圓的定義。

之所以這樣教學(xué)是因?yàn)槔蠋焸冇X得這樣最節(jié)省時(shí)間，而且之后橢圓方程的推導(dǎo)才是重點(diǎn)，概念通過之后的練習(xí)可以再次進(jìn)行鞏固，開始一知半解沒有關(guān)系。但是教師們所忽略的是，橢圓概念都沒有生成，何來的方程理解，這樣對(duì)學(xué)生來講都只會(huì)是生搬硬套，硬性規(guī)定，從而增加學(xué)生負(fù)擔(dān)。

解決方法：新課標(biāo)倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索思考的學(xué)習(xí)方式，鼓勵(lì)學(xué)生的再創(chuàng)造。新概念的教學(xué)要從原有概念出發(fā)，這樣才有基石，而不是空中樓閣。從圓過渡到橢圓，正符合這樣的理念。

先從圖1利用PPT的動(dòng)態(tài)展示入手，讓學(xué)生先直觀感受圓與橢圓的區(qū)別與聯(lián)系，然后演示生活常見的橢圓的實(shí)例圖片讓學(xué)生感受橢圓。接著利用事先準(zhǔn)備好的教學(xué)用具畫圓（老師動(dòng)手展示），接著展示圖2，引導(dǎo)學(xué)生再次深入體會(huì)圓與橢圓的聯(lián)系，之后放手讓學(xué)生探究如何畫橢圓（先思考2分鐘，再進(jìn)行小組操作），完成之后，教師引導(dǎo)全班范圍內(nèi)的討論。

通過上面的操作，不僅可以讓學(xué)生直觀感受橢圓概念的生成，還可以為下面的教學(xué)奠定從圓的角度思考橢圓的基調(diào)，從而為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)順利做好鋪墊，可謂是水到渠成。

問題2：如何解釋圓壓扁得到橢圓？

在解釋這個(gè)問題的時(shí)候，教師往往只是用PPT動(dòng)態(tài)展示其變化過程，然后再用一句話草草結(jié)束，而沒有從數(shù)學(xué)角度來進(jìn)行解釋。其實(shí)這個(gè)只需要一個(gè)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)，就能讓學(xué)生再次用“用坐標(biāo)法”求軌跡的“再創(chuàng)造”的過程。

如圖3，為了方便起見，將圓的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)壓為原來的一半，得到一個(gè)橢圓，其軌跡方程是什么呢？

設(shè)圓的方程為+=，壓縮后點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），則點(diǎn)（，2）在圓上即+（2）=，所以橢圓的坐標(biāo)方程為+4=。

問題3：為什么定義動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)之間的距離為2a和=？

對(duì)前一個(gè)問題，有些教師只是一句話解釋說這是規(guī)定，為了方便起見；而有些教師為了讓學(xué)生體驗(yàn)其過程，就重新將距離變?yōu)閍來進(jìn)行方程推導(dǎo)，然后進(jìn)行對(duì)比，得出定為2a時(shí)方程的簡(jiǎn)潔性。而對(duì)后一個(gè)問題的解釋幾乎都是在推導(dǎo)方程的最后一步來定義，再在橢圓中找出其實(shí)際背景。

然而，對(duì)于這兩個(gè)問題的解釋都違反了知識(shí)的發(fā)生過程，應(yīng)該是從橢圓的特征與圖形出發(fā)來推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而不是推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)方程后再來尋找實(shí)際背景，這樣只會(huì)讓學(xué)生覺得這兩個(gè)定義是老師的硬性規(guī)定，從而導(dǎo)致困惑。

解決方法：如圖4，在建立坐標(biāo)系之后，就應(yīng)該著手設(shè)點(diǎn)，但是不只是設(shè)兩個(gè)焦點(diǎn)，而是對(duì)橢圓與坐標(biāo)軸的所有交點(diǎn)進(jìn)行設(shè)立，這樣就自然而然能得出定長(zhǎng)設(shè)為2a的依據(jù)，然后再探討所設(shè)字母間的關(guān)系。

師：即設(shè)點(diǎn)F1（-c，0）、F2（c，0），A1（-a，0）、A2（a，0）、B1（-b，0）、B2（b，0）

則|F1F2|=2c、|A1A2|=2a、|B1B2|=2b

那么|A1F1|+|A1F2|=？

生：2a。

師：為什么？

生：因?yàn)闄E圓關(guān)于x、y軸對(duì)稱，所以|A1F1|=|A2F2|

即|A1F1|+|A1F2|=|A2F2|+|A1F2|=|A1A2|=2a，所以動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)之間的距離為2a

師：很好。那么|B1F1|+|B1F2|=？、|M1F1|+|M1F2|=？

生：2a。因?yàn)闄E圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離都相等。

師：很好。那么a、b、c三者有什么關(guān)系嗎？

生：構(gòu)成勾股定理，即b2+c2=a2。

師：為什么？

生：△OF1B2為直角三角形，再根據(jù)橢圓的對(duì)稱原則得出|B2F1|=a，所以|OF1|2+|OB2|2=|B2F1|2，即c2+b2=a2。

師：很好。

分析：通過設(shè)A1、A2兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)推出橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為2a，這完全通過引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立得出這個(gè)有意義的發(fā)現(xiàn)，再順勢(shì)通過分析橢圓中的特殊三角形得出三者之間的關(guān)系，為下面方程的推導(dǎo)埋下伏筆。這符合知識(shí)的發(fā)生過程，可讓學(xué)生再次感受橢圓的特征，從而加深理解。

問題4：如何化簡(jiǎn)一個(gè)等式中出現(xiàn)兩個(gè)根式的這種類型？

對(duì)于教材上直接代入然后通過二次開方來進(jìn)行化簡(jiǎn)，雖然此方法具有通性，也可適用于一般的兩個(gè)根式的化簡(jiǎn)，但是運(yùn)算繁瑣，技巧性不強(qiáng)，可以利用下面兩種方法來鍛煉技巧和開拓思路。

分析：利用平方差作差，避免了根式，更加自然簡(jiǎn)潔，技巧性已不是很強(qiáng)，通過觀察等式，學(xué)生比較容易想到，對(duì)思路的開拓有很大作用。

總之，在曲線與方程這一章節(jié)涉及到大量數(shù)據(jù)處理，教師在課堂上涉及多種方法來處理等式，可以對(duì)學(xué)生形成潛移默化的影響

問題5：焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程如何推導(dǎo)？

不少教師直接通過再來一次推導(dǎo)過程，有重復(fù)啰嗦之嫌。其實(shí)，這個(gè)問題只需引入代換思想，在此進(jìn)行簡(jiǎn)單引導(dǎo)，就能夠事半功倍。

所以，+=1即為焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程。

利用多媒體的動(dòng)態(tài)展示，通過數(shù)形結(jié)合滲透代換思想，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化推導(dǎo)過程。代換思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，我們要在每一次教學(xué)中抓住每一個(gè)機(jī)會(huì)滲透各種數(shù)學(xué)思想，比起專門開一個(gè)專題來講要事半功倍得多。

綜上問題所述，《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》這節(jié)內(nèi)容概念性較強(qiáng)，教學(xué)中存在較多不容易處理的知識(shí)點(diǎn)，只有立足從圓出發(fā)來全方位探討橢圓，這樣才符合“最近發(fā)展區(qū)”，學(xué)生才能“夠一夠，抓得住”。

參考文獻(xiàn)

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