例析圓錐曲線的焦點(diǎn)問題

趙春祥

焦半徑問題

我們把連接圓錐曲線的焦點(diǎn)與曲線上任意一點(diǎn)的連線段稱為它們的焦半徑. 根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，很容易推導(dǎo)出圓錐曲線的焦半徑公式. 下面是用得較多的焦半徑公式：（1）對(duì)于橢圓[x2a2]+[y2b2]= 1 （[a>b>0]），[|PF1|=a+ex0]，[|PF2|=a-ex0]. （2）對(duì)于雙曲線[x2a2]-[y2b2]=1[（a>0，b>0）]，[|PF1|=ex0+a]，[|PF2|=ex0-a]. （3）對(duì)于拋物線[y2=2px（p>0）]，[|PF|=x0+p2].

以上各式中，[P（x0，y0）]是曲線上的一點(diǎn)，[F1]，[F2]分別是橢圓、雙曲線的左、右焦點(diǎn)，[F]是拋物線的焦點(diǎn).在這里特別強(qiáng)調(diào)的是：隨著曲線方程的不同，焦半徑公式也各不相同.利用焦半徑解決問題，簡單明了，它在圓錐曲線中的魅力絕不亞于半徑在圓中的魅力.

例1 如圖，已知梯形[ABCD]中，[|AB|=2|CD|]，點(diǎn)[E]分有向線段[AC]所成的比為[λ]，雙曲線過[C，D，E]三點(diǎn)，且以[A，B]為焦點(diǎn)，當(dāng)[23]≤[λ]≤[34]時(shí)，求雙曲線離心率[e]的取值范圍.

解析 以直線[AB]為[x]軸，線段[AB]的垂直平分線為[y]軸，建立直角坐標(biāo)系，則[CD⊥y]軸.

因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)[C，D]，且以[A，B]為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性可知，[C，D]關(guān)于[y]軸對(duì)稱.

設(shè)雙曲線的焦距為[2c]，則[A，B，C]三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為[-c， c， c2]. 由題意得，點(diǎn)[E]的橫坐標(biāo)為[xE=-c + λ2c1 +λ ].

由雙曲線焦半徑公式得，

[|AE|=-（exE+a）=][ec 1 +λ ]-[λec 2（1 +λ） -a]，

[|BC|=exc-a=ec 2 -a].

而[AC]與[AE]同號(hào)，從而[|AC||AE|]=[ACAE]=[1 + λλ].

∴[|AC|=1 + λλ]·[|AE|]

[=1 + λλ?][[ec 1 +λ -][λec 2（1 +λ） -a]]=[ec λ ]-[ec 2 ]-[1 + λλa.]

由雙曲線的定義得，[|AC|-|BC|=2a]，

即（[ec λ ]-[ec 2 ]-[1 + λλa]）-[（ec 2 -a）=2a].

兩邊同除以[a]，并化簡整理得，[（1 λ-1）e2]=[2+1 λ].

∴[e2=2λ + 11 - λ]=[-2+31 - λ].

[∵23][≤λ≤34]，[∴3≤11 - λ]≤4.

∴[7]≤[e]≤[10]. 故所求雙曲線離心率[e]的取值范圍是[[7]，[10]].

點(diǎn)評(píng) 凡是遇到雙曲線上的點(diǎn)到雙曲線焦點(diǎn)的距離問題，可考慮使用焦半徑公式來處理.

焦點(diǎn)三角形問題

橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)[F1]，[F2]所成的三角形，常稱之為焦點(diǎn)三角形. 解焦點(diǎn)三角形問題經(jīng)常使用三角形的邊角關(guān)系定理.解題中，通過變形，使之出現(xiàn)[|PF1|+|PF2|]，這樣便于運(yùn)用橢圓或雙曲線的定義得到[a，c]的關(guān)系，從而打開解題思路.

例2 橢圓[x2a2]+[y2b2=1（a>b>0）]與雙曲線[x2m2]-[y2n2]=1[（m>n>0）]有公共焦點(diǎn)[F1]，[F2]，點(diǎn)[P]是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)[∠F1PF2=α].

（1）用[b]和[n]表示[cosα]；

（2）求[△F1PF2]的面積[S]（用[b]，[n]表示）.

解析 （1）在[△F1PF2]中，

[|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cosα]，

∵點(diǎn)[P]既在橢圓上，也在雙曲線上，

∴[|PF1|+|PF2|=2a]，[|PF1|-|PF2|=2m].

∴[4c2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1|?|PF2|（1+cosα）]

[=4a2-2|PF1|?|PF2|（1+cosα）]，

[4c2=（|PF1|-|PF2|）2+2|PF1|?|PF2|（1-cosα）]

[=4m2+2|PF1|?|PF2|（1-cosα）].

∴[|PF1|?|PF2|=2b21+cosα]=[2n21-cosα].

∴[cosα]=[b2-n2b2+n2].

（2）由（1）得，

[|PF1|?|PF2|=2b21+cosα]=[2b21+b2-n2b2+n2]=[b2]+[n2].

而sin[α]=[1-cos2α]=[2bnb2+n2]，

∴[SΔ P F 1 F2]=[12|PF1|?|PF2|]·sin[α=bn].

點(diǎn)評(píng) 在橢圓和雙曲線中，涉及焦點(diǎn)三角形時(shí)，要根據(jù)其定義對(duì)式子進(jìn)行配方，橢圓中要配出[|PF1|+|PF2|]，雙曲線中則要配出[|PF1|-|PF2|]，這樣才能回到圓錐曲線的定義把問題轉(zhuǎn)化.

焦點(diǎn)弦問題

過焦點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的線段叫焦點(diǎn)弦，與焦點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線問題常用定義（特別是第二定義中的焦半徑公式）將問題轉(zhuǎn)化.

（1）如果弦[MN]過橢圓的焦點(diǎn)[F1]，設(shè)[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，則[|MN|=a+ex1+a+ex2=2a+e（ x1+x2）].

（2）求雙曲線焦點(diǎn)弦長時(shí)，對(duì)雙曲線應(yīng)區(qū)分不同情況處理.①如果兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上，則[|AB|=|BF1|-|AF1|]；（見圖一）②如果兩個(gè)交點(diǎn)在同一支上，則[|AB|=|AF1|+|BF1|].（見圖二）

[圖一 圖二]

（3）如果拋物線上兩點(diǎn)[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]與焦點(diǎn)[F（p2，0）]共線，則[|MN|=x1+x2+p].

例3 設(shè)橢圓方程為[x2a2]+[y2b2]= 1[（a>b>0）]，動(dòng)點(diǎn)[P]為過橢圓焦點(diǎn)[F（c，0）]的一條弦[M1M2]的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡.

解析 設(shè)[M1M2]的方程為[y=k（x-c）]，

∵[P（x，y）]是弦的中點(diǎn)，∴[x=x1+ x22].

則[y = k（x-c） ， ①b2x2 + a2y2 = a2b2 . ②]

聯(lián)立[①]②得，[（a2k2][+b2）x2][-2a2k2cx][+a2（k2c2-b2）=0.]

由韋達(dá)定理可得，[x1+ x2=2a2k2ca2k2 + b2].

∴[x=a2k2ca2k2 + b2].③

∵[P]在直線[y=k（x-c）]上，

∴[y=k（a2k2ca2k2 + b2-c）][=-b2kca2k2 + b2].④

聯(lián)立③④消去參數(shù)[k]得，[b2x2]-[b2cx+a2y2]=0.

配方整理可得，

[（x - c2）2（c2）2]+[y2（bc2a）2]= 1. ⑤

當(dāng)[M1M2]垂直于[x]軸時(shí)，其中點(diǎn)是[F（c，0）]，適合方程⑤.

∴過橢圓焦點(diǎn)的諸弦中點(diǎn)的軌跡是橢圓.

點(diǎn)評(píng) 橢圓過焦點(diǎn)的諸弦中點(diǎn)軌跡還是一個(gè)橢圓，中心在（[c2]，0），長半軸長為[c2]，短半軸長為[bc2a]，離心率[e]=[（c2）2 - （bc2a）2c2]=[ca]，它的離心率恰與原橢圓的離心率[ca]相等. 雙曲線過焦點(diǎn)的諸弦中點(diǎn)軌跡還是雙曲線；拋物線的過焦點(diǎn)的諸弦中點(diǎn)軌跡還是拋物線，可以用類似處理橢圓的方法得到證明.

例4 已知圓[M： （x+2）2+y2]=[254]，圓[N： （x-2）2][+y2]=[14]，動(dòng)圓[P]與圓[M，N]均外切.

（1）求動(dòng)圓[P]的圓心的軌跡[C]的方程；

（2）延長[PN]，與曲線[C]交于另一點(diǎn)[Q]，求[|PQ|]的范圍.

解析 （1）設(shè)動(dòng)圓[P]的半徑為[r]，依題意得，[|PM|=r+52]，[|PN|=r-12]，則[|PM|-|PN|=2].

∴點(diǎn)[P]的軌跡是以[M，N]為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支.

∴曲線[C]的方程為[x2-y23=1（x≥1）] .

（2）①當(dāng)[PQ]的斜率不存在時(shí)，易求得，[|PQ|=6].

②當(dāng)[PQ]的斜率存在時(shí)，設(shè)[PQ]的方程為[y=k（x-2）]，代入雙曲線方程得，

[（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0].

∵[PQ]與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，

∴[3-k2≠0，（4k2）2-4（3-k2）（-4k2-3）>0，4k2k2-3>0，4k2+3k2-3>0.]

[∴k2>3].

∵[N]為雙曲線的焦點(diǎn)，∴[PQ]為焦點(diǎn)弦.

由雙曲線的第二定義得，

[|PQ|=|PN|+|NQ|=]2（[xP]-[12]）+2（[xQ]-[12]）

= 2（[xP]+[xQ]-1）=2（[4k2k2-3]-1）

=6（1+[4k2-3]）>6.

所以[|PQ|]的范圍是[（6，+∞）].

綜上，[|PQ|]的范圍是[[6，+∞）].

點(diǎn)評(píng) 曲線[C]僅表示雙曲線的右支，因此直線[PQ]與曲線[C]有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件不僅僅是[Δ>0]，還需考慮[x1+x2]，[x1x2]的符號(hào).

例5 已知拋物線[y2=2px]，[F]為焦點(diǎn)，[PQ]為拋物線的一條弦，[O]為拋物線的頂點(diǎn)，[l]為準(zhǔn)線.

（1）若[PQ]為焦點(diǎn)弦，連結(jié)[PQ]并延長交[l]于[M]點(diǎn)，則直線[MQ∥x]軸；

（2）若[PQ]為焦點(diǎn)弦，過[Q]作對(duì)稱軸（[x]軸）的平行線交[l]于[M]點(diǎn)，則[P，Q，M]三點(diǎn)共線；

（3）連結(jié)[PO]并延長交準(zhǔn)線[l]于[M]點(diǎn)，且[MQ∥x]軸，則[PQ]為焦點(diǎn)弦.

解析 （1）設(shè)[P（x1， y1）]，[Q（x2， y2）]，

∵[PQ]為焦點(diǎn)弦，∴[y1y2=-p2].

直線[OP]的方程為[y=y1x1·x]，它與準(zhǔn)線的交點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為（-[p2]，[y0]），

所以[y0=y1x1]·（-[p2]） =[2py1]·（-[p2]） =-[p2y1]=[y1y2y1=y2].

故直線[MQ∥x]軸.

（2）設(shè)[M（-p2，y2]），

則[kO M]=[y2-p2]=-[2y2p]，[kO P]=[y1x1]=[2py1].

∵[PQ]為焦點(diǎn)弦，∴[y1y2=-p2]，∴[y2=-p2y1].

∴[kO M]=-[2y2p]=[2py1].

∴[kO M]=[kO P].

所以[P，Q，M]三點(diǎn)共線.

（3）連結(jié)[PF]并延長交拋物線于[Q′].

由（1）知，[MQ′∥x]軸，

∴[Q]與[Q′]重合.故[PQ]為焦點(diǎn)弦.

點(diǎn)評(píng) 由于焦點(diǎn)弦是圓錐曲線中一種特殊的弦，因此，解決此類問題總離不開圓錐曲線的定義.