曲線（軌跡）方程的求法

劉勇++高保中

高考對(duì)本部分知識(shí)的考查主要圍繞兩個(gè)問題進(jìn)行布局和設(shè)計(jì)的：一方面求曲線（軌跡）方程在解析幾何試題中占有很大的比例，另一方面重點(diǎn)考查用代數(shù)方法分析、解決幾何問題的基本思想. 本文討論在不同的曲線（軌跡）背景下求其方程的一些基本策略.

直接（譯）法

在求曲線（軌跡）方程中，主要表現(xiàn)為直接將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)化，將動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中滿足的不變關(guān)系直接“翻譯”成動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而得到曲線方程. 這種方法主要運(yùn)用于題干條件與所求動(dòng)點(diǎn)有著直接的數(shù)量關(guān)系或幾何關(guān)系的題型.

例1 已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線[l]與圓[C1： x2+y2-6x][+5=0]相交于不同的兩點(diǎn)[A]，[B]. 求線段[AB]的中點(diǎn)[M]的軌跡[C]的方程.

解析 設(shè)[M（x，y）]，又點(diǎn)[M]為弦[AB]的中點(diǎn)，則[C1M⊥AB].

所以[kC1M?kAB=-1]，

即[yx-3?yx=-1].

所以線段[AB]的中點(diǎn)[M]的軌跡[C]的方程為[（x-32）2+y2=94（53

點(diǎn)評(píng) 通過圓的交點(diǎn)弦的性質(zhì)引出垂直直線的斜率之間的關(guān)系，從而得出交點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡方程.

待定系數(shù)法

試題中給出了曲線類型（橢圓、雙曲線等）或帶未知系數(shù)的曲線方程，需要根據(jù)題設(shè)轉(zhuǎn)化或者根據(jù)幾何關(guān)系尋找等量關(guān)系，通過解方程求出有關(guān)量或直接確定系數(shù)，此方法一般結(jié)合曲線的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

例2 設(shè)橢圓[x2a2+y23=1][（a>3）]的右焦點(diǎn)為[F]，右頂點(diǎn)為[A]. 已知[1OF+1OA=3eFA]，其中[O]為原點(diǎn)，[e]為橢圓的離心率. 求橢圓的方程.

解析 設(shè)[F（c，0）]，由[1|OF|+1|OA|=3e|FA|]可得，

[1c+1a=3ca（a-c）]，即[a2-c2=3c2].

又[a2-c2=b2=3]， 所以[c2=1]，因此[a2=4].

故所求橢圓的方程為[x24+y23=1].

點(diǎn)評(píng) 本題是通過待定系數(shù)法求曲線方程的典型試題，除根據(jù)題設(shè)中的等量關(guān)系或者幾何關(guān)系代數(shù)化得到方程外，還要注意由圓錐曲線中[a2=b2+c2]或[a2+b2=c2]等關(guān)系列出方程組.

定義法與幾何法

此類問題一般先通過對(duì)條件的推理得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合相關(guān)曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義，再根據(jù)定義寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

例3 設(shè)圓[x2+y2+2x-15=0]的圓心為 [A]，直線[l]過點(diǎn)[B（1，0）]且與[x]軸不重合，[l]交圓[A]于[C，D]兩點(diǎn)，過[B]作[AC]的平行線交[AD]于點(diǎn)[E]. 證明：[|EA|+|EB|]為定值，并寫出點(diǎn)[E]的軌跡方程.

解析 如圖，因?yàn)閇|AD|=|AC|，][EB∥AC，]

故[∠EBD=∠ACD=∠ADC]. 所以[|EB|=|ED|].

故[|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|].

又圓[A]的標(biāo)準(zhǔn)方程為[（x+1）2+y2=16，]

從而[|AD|=4]，所以[|EA|+|EB|=4].

由題設(shè)得，[A（-1，0），B（1，0），|AB|=2].

由橢圓定義得，點(diǎn)[E]的軌跡方程為[x24+y23=1][（y≠0）].

點(diǎn)評(píng) 本題以圓的相關(guān)性質(zhì)和平行線的性質(zhì)為依托，利用角的轉(zhuǎn)換得到線段的等量關(guān)系，從而得到動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和為定值，轉(zhuǎn)換到橢圓的定義求解.

代入法（相關(guān)點(diǎn)法）

此類問題一般有兩個(gè)（或三個(gè)）動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)間存在一定的依存關(guān)系，其中所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程很難直接求出；而另一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程已知或能夠根據(jù)題設(shè)條件較容易地得到軌跡方程，通過動(dòng)點(diǎn)間的等量關(guān)系，用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示另一動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入其方程從而得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

例4 一種作圖工具如下圖所示. [O]是滑槽[AB]的中點(diǎn)，短桿[ON]可繞[O]轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿[MN]通過[N]處鉸鏈與[ON]連接，[MN]上的栓子[D]可沿滑槽[AB]滑動(dòng)，且[DN=ON=1]，[MN=3]. 當(dāng)栓子[D]在滑槽[AB]內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)[N]繞[O]轉(zhuǎn)動(dòng)一周（[D]不動(dòng)時(shí)，[N]也不動(dòng)），[M]處的筆尖畫出的曲線記為[C]. 以[O]為原點(diǎn)，[AB]所在的直線為[x]軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 求曲線[C]的方程.

解析 設(shè)[D]為[（t，0）（t≤2）]，[N（x0，y0），][M（x，y）].

依題意得，[MD=2DN]，且[DN=ON=1].

所以[（t-x，-y）=2（x0-t，y0），]且[（x0-t）2+y02=1，x02+y02=1.]

即[t-x=2（x0-t），-y=2y0，]且[t（t-2x0）=0].

由于當(dāng)點(diǎn)[D]不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)[N]也不動(dòng)，

所以[t]不恒等于[0]，于是[t=2x0].

故[x0=x4，y0=-y2]，代入[x02+y02=1]可得，

[x216+y24=1].

故所求曲線[C]的方程為[x216+y24=1].

點(diǎn)評(píng) 一般用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的題目只涉及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，而本題中通過滑槽形成三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并利用了三個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的聯(lián)系設(shè)置問題.

等量轉(zhuǎn)化法

一些軌跡問題，建立其動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系的途徑較為隱蔽，僅僅運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)去考慮“形向數(shù)”的轉(zhuǎn)化不足以求出方程，通常需要聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化. 通過數(shù)的運(yùn)算和變式進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，求出結(jié)果，其中韋達(dá)定理在轉(zhuǎn)換過程中起著重要的紐帶作用.

例5 已知橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1][（a>b>0）]的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為[F1（-1，0）]，[F2（1，0）]，且橢圓[C]經(jīng)過點(diǎn)[P（43，13）].

（1）求橢圓[C]的離心率；

（2）設(shè)過點(diǎn)[A（0，2）]的直線[l]與橢圓[C]交于[M]， [N]兩點(diǎn)，點(diǎn)[Q]是線段[MN]上的點(diǎn)，且[2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2]，求點(diǎn)[Q]的軌跡方程.

解析 （1）[e=22].

（2）由（1）知，橢圓[C]的方程為[x22+y2=1]，設(shè)點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)為[（x，y）].

①當(dāng)直線[l]與[x]軸垂直時(shí)，直線[l]與橢圓[C]交于[（0，1）]，[（0，-1）]兩點(diǎn). 此時(shí)點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)為[（0，2-355）].

②當(dāng)直線[l]不與[x]軸垂直時(shí)，設(shè)直線[l]的方程為[y=kx][+2]. 因?yàn)閇M，N]在直線[l]上，可設(shè)點(diǎn)[M，N]的坐標(biāo)為[（x1，kx1+2），][（x2，kx2+2），] 則[AM2=（1+k2）x12]，[AN2=（1+k2）x22.]

又[AQ2=x2+（y-2）2=（1+k2）x2]，

由[2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2]得，

[2（1+k2）x2=1（1+k2）x12+1（1+k2）x22]，

即[2x2=1x12+1x22=（x1+x2）2-2x1x2（x1x2）2.] [①]

將[y=kx+2]代入[x22+y2=1]中得，

[（2k2+1）x2+8kx+6=0]. [②]

由[Δ=（8k）2-4×（2k2+1）×6>0]得，[k2>32].

由②可知，[x1+x2=-8k2k2+1，x1x2=62k2+1].

代入[①]中并化簡(jiǎn)得，[x2=1810k2-3]. ③

因?yàn)辄c(diǎn)[Q]在直線[y=kx+2]上，

所以[k=y-2x]，代入③中并化簡(jiǎn)得，

[10（y-2）2-3x2=18].

由③及[k2>32]可知，

[0

又[0，2-355]滿足[10（y-2）2-3x2=18，]

故[x∈（-62，62）].

由[Q]在橢圓內(nèi)，所以[-1≤y≤1].

又由[10（y-2）2=18+3x2]得，[（y-2）2∈95，94]，且[-1≤y≤1]. 則[y∈12，2-355].

所以，點(diǎn)[Q]的軌跡方程為[10（y-2）2-3x2=18]，其中[x∈（-62，62）]，[y∈12，2-355].

點(diǎn)評(píng) 本題要注意對(duì)直線與[x]軸垂直的情況進(jìn)行檢驗(yàn)，還要考慮軌跡的實(shí)際范圍，對(duì)符合題設(shè)條件的范圍進(jìn)行求解.

由特殊到一般思想

此類問題主要考查對(duì)軌跡問題的探究能力，在無法找到直接求曲線方程切入點(diǎn)的情況下，根據(jù)特殊值法求出滿足題意的曲線、軌跡方程，再通過驗(yàn)證將方程推廣到一般情況，若滿足條件，則方程即為所求.

例6 已知雙曲線[E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的兩條漸近線分別為[l1：y=2x，l2：y=-2x].

（1）求雙曲線[E]的離心率；

（2）如下圖，[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線[l]分別交直線[l1，l2]于[A，B]兩點(diǎn)（[A，B]分別在第一、 四象限），且[△OAB]的面積恒為[8]，試探究：是否存在總與直線[l]有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線[E]？若存在，求出雙曲線[E]的方程；若不存在，說明理由.

解析 （1）[e=5].

（2）由（1）知，雙曲線[E]的方程為[x2a2-y24a2=1].如圖，設(shè)直線[l]與[x]軸相交于點(diǎn)[C].

當(dāng)[l⊥x]軸時(shí)，若直線[l]與雙曲線[E]有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則[OC=a，AB=4a].

又[△OAB]的面積為[8]，

所以[12OC?AB=8]，所以[12a?4a=8.]

所以[a=2].

故雙曲線的方程為[x24-y216=1].

若存在滿足條件的雙曲線[E]，則[E]的方程只能為[x24-y216=1]. 以下證明當(dāng)直線[l]不與[x]軸垂直時(shí)，雙曲線[E]：[x24-y216=1]仍滿足條件.

設(shè)直線[l]的方程為[y=kx+m]，依題意得，[k>2]或[k<-2]. 則[C（-km，0）]. 記[A（x1，y1），B（x2，y2）].

由[y=2x，y=kx+m]得，[y1=2m2-k]. 同理得，[y2=2m2+k].

由[SΔOAB=12OC?y1-y2]得，

[12-mk?2m2-k-2m2+k=8]，即[m2=44-k2=4（k2-4）.]

由[y=kx+m，x24-y216=1]得，[（4-k2）x2-2kmx-m2-16=0].

因?yàn)閇4-k2<0]，

[所以Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+16）=-16（4k2-m2-16）.]

又[m2=4（k2-4）]，

所以[Δ=0]，即[l]與雙曲線[E]有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

因此，存在總與[l]有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線[E]，且[E]的方程為[x24-y216=1].

點(diǎn)評(píng) 由三角形面積公式得出[m2=4（k2-4）]，通過這個(gè)式子對(duì)直線和曲線只有一個(gè)交點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)，最后得出雙曲線的方程.