圓柱殼結(jié)構(gòu)的功率流特性研究

鮑天淵

摘要：本文以水中有限長加肋圓柱殼為研究對象，利用模態(tài)疊加法導出了在點激勵作用下殼體的傳播功率流表達式，通過數(shù)值算例探索了振動功率流在殼體中的傳播途徑和規(guī)律。

關(guān)鍵詞：圓柱殼；功率流；Flügge理論

中圖分類號：TB532 文獻標識碼：A

1 引 言

水下彈性圓柱殼結(jié)構(gòu)與流體介質(zhì)的耦合振動及其噪聲預報是一個復雜的綜合問題，涉及到彈性結(jié)構(gòu)的振動力學、聲學以及結(jié)構(gòu)與流體介質(zhì)的耦合振動分析等多方面的理論。國內(nèi)外學者對圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動與聲輻射進行過大量的研究：Harari等[1] Harari A， Sandman B E. Radiation and vibrational properties of submerged stiffened cylindrical shells[J]. J. Acoust. Soc. Am.， 1990，88（4）：1817-1830.]]研究了具有任意邊界條件的水下有限長加肋圓柱殼體的振動與聲輻射；湯渭霖等[2] 湯渭霖，何兵蓉. 水中有限長加肋圓柱殼體振動與聲輻射近似解析解[J]. 聲學學報. 2001，26（1）：1-5.]]得到了有限長加肋圓柱殼的振動與聲輻射的近似解析解，并研究了肋骨對聲輻射的影響。

自Goyder H G D和White R G[3-5]于1980年創(chuàng)建功率流理論以來，功率流方法作為一種能同時表征振動水平和振動傳遞的方法，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于聲振特性分析中。本文基于Flügge殼體理論，通過數(shù)值計算得到了振動功率流在殼體中的傳播途徑和規(guī)律。

2 水下有限長加肋圓柱殼的解析解

如下圖所示的浸入在水中長為L的彈性加肋圓柱薄殼，流體介質(zhì)為理想流體，半徑為R，殼體厚度為h，h/R<<1，材料密度ρp，楊氏模量E，損耗因子η，泊松比μ，周圍流體介質(zhì)密度ρ0，聲速c0，肋骨高度為hr，厚度為dr，間距為d，第j根肋骨位置為xj，共T根肋骨，假設(shè)激勵力為隨時間簡諧變化的集中點力，作用于殼體上，方向沿半徑指向外部，薄殼振動可以用中面在x、θ、r方向的位移u、v、w來表示，兩端邊界條件為簡支，即：

殼體振動采用Flügge方程[6]來描述：

（1）

其中[L]為Flügge微分算子（略），在這里，我們同時略去了方程兩端力與位移中的時間項e-iωt。其中Fr的表示外部激勵力，p表示流體介質(zhì)對殼體的作用力，g表示肋骨對殼體的作用力，其具體表達式分別由文獻[7][8]給出：

其中：

K為積分變量， 。

和 分別為第一類漢克爾函數(shù)和第一類漢克爾函數(shù)的導數(shù)。

T表示肋骨個數(shù)，Zrn為肋骨的n階模態(tài)機械阻抗，ρr為肋骨材料的密度，Ar為肋骨截面積，hr為肋骨的高度。

上述振動方程的解取駐波形式，設(shè)解的形式為：

根據(jù)簡支邊界條件有：

將形式解代入Flügge方程即可得到殼體的振動位移響應(yīng)。

3圓柱殼體中的輸入與傳播振動功率流

3.1圓柱殼體的傳播功率流

根據(jù)文獻[6]中給出的殼體微元應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，得到其任意位置的軸向應(yīng)力與力矩Nx、Nθx、Mx、Mθx，周向應(yīng)力和力矩Nθ、Nxθ、Mθ、Mxθ，以及徑向力Qx、Qθ，作靜力等效得到其在任意位置處的有效軸向力Nex、有效周向剪力Tex、有效徑向力Sex、有效軸向彎矩Mex分別為：

有效軸向剪力Teθ、有效周向力Neθ、有效徑向力Seθ、有效軸向彎矩Meθ分別為：

根據(jù)振動功率流的定義，進而得到對于圓柱殼中的任意一點，其軸向傳播的功率流為：

周向傳播的功率流為：

取圓柱殼體曲面上若干個點，只考慮功率流的大小忽略其傳播方向，即可得到功率流在圓柱殼體上的云圖，進而更加直觀的看出不同位置處功率流大小的分布情況。

4數(shù)值計算

4.1模型參數(shù)

圓柱殼的基本參數(shù)：長度L=1.2m，半徑R=0.4m，厚度h=0.003m，圓柱殼材料密度ρp=7800kg/m3，楊氏模量E=2.1×1011N/m2，損耗因子η=0.01，泊松比μ=0.3。水的密度ρ0=1000kg/m3，水中聲速c0=1500m/s。假設(shè)激勵力為點激勵，方向沿半徑指向外部，作用于殼體中間的內(nèi)表面處。肋骨個數(shù)為9個，軸向均勻分布，肋骨間距d=0.12m，肋骨截面為矩形，其寬度dr=0.012m，高度hr=0.05m，肋骨材料與殼體材料相同。

4.2功率流傳播云圖

利用式（12）與（13），分別可以求得殼體的軸向和周向功率流傳播分量，進而可以得到其功率流云圖，選取頻率為100Hz，如下圖所示：

其中顏色較深的區(qū)域表示該處功率流傳遞強度更大，能量交換速度更快，且由于激勵力的兩側(cè)采用的符號不同導致對稱的位置顏色不同。由上圖可見，該頻率下，在激勵點附近的傳播強度相對較大，在遠離激勵點的位置傳播的功率流相對較小，且變化不大，功率流最大值均位于激勵點附近的區(qū)域，且功率流沿軸向的衰減更慢，由于肋骨的存在，能量難以向兩端傳遞。而相對來講，沿周向傳播的功率流衰減更快，即周向傳播的功率流由于結(jié)構(gòu)周向封閉更容易產(chǎn)生疊加相消的現(xiàn)象。

類似的，為了更進一步更加直觀的研究不同頻率下的功率流傳播規(guī)律，選取500Hz與1500Hz兩個頻率點分別得到其各自的功率流云圖如下：

由上圖可以看出，頻率越高，能量傳遞更加不規(guī)則，這是由于隨著頻率的提高，激發(fā)出更多的高頻模態(tài)，波長更短。此外，激勵點附近同樣具有較為明顯的特征。

5結(jié) 論

本文基于Flügge理論，考慮了流固耦合作用得到了水下加肋圓柱殼的傳播功率流解析表達式，通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)殼體中的功率流最大值位于激勵點附近，而隨著頻率的提高，功率流在殼體中的傳遞途徑更加復雜和不規(guī)則。這些結(jié)論對于振源識別，圓柱殼體中的能量傳遞途徑和規(guī)律，以及進行功率流試驗測量時測點的布置都具有一定的指導意義。

參考文獻：

[1] Harari A， Sandman B E. Radiation and vibrational properties of submerged stiffened cylindrical shells[J]. J. Acoust. Soc. Am.， 1990，88（4）：1817-1830.

[2] 湯渭霖，何兵蓉. 水中有限長加肋圓柱殼體振動與聲輻射近似解析解[J]. 聲學學報. 2001，26（1）：1-5.

[3] Goyder H G D， White R G. Vibration power flow from machines into built-up structures， Part I： introduction and approximate analysis of beam and plate-like foundations[J]. Journal of Sound and Vibration，1980，68（1）：59-75.

[4] Goyder H G D， White R G. Vibration power flow from machines into built-up structures， Part II： wave propagation and power flow in beam-stiffened plates[J]. Journal of Sound and Vibration，1980，68（1）：77-96.

[5] Goyder H G D， White R G. Vibration power flow from machines into built-up structures， Part III： power flow through isolation systems[J]. Journal of Sound and Vibration，1980，68（1）：97-117.

[6] Wilhelm Flügge. Stresses in shells[M].Berlin：Springer-Verlag，1960.

[7] Junger M C， Feit D. Sound， structures， and their interaction. second edition[M]. The MIT Press，1986.

[8] Burroughs C B. Acoustic radiation from fluid-loaded infinite circular cylinders with doubly periodic ring supports[J]. J. Acoust. Soc. Am.，1984，75（3）：715-722.