三種分形迭代函數(shù)系統(tǒng)研究

孫懿

摘 要：分形反映了世界的本質(zhì)，是非線性科學(xué)的三大理論前沿之一。迭代函數(shù)系統(tǒng)是分形理論的重要分支，利用分形迭代函數(shù)系統(tǒng)產(chǎn)生的分形圖形具有豐富多樣的形態(tài)以及精細(xì)的結(jié)構(gòu)，其中帶概率的函數(shù)迭代系統(tǒng)在各領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛，凝聚函數(shù)迭代系統(tǒng)主要用于整體與局部的自相似分形，帶參量函數(shù)迭代系統(tǒng)通過在變換系數(shù)中加入?yún)?shù)來控制分形圖形的動(dòng)畫效果。在介紹迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS的基礎(chǔ)上，研究了帶概率的IFS、凝聚IFS以及帶參量IFS等3種分形迭代函數(shù)系統(tǒng)，對(duì)不同類型分形圖形的生成具有一定的啟發(fā)與指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：函數(shù)迭代系統(tǒng)；帶概率的IFS；凝聚IFS；帶參量IFS

DOIDOI：10.11907/rjdk.161989

中圖分類號(hào)：TP303

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)文章編號(hào)：16727800（2016）011000903

0 引言

迭代函數(shù)是對(duì)分形進(jìn)行收縮仿射變換的迭代運(yùn)算，將上一次的輸出作為下一次的輸入，不斷進(jìn)行重復(fù)與自身復(fù)制，體現(xiàn)了分形在無標(biāo)度區(qū)域中的自相似性[1]。分形不同于傳統(tǒng)意義的幾何形狀，能夠達(dá)到任意小尺寸的精細(xì)結(jié)構(gòu)的集合。Barnsley提出迭代函數(shù)系統(tǒng)的基本思想就是基于幾何對(duì)象的整體和局部在仿射變換的意義下存在一定的自相似性[2]，仿射變換包括旋轉(zhuǎn)、平移、縮放并且保持交比不變。分形可以由一個(gè)或者更多個(gè)仿射變換迭代生成，每次迭代都會(huì)在最終的圖像中產(chǎn)生一個(gè)新的吸引子。本文就分形的迭代函數(shù)系統(tǒng)（Iterated Function System， IFS）的分形構(gòu)造方法加以研究，為不同分形對(duì)象的仿射變換提供有效的解決方法。

1 迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS的定義

設(shè){X；Wn，n=1，2，…，N}是擁有壓縮因子s的迭代函數(shù)系統(tǒng)，即變換W：H（X）→H（X）定義[3]如下：

其是完備空間（H（X），h（d））上具有壓縮因子s的壓縮映射，即：

這里采用豪斯道夫度量，因此H（X）與X是完備的壓縮空間。通過計(jì)算集合的豪斯多夫度量的上界，計(jì)算由IFS定義的自相似集合的維度。在完備的尺度空間X上，W存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，可以在任何起始位置通過不斷逼近找到不動(dòng)點(diǎn)。

它的唯一不動(dòng)點(diǎn)P∈H（X）滿足：

2 帶概率的IFS

預(yù)備知識(shí)：IFS的仿射變換通常由幾個(gè)變換形成，進(jìn)行分形后得到的效果不是很真實(shí)，實(shí)際的分形圖形由隨機(jī)迭代算法給出，也即在原來的IFS中增加一組概率數(shù)，其中概率大的變換頻率高，概率小的變換頻率低，稱為帶概率的迭代函數(shù)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱IFSP。IFSP定義了概率測(cè)量相關(guān)的馬爾科夫算子，馬爾科夫算子是所有概率測(cè)量空間的壓縮映射。拼貼定理指出，IFSP能夠產(chǎn)生一個(gè)不變測(cè)量。IFSP能夠在細(xì)節(jié)上更真實(shí)地反映分形圖形。

定義1[4]：X；wn，pnNn=1由IFS：X；wnNn=1和概率集pnNn=1組成，其中∑Nn=1pn=1且pn>0（n=1，2，···，N），其中每個(gè)pi對(duì)應(yīng)于一個(gè)wi。

定義P為所有概率測(cè)量空間的集合，X；wn，pnNn=1的馬爾科夫算子就是由函數(shù)M：P→P定義的[5]：

概率的加入使得分形后的效果更為真實(shí)，概率變化使得圖像的細(xì)節(jié)可以得到不同的展示，概率大的細(xì)節(jié)增加，概率小的細(xì)節(jié)降低，通過合適的概率選擇生成滿足相應(yīng)要求的圖像效果。圖2為采用IFSP對(duì)一個(gè)初始定義有向盒產(chǎn)生的蕨類植物進(jìn)行迭代的第4次和第21次的分形結(jié)果。

3 凝聚IFS

預(yù)備知識(shí)：無論是使用確定性算法的IFS還是使用隨機(jī)迭代算法的IFSP，都是在一系列的迭代之后得到一個(gè)分形幾何體。在生成一片分形幾何體時(shí)，局部與整體是具有自相似性的，將局部看作是整體的縮小和小位移形成，將劃分后的第一個(gè)幾何體進(jìn)行凝聚變換，然后進(jìn)行迭代，在某個(gè)位置生成單個(gè)幾何體，在空間的不同方向上作延伸變換[6]。如果要產(chǎn)生更多的效果，就需要更多的延伸變換。

其唯一不動(dòng)點(diǎn)A滿足：A=W（A）=∪Nn=0wn（A），并且A=limn→∞wn（B），B∈H（X），w0就是凝聚變換。如果凝聚IFS連續(xù)依賴于參數(shù)集，則吸引子也會(huì)連續(xù)依賴于參數(shù)集。

在分形圖形的延伸過程中應(yīng)能夠滿足在越遠(yuǎn)處，則局部幾何體越小，局部幾何體之間的位移也越小，在保持分形圖形真實(shí)感的前提下，局部幾何體數(shù)目應(yīng)盡可能多，達(dá)到整片分形幾何體的圖形效果。因此應(yīng)采取合適的延伸變換達(dá)到不同的大片分形幾何體的效果。在用凝聚IFS生成植物的分形圖形時(shí)，初始集就是凝聚集。圖3為凝聚IFS分形圖的一個(gè)示例。其中凝聚集為樹干，經(jīng)過遞歸次后生成一棵包含左右兩個(gè)分枝的樹。

4 帶參量IFS

預(yù)備知識(shí)：靜態(tài)分形圖形可以利用IFS和IFSP產(chǎn)生，當(dāng)在位移系數(shù)、旋轉(zhuǎn)系數(shù)和比例系數(shù)中加入?yún)?shù)，就能引起分形圖形運(yùn)動(dòng)起來，也能夠進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變化和縮放變化，產(chǎn)生相應(yīng)的動(dòng)畫效果。參數(shù)的加入引發(fā)了分形圖形的一系列變化，通過對(duì)參數(shù)的修改來控制動(dòng)畫的變化和動(dòng)畫效果。

當(dāng)在映射中加入一個(gè)參數(shù)時(shí)，就會(huì)引起分形圖形的一種或多種變化，參數(shù)值影響變化的種類與效果，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整參數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)IFS碼的連續(xù)控制?？梢岳眠@一特

性，選取有效的變換系數(shù)并引入相關(guān)參數(shù)，使分形圖像發(fā)生預(yù)期變化，產(chǎn)生連貫且逼真的動(dòng)畫效果。實(shí)現(xiàn)方法非常簡(jiǎn)單，只需調(diào)控相應(yīng)參數(shù)，效果也優(yōu)于以往的計(jì)算機(jī)動(dòng)畫技術(shù)。圖4為一個(gè)帶參量的IFS的三角形分形示意圖，初始集是一個(gè)垂足三角形，經(jīng)過迭代產(chǎn)生扭曲的三角形分形圖。

5 結(jié)語

本文在介紹迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS的基礎(chǔ)上，研究了帶概率的IFS、凝聚IFS以及帶參量IFS。帶概率的IFS可以用于體現(xiàn)不同的細(xì)節(jié)信息，凝聚IFS能夠?qū)崿F(xiàn)局部幾何體的凝聚變換和整體的延伸變換，生成具有自相似性的大片分形幾何體圖形，帶參量IFS用于使分形圖形產(chǎn)生動(dòng)畫效果，對(duì)初學(xué)者理解迭代函數(shù)系統(tǒng)以及針對(duì)不同的分形圖形采取不同類型的IFS具有一定的啟發(fā)和指導(dǎo)作用。

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（責(zé)任編輯：孫 娟）