理解“整式的加減”的規(guī)則

孔凡哲　祖丹

“整式的加減”是“數(shù)與代數(shù)”領域的重要內(nèi)容，是學好“一元一次方程”等其他知識的重要基礎。

從人類發(fā)展的視角看，“整式的加減”的規(guī)則并非人為規(guī)定，而是解決實際問題的現(xiàn)實需要，對于合并同類項法則是如此，對于去括號法則也是如此。

例1如圖1所示，餐廳的1個長條桌旁最多可坐6人，遇到小型聚會，餐廳老板總是按照顧客要求，將長條桌并在一起（如圖2所示），按照這種方式擺x個長條桌，可以坐多少位顧客？

下面是幾位同學的答案，我們一起來揭示他們思考的過程。

4同學說：“當擺x個這樣的長條桌時，可以坐（2x+2x+1+1）位顧客，如圖3，當擺z個長條桌時，這些長條桌的上側(cè)可以坐2x位顧客，這些長條桌的最左邊、最右邊可以各坐1位顧客，這些長條桌的下側(cè)可坐2x位顧客，所以，當擺x個長條桌時，一共可坐（2x+2x+l+1）位顧客?！?/p>

B同學說：“我的答案是2+4x，如圖4，當擺x個長條桌時。最左邊、最右邊可以各坐1位顧客，當擺1個長條桌時，我就加上4個座位，一共可坐2+4=6（位）顧客；當擺2個長條桌時，我就加上2x4個座位，一共可坐2+2x4=10（位）顧客；當擺3個長條桌時，我就加上3x4個座位，一共可坐2+3x4=14（位）顧客，依此類推，我得到的答案就是（2+4x）位顧客。”

C同學說：“我認為，6x-2（X--1）是正確答案，請看圖5，當擺1個長條桌時，可坐6位顧客；當擺2個長條桌時，有6×2=12（個）座位，但是，有2個座位是無法坐的（如圖5中的陰影座位），所以，可坐6x2-2x（2-1）：10（位）顧客；當擺3個長條桌時，有6x3=18（個）座位，有無法坐的座位2x（3-1）=4（個），也就是，一共可坐6x3-2x（3-1）=14（位）顧客，因此，我得到的答案是[6x-2（x-1）]位顧客，”

D同學說：“答案應該是6+4（x-1），當擺1個長條桌時，可坐6位顧客；當擺2個長條桌時，在1個長條桌的6個座位基礎上加上4個，即可坐6+4x（2—1）=10（位）顧客：當擺3個長條桌時，在2個長條桌的0個座位基礎上加上4個，即可坐6+4x（3-1）=14（位）顧客，因而，擺x個長條桌就應該可坐[6+4（X-1）]位顧客，也可以理解成，只有第一個長條桌旁有6個座位，剩下的長條桌旁都只有4個座位（如圖6所示），”

同一個問題，為什么答案不一樣呢？誰的答案正確呢？考慮到字母x取值的任意性，我們來驗證一下（參見表1），

從表1中我們可以發(fā)現(xiàn)，這四個整式的結果總是相同的，那么，是不是說四位同學所得的式子都相等呢？

這是我們的猜想！而且這個猜想是合理的（起碼就我們驗證的數(shù)字來說，是對的），同時，可以發(fā)現(xiàn)，在四個式子中，2+4x是最簡單的，計算起來也最簡單，

猜想1：2x+2x+1+1=2+4x，

思考過程：我們可以將這個多項式中的相同的項加在一起，即2x+2x=4x，1+1=2，因而，2x+2x+1+1=2+4x是有道理的，

猜想2：6x-2（x-1）=2+4x

思考過程：如果這個等式成立，那么，必然有2x-2（x-1）=2，也就是說，-2（x-1）必須等于2x+2，可以發(fā)現(xiàn)，去掉括號前的負號，括號內(nèi)的各項的符號都要變號！

猜想3：6+4（x-1）=2+4x，

思考過程：如果這個等式成立，那么，必然有4（x-1）=4x-4，也就是說，去掉括號，括號內(nèi)的各項，都要同時乘以括號前面的數(shù)字！

在上面這個問題的解決中，我們實際上“發(fā)現(xiàn)”了去括號法則和合并同類項法則，

如何理解合并同類項？同類項的分類標準是什么？下面我們一起來看一道例題，

例2化簡多項式4x+7+x2+3x-2x2-5+y-3y。

在化簡多項式時，我們需要對單項式進行分類、合并，以減少項數(shù)達到化簡的目的，根據(jù)不同的分類標準得到不同的解題方法（如表2），

為了將代數(shù)式化為最簡，總結表2中兩種分類標準的局限性，將具有相同字母，并且相同字母的次數(shù)相同的單項式作為分類標準，可以這樣化簡：

（x²-2x²）+（4x+3x）+（7-5）+（y-3y）=-X²+7x+2-2y。

由此，我們可以發(fā)現(xiàn)，合并同類項之后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)之和，

如果多項式內(nèi)有括號時，需要先將括號去掉再根據(jù)同類項的定義對其進行分類，

例如，對于多項式a（x-3）和多項式-a（x-3），類比數(shù)的乘法分配律，應該這樣化簡：

a（x-3）=ax-3a，-a（x-3）=-ax+3a，

根據(jù)去括號時符號的變化規(guī)律，我們得到如下口訣：

去括號，看符號，加不變，減全變。