電子相對(duì)論徑向波函數(shù)的基本特征

劉曉斌，師應(yīng)龍，邢永忠，路飛平

(天水師范學(xué)院 物理系，甘肅 天水 741001)

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電子相對(duì)論徑向波函數(shù)的基本特征

劉曉斌，師應(yīng)龍，邢永忠，路飛平

(天水師范學(xué)院 物理系，甘肅 天水 741001)

利用相對(duì)論平均自洽場(chǎng)理論，研究了電子相對(duì)論徑向波函數(shù)的基本特征.電子相對(duì)論徑向波函數(shù)大小分量的數(shù)量級(jí)通常相差懸殊且不“同步”，核外電子的徑向分布沒(méi)有嚴(yán)格的零概率點(diǎn)；束縛電子相對(duì)論徑向波函數(shù)大小分量的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為n-l-1、波腹個(gè)數(shù)為n-l，而自由電子的節(jié)點(diǎn)和波腹數(shù)則趨于無(wú)窮大.電子相對(duì)論徑向波函數(shù)反映了相對(duì)論效應(yīng)的基本特征：相對(duì)論效應(yīng)越強(qiáng)，小分量振幅相對(duì)越大，自由電子徑向波函數(shù)振蕩越劇烈.

狄拉克方程；相對(duì)論自洽場(chǎng)；徑向波函數(shù)；節(jié)點(diǎn)；波腹

量子力學(xué)的基本原理之一，就是微觀體系的狀態(tài)可用希爾伯特空間的波函數(shù)完全描述，從波函數(shù)可以得到微觀體系的所有性質(zhì)：只要知道波函數(shù)，則體系的其他物理量如能量、截面以及躍遷概率等原則上均可確定.作為量子力學(xué)的基本方程，薛定諤方程深刻地揭示了微觀世界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，打破了以往看來(lái)十分神秘的微觀世界，為波動(dòng)力學(xué)的建立奠定了基礎(chǔ).實(shí)驗(yàn)表明，只要微觀粒子的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)比光速小，薛定諤方程就是一個(gè)很好的近似，可成功地描述許多微觀現(xiàn)象，甚至對(duì)低能核物理中的一些現(xiàn)象也能做出令人滿(mǎn)意的解釋.但研究高能粒子的行為須用相對(duì)論量子力學(xué)，此時(shí)描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)方程對(duì)洛倫茲變換必須協(xié)變，而薛定諤方程中時(shí)間和空間并非對(duì)稱(chēng)，對(duì)時(shí)間坐標(biāo)的求導(dǎo)為一次，而空間為二次，很顯然不符合相對(duì)論協(xié)變性要求[1].狄拉克方程就是為了推廣薛定諤方程使其符合相對(duì)論協(xié)變性要求而提出的，是相對(duì)論性的量子力學(xué)波動(dòng)方程[2].對(duì)于高能領(lǐng)域如核聚變、粒子的高能碰撞以及高溫等離子體等，由于粒子的速度非常高，相對(duì)論效應(yīng)十分明顯，此時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)須用狄拉克方程描述.

與非相對(duì)論性的薛定諤方程相似，如果將狄拉克方程中的ψ看作態(tài)的波函數(shù)，則ψ*ψ為概率密度，可將狄拉克方程作為單粒子運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)方程，這也能說(shuō)明氫能級(jí)的精細(xì)結(jié)構(gòu)等重要的物理問(wèn)題.但將ψ*ψ理解為概率密度意味著在一定程度上粒子有確定的位置，根據(jù)不確定關(guān)系其動(dòng)量必存在一定的不確定性，足夠大的動(dòng)量將使粒子的能量大于其二倍靜止能量并導(dǎo)致粒子的產(chǎn)生，此時(shí)討論單粒子的問(wèn)題將失去精確的物理意義；為克服負(fù)能態(tài)的困難，狄拉克對(duì)“真空”做了新的理論解釋?zhuān)赫婵詹⒎且粺o(wú)所有，真空是沒(méi)有任何場(chǎng)量子被激發(fā)的狀態(tài)，或所有的場(chǎng)都處于基態(tài)即為物理上的“真空”.狄拉克“真空”不空的物理思想包含了極為豐富的物理內(nèi)容，任何物理上可測(cè)量到的量相當(dāng)于對(duì)“真空”態(tài)的偏離.所以在相對(duì)論情形中場(chǎng)的概念不可避免，理論內(nèi)在的自洽性要求將狄拉克方程理解為場(chǎng)方程，再進(jìn)行量子化.盡管如此，在一些問(wèn)題中如果粒子的產(chǎn)生和湮沒(méi)等現(xiàn)象的影響不是很?chē)?yán)重，狄拉克方程的單粒子理論還是取得了很大成功：狄拉克方程隱含了電子自旋，從理論上可直接得出電子存在自旋運(yùn)動(dòng)及內(nèi)秉磁矩，并預(yù)言了正電子的存在等.正因如此，狄拉克方程在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)被人們視為唯一值得信賴(lài)的相對(duì)論波動(dòng)方程.

1 理論方法

原子的能量由組成原子的各粒子間的相互作用決定，而通常這種相互作用非常復(fù)雜，如果不進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，就會(huì)使相關(guān)的理論研究變得極為困難甚至不可能.早期采用單電子零級(jí)近似：忽略了電子間的相互排斥作用，認(rèn)為各電子在原子核外完全“獨(dú)立”地運(yùn)動(dòng)，這種近似處理與客觀實(shí)際相差較大,其結(jié)果必然相當(dāng)粗糙.合理可行的方法就是采用獨(dú)立電子的中心場(chǎng)模型：考慮了電子間的相互排斥作用，但將這種相互作用作了必要的理論簡(jiǎn)化處理,認(rèn)為電子獨(dú)立地在原子核與其他電子的平均勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其他電子對(duì)第i個(gè)電子的排斥作用從原子核發(fā)出，顯然這種理論模型比單電子零級(jí)近似更接近物理實(shí)際.中心場(chǎng)近似為簡(jiǎn)化多電子原子提供了一個(gè)相當(dāng)成功的量子力學(xué)模型，在物質(zhì)結(jié)構(gòu)的理論研究中得到了廣泛應(yīng)用.在中心場(chǎng)模型下，如果知道原子中相關(guān)電子的波函數(shù)，即可通過(guò)一定的理論計(jì)算而知道電荷分布，并進(jìn)一步推導(dǎo)出其激發(fā)的平均勢(shì)；根據(jù)平均勢(shì)也可以計(jì)算出電子的電荷分布、進(jìn)而知道波函數(shù).這說(shuō)明原子中電子的波函數(shù)與平均勢(shì)相互依存并彼此制約：電子波函數(shù)所確定的平均勢(shì)與由平均勢(shì)所確定的波函數(shù)必須相互協(xié)調(diào)或自洽，這就是自洽場(chǎng)(self-consistent field,SCF)理論的物理思想.滿(mǎn)足這個(gè)條件的微觀體系的平均勢(shì)能場(chǎng)稱(chēng)為自洽場(chǎng)，按照這種物理思想所設(shè)計(jì)的計(jì)算方法為自洽場(chǎng)方法.自洽場(chǎng)理論模型更好地考慮了電子間的相互作用，其計(jì)算結(jié)果通常具有很高精度.相對(duì)論自洽場(chǎng)理論本質(zhì)上是獨(dú)立電子的平均自洽場(chǎng)模型，與非相對(duì)論性自洽場(chǎng)理論模型下的電子波函數(shù)不同，單電子的相對(duì)論波函數(shù)為[3]

(1)

(2)

獨(dú)立電子的中心場(chǎng)模型最多是一種理論近似(僅對(duì)氫原子嚴(yán)格成立，對(duì)其他原子則未必如此)：沒(méi)有很好地考慮電子間的相互關(guān)聯(lián)，例如減小平行自旋電子相互接近概率的泡利關(guān)聯(lián)、電子間相互作用的庫(kù)侖關(guān)聯(lián)等[4]；原子中的相關(guān)電子除受到核的中心勢(shì)外，通常還會(huì)受到自旋-軌道、核自旋、外電磁場(chǎng)以及電子間的相互排斥等非中心勢(shì)的作用[5].在中心場(chǎng)近似下，電子相對(duì)論波函數(shù)的角向和徑向部分可分離，分離后的相對(duì)論角向波函數(shù)對(duì)所有原子均相同，而不同原子或相同原子不同狀態(tài)的相對(duì)論徑向波函數(shù)通常不同，即相對(duì)論徑向波函數(shù)的求解更具物理上的實(shí)際意義.當(dāng)電子在中心場(chǎng)U(r)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，狄拉克方程可表示為[2]

(3)

(4)

εnk為電子在nκ相對(duì)論次殼層的軌道能量，Vscf(r)為自洽勢(shì)； 通常束縛態(tài)電子只能處于原子核外一定區(qū)域，電子在非常靠近和遠(yuǎn)離核的區(qū)域出現(xiàn)的概率幾乎為零，而自由電子的波函數(shù)則可延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)處.對(duì)多電子原子中的束縛電子，此方程只能通過(guò)自洽場(chǎng)迭代數(shù)值求解；自由電子由于其動(dòng)能已知，不需通過(guò)迭代過(guò)程而只需積分即可得到波函數(shù).一般而言，自洽場(chǎng)勢(shì)有多種近似方法[7]，但主要為起決定作用的核吸引的庫(kù)侖勢(shì)、較小的電子-電子排斥庫(kù)侖勢(shì)以及局部交換勢(shì).

2 計(jì)算結(jié)果及討論

利用上述理論方法，本文研究了相對(duì)論徑向波函數(shù)的基本特征.主要內(nèi)容包括以下兩方面.

2.1 相對(duì)論徑向波函數(shù)的一般特征

狄拉克方程中的波函數(shù)為4分量函數(shù)，在中心場(chǎng)近似下可將電子相對(duì)論波函數(shù)的角向和徑向部分分離.圖1是Na(1s22s22p63s)的3s電子及Na1+(1s22s22p6)的勢(shì)場(chǎng)中動(dòng)能為ε=0.001 Hartree的自由電子相對(duì)論徑向波函數(shù)的大分量P(r)和小分量Q(r)；為便于比較，我們將徑向波函數(shù)的小分量Q(r)乘了50(后面有類(lèi)似情況)；徑向距離和電子能量采用了原子物理的理論研究中通常采用的原子單位，分別為a0=0.529×10-10m 和ε0=27.211 eV=1 Hartree.可以看出：電子相對(duì)論徑向波函數(shù)的大分量與小分量的數(shù)量級(jí)相差非常懸殊，在通常情況下大分量起主導(dǎo)作用；與非相對(duì)論的情況相同，束縛電子相對(duì)論徑向波函數(shù)大小分量均有n-l-1=3-0-1=2個(gè)節(jié)點(diǎn)、n-l=3-0=3個(gè)波腹，當(dāng)徑向距離增大到一定程度時(shí)徑向波函數(shù)迅速趨于零；自由電子相對(duì)論徑向波函數(shù)的大小分量有無(wú)窮多個(gè)節(jié)點(diǎn)和波腹，在靠近核的區(qū)域波函數(shù)振幅較小，遠(yuǎn)離核時(shí)波函數(shù)振幅略有增大趨勢(shì)；相對(duì)論徑向波函數(shù)的大小分量明顯地不同步，即在相對(duì)論情況下核外電子的徑向概率分布P2(r)+Q2(r)沒(méi)有嚴(yán)格意義的零概率點(diǎn).這是因?yàn)樽杂呻娮涌傻竭_(dá)原子核外任何距離處，波函數(shù)可以延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)，其主量子數(shù)n由于失去確定性而趨于無(wú)窮大，相對(duì)論徑向波函數(shù)大小分量的節(jié)點(diǎn)數(shù)n-l-1及波腹數(shù)n-l即為無(wú)窮，具體表現(xiàn)為波函數(shù)振蕩劇烈；束縛電子通常只能處于原子核附近的一定區(qū)域，其主量子數(shù)n具有確定值，相對(duì)論波函數(shù)大小分量的節(jié)點(diǎn)和波腹數(shù)也確定.通常情況下，自由電子由于距離原子核較遠(yuǎn)，很難靠近原子核，從而使其在近核區(qū)域的徑向波函數(shù)振幅較小，這也是主量子數(shù)n較大時(shí)束縛電子波函數(shù)所具備的基本特征.

圖1 Na(1s22s22p63s)的3s電子以及Na1+(1s22s22p6)的勢(shì)場(chǎng)中動(dòng)能為0.001Hartree的自由電子εs的相對(duì)論徑向波函數(shù)的大小分量.為便于比較，小分量徑向波函數(shù)乘了50

2.2 相對(duì)論效應(yīng)較強(qiáng)時(shí)徑向波函數(shù)的特征

束縛電子所感受到的核勢(shì)場(chǎng)越強(qiáng)、自由電子的動(dòng)能越大，則意味著相對(duì)論效應(yīng)越明顯.圖2是Fe15+(1s22s22p63s)的3s電子相對(duì)論徑向波函數(shù)的大小分量，由于Fe15+(1s22s22p63s)為高離化態(tài)離子，其離化度較高，核外電子所感受到的有效核電荷較一般離子(原子)的大的多，即相對(duì)論效應(yīng)對(duì)電子的影響應(yīng)較強(qiáng).與圖1中Na(1s22s22p63s) 的3s電子相比，可以發(fā)現(xiàn)兩者3s電子的徑向波函數(shù)十分相似，但Fe15+(1s22s22p63s)的3s電子的小分量徑向波函數(shù)的振幅相對(duì)較大，而且徑向波函數(shù)沿靠近核的空間被嚴(yán)重壓縮.對(duì)此不難理解：較大的有效核電荷將導(dǎo)致相關(guān)電子只能在更靠近核的區(qū)域運(yùn)動(dòng)，即波函數(shù)沿靠近核的徑向空間被壓縮，而相對(duì)論效應(yīng)的增強(qiáng)使徑向波函數(shù)的小分量也有所增加.

圖2 Fe15+ (1s22s22p63s)的3s電子相對(duì)論徑向波函數(shù)

圖3是動(dòng)能為ε=1 Hartree和ε=100 Hartree的自由電子εp(j=1.5)在Fe16+(1s22s22p6)的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的相對(duì)論徑向波函數(shù).通常自由電子的動(dòng)能越大，相對(duì)論效應(yīng)就越明顯，主要表現(xiàn)為徑向波函數(shù)振蕩更為劇烈、其小分量的振幅也相對(duì)較大，而這正是圖3所表示的.

圖3 Fe16+(1s22s22p6)的勢(shì)場(chǎng)中動(dòng)能分別為ε=1 Hartree和ε=100 Hartree的自由電子εp(j=1.5)的相對(duì)論徑向波函數(shù)

3 結(jié)論

利用相對(duì)論平均自洽場(chǎng)理論，研究了電子相對(duì)論徑向波函數(shù)的主要特征.電子相對(duì)論徑向波函數(shù)的大分量與小分量的數(shù)量級(jí)通常相差非常懸殊，且大小分量沿徑向空間的變化并不“同步”；與非相對(duì)論的情形相同：相對(duì)論徑向波函數(shù)的大小分量均有n-l-1個(gè)節(jié)點(diǎn)、n-l個(gè)波腹，但自由電子則由于其主量子數(shù)失去確定性而趨于無(wú)窮大，其節(jié)點(diǎn)和波腹個(gè)數(shù)必然為無(wú)窮大.通常相對(duì)論效應(yīng)越強(qiáng)則電子相對(duì)論徑向波函數(shù)小分量振幅相對(duì)地越大、自由電子波函數(shù)振蕩越劇烈，而核庫(kù)侖勢(shì)的增強(qiáng)及電子動(dòng)能的增大意味著相對(duì)論效應(yīng)更為明顯.

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The fundamental properties of electron relativistic radial wave function

LIU Xiao-bin, SHI Ying-long, XING Yong-zhong, LU Fei-ping

(Department of Physics, Tianshui Normal University, Tianshui, Gansu 741001, China)

The fundamental properties of electron relativistic radial wave functions have been studied theoretically based on the relativistic average self-consistent field. Usually, the small-component of relativistic radial wave functions is several orders of magnitudes less than the large-component, and is not generally synchronous with the large-component, so the radial probability density of electron has no exact zeros. The number of nodes for bound electron large- or small-component isn-l-1, so that the number of antinodes isn-l, but the number of nodes and antinodes for free electron just turn to infinite. The radial wave functions are extremely sensitive to the relativistic effects, the amplitude of small-component increases with increasing relativistic effects, as well as the oscillating intensity of large, small-component for free electron.

Dirac equation; relativistic self-consistent field; radial wave function; node; antinode

2016-03-22；

2016-05-30

國(guó)家自然科學(xué)基金(11264033,11464040,11265013)、甘肅省高等學(xué)?？蒲许?xiàng)目(2014A-104)、甘肅省自然科學(xué)基金(1506RJZE112)資助

劉曉斌(1973—)，男，甘肅天水人，天水師范學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院物理系副教授，主要從事原子物理的教學(xué)及研究工作.

O 562.1

A

1000- 0712(2016)12- 0019- 04