一類具零頻率的Nagumo型方程的同倫攝動近似解

余夢蘭 韋玉程

(河池學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 廣西 宜州 546300)

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一類具零頻率的Nagumo型方程的同倫攝動近似解

余夢蘭 韋玉程

(河池學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 廣西 宜州 546300)

考慮由典型的發(fā)放神經(jīng)元模型—FHN模型簡化得到的Nagumo方程，應用同倫攝動理論，通過引入一嵌入變量p∈[0,1]構造一同倫函數(shù)，求解得方程的一階近似解和參數(shù)a的估計值。

同倫攝動方法；Nagumo方程；近似解

0 引言

在科學和工程研究中特別是在現(xiàn)代科學技術中出現(xiàn)的非線性問題是極為常見的。解決科學、工程、科技中的問題很大程度上歸結(jié)為解非線性方程的問題。然而，絕大部分非線性問題無法獲得精確的解析解，因此求解非線性方程的近似解具有非常重要的實際意義。隨著現(xiàn)代科學技術的不斷發(fā)展，學者們提出了很多種求非線性方程近似解的方法，如迭代法、變分法、攝動方法、同倫分析法、同倫攝動法等等[1-2]。

攝動方法是求解非線性問題的常用方法之一，但各種攝動方法都有一定的局限性。首先，攝動方法應用對象為含有小參數(shù)的方程，限制了其本身的應用范圍；第二，各階攝動方程與原始非線性方程密切相關；第三，攝動級數(shù)的收斂性強烈依賴小參數(shù)。為解決這些問題，數(shù)學工作者引入了 Lyapunov 人工參數(shù)法、δ展開法、Adomian 分解法等不需要小參數(shù)的方法[3-5]，但級數(shù)解的收斂性問題沒有辦法保證，也不能自由選擇表達非線性方程解的基函數(shù)?；诖?，1992年廖世俊根據(jù)拓撲理論中的同倫概念提出了一種新的解決非線性問題的方法——同倫分析方法，并于1997年進一步引入“收斂控制參數(shù)”將同倫分析法加以完善[6-7]。1998年何吉歡結(jié)合同倫分析法與攝動法的相關理論提出了同倫攝動方法，其基本思想如下[8-9]。

考慮非線性方程:

A(u(t))=L(u(t))+N(u(t))=0，

其中L,N分別為A的線性部分與非線性部分。構造同倫

H(p,u)=(1-p)[L(u)-L(u0)]+pA(u)=0，

其中p∈[0,1]為嵌入?yún)?shù)。對于不同的參數(shù)p對應的方程不同，其解也不相同。令u=u(t,p), 即

H(p,u)=(1-p)[L(u(t,p))-L(u0)]+pA(u(t,p))=0，

當p=0時,L(u(t,0)-u0)=0 ;當p=1時，A(u(t,1))=0.于是，此同倫是將線性方程的解u0連續(xù)地變到了非線性方程A(u)=0的解。將嵌入?yún)?shù)p視為小參數(shù), 將u展開為p的冪級數(shù)

當p=1時, 得到

就是非線性方程A(u)=0的解。

同倫攝動法的主要特點是，克服傳統(tǒng)攝動理論對小參數(shù)的過分依賴問題，特別是對非線性問題的控制和邊界條件不管是否含有小參數(shù)，都能將其自由邊界問題轉(zhuǎn)化為固定邊界問題；而且，該方法可以自由選取最適合問題的基函數(shù)，更有效的取得問題的解；除此之外，同倫攝動方法提供的簡潔有效途徑使得到的級數(shù)解收斂，獲得精確的近似解。近年來，同倫攝動法成功的應用到許多涉及非線性問題領域的求解之中。

生命科學的研究表明：發(fā)放型神經(jīng)元在神經(jīng)網(wǎng)絡中的研究極為重要[10-11]。時下，以發(fā)放型神經(jīng)元模型為基礎構成的聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡模型是國際上生物數(shù)學研究的熱點。FitzHugh-Nagumo方程(簡稱FHN方程)是發(fā)放型神經(jīng)元的數(shù)學描述，其形如下:

ut=uxx+u(u-α)(1-u)-β∫udt,(0<α<1,β>0)

參數(shù)α是由細胞膜的電特性決定的參數(shù)。由于非線性FHN方程的復雜性，缺乏一種求出FHN方程解析解的方法，因此在對FHN模型進行研究時學者們常借助于數(shù)值方法。當FHN方程中參數(shù)β=0時，即得到 Nagumo方程：

ut=uxx+u(u-α)(1-u),

對于Nagumo方程，人們感興趣的是尋找形如

u(x,t)=q(ξ),ξ=kx-ωt+ξ0，

的行波解，其中k>0為波數(shù)，ω為角頻率，ξ0為常數(shù)。則q滿足方程

k2q″+ωq′+q(q-α)(1-q)=0.

此方程可化為Lienard方程，它具有三個平衡點q=0;α;1，而且都是雙曲型。對于Nagumo方程的研究，可參見Iqbal[12]及Mckean[13]及其參考文獻。受其啟發(fā)，我們運用同倫攝動方法考慮具有零頻率的Nagumo方程為背景的一類二階微分方程的近似解問題。

1 主要結(jié)果及其證明

定理:考慮形如

ε2y″+y(1-y)(y-a)=0,

(1)

一類具有零頻率的簡化Nagumo型方程，其中ε為小參數(shù)，y(0)=1,0

這里a≈0.793 054,t為變量，o(t)是誤差項。

注：方程(1)有三個奇點y=0;y=a;y=1，取定初始值y(0)=1，是指以奇點(0,1)為出發(fā)點。

定理的證明：

對于方程(1), 我們選擇構造下面的同倫，y(t)→y(t;p):

(1-p)[ε2y″(t;p)+a2y(t;p)]+p[ε2y″(t;p)+y(t;p)(1-y(t;p))(y(t;p)-a)]=0，

即

ε2y″(t;p)+(1-p)a2y(t;p)+p[(1+a)y2(t;p)-ay(t;p)-y3(t;p)]=0,p∈[0,1]

(2)

這里p為嵌入?yún)?shù)，y(0)=1為方程(2)的初始解。

當p=0 時，方程(2)轉(zhuǎn)化為一個線性方程：

ε2y″(t;p)+a2y(t;p)=0,

當p=1 時，方程(2)就是原來的非線性方程(1)。應用攝動理論[12-13]，我們假設(2)的解可表示為

y(t;p)=y0(t;p)+py1(t;p)+p2y2(t;p)+…，

(3)

當ρ→1,方程(2)轉(zhuǎn)化為方程(1)，這時(3)式變成了方程(1)的近似解，即

把(3)代入(2)，得：

ε2(y0(t;p)+py1(t;p)+p2y2(t;p)+…)″+(1-p)a2(yo(t;p)+py1(t;p)+p2y2(t;p)+…)+p[(1+a)(y0(t;p)+py1(t;p)+p2y2(t;p)+…)2-a(yo(t;p)+py1(t;p)+p2y2(t;p)+…)-(y0(t;p)+py1(t;p)+p2y2(t;p)+…)3]=0.

即有

ε2y″0(t;p)+ε2py″1(t;p)+…+a2y0(t;p)+pa2y1(t;p)+…-pa2y0(t;p)-

比較p的相同次冪系數(shù)，得:

p0： ε2y″0(t;p)+a2y0(t;p)=0;

(4)

p1：

(5)

解方程(4)，得其通解為：

由于y(0)=1, 于是，我們可選取如下的基函數(shù)

(6)

把(6)代入(5)并化簡得：

(7)

下面我們通過方程(7)解出y1的具體表達式。

首先考慮其對應的齊次方程

ε2y″1(t;p)+a2y1(t;p)=0

類似于方程(4)，我們選定基函數(shù)為

其次我們將非齊次線性方程(7)折分成下面四個非齊次線性方程：

分別求出這四個非齊次線性方程的一個特解：

根據(jù)常微分方程解的疊加原理，方程(7)的解可表示為：

于是可得方程(1)的一階近似

y(t)=y0(t;p)+y1(t;p)+o(t)

(8)

由初值y(0)=1知,當t=0時有：

把t=0代入(8)式，可得到

即

96a2-32a-35=0,

解這個方程，并注意到0

至此，我們得到了所需要的結(jié)果。定理證明結(jié)束。

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[責任編輯 劉景平]

The Homotopy Perturbation Approximation Solution of A Class of Nagumo Equations with Zero Frequency

YU Menglan, WEI Yucheng

(School of Mathematics and Statistics, Hechi University, Yizhou, Guangxi 546300, China)

In this paper, we considered a class of two order nonlinear equations by simplifying the classical neuron model—FHN equation. Using the homotopy perturbation method what completely does not depend on small parameters, we get the first order approximate solutions for it and estimate value of parameteraby introducing a embedded variablep∈[0,1], constructing a homotopy function and using the perturbation theory.

homotopy perturbation method; Nagumo equation; approximate solution

O175.12

A

1672-9021(2016)05-0064-05

余夢蘭(1992-)，女,廣西天峨人，河池學院2011級學生;韋玉程(1966-)，男，廣西鳳山人，博士, 河池學院數(shù)學與統(tǒng)計學院副教授, 主要研究方向：變分法。

廣西教育廳自然科學研究基金資助項目(KY2015YB255); 廣西教育廳教改基金資助項目(2015JGA322；2015JGB355)。

2016-02-25