平面上任意凸多邊形面積的計(jì)算

廖祥超+郭民之

摘要：以平面上任意有限個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸多邊形面積的計(jì)算是一個(gè)很有實(shí)用價(jià)值的問(wèn)題，該文結(jié)合平面解析幾何相關(guān)知識(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法先推導(dǎo)出平面上凸n邊形面積的一般計(jì)算公式，然后利用Excel中多個(gè)函數(shù)和排序技巧實(shí)現(xiàn)了面積的程序化計(jì)算，并用實(shí)例演示說(shuō)明。最后討論了如何用這種方法去計(jì)算平面上任意凸多邊形的面積。

關(guān)鍵詞：平面凸多邊形；頂點(diǎn)逆時(shí)針排序；面積公式；Excel程序化計(jì)算

中圖分類號(hào)：TP37 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2016）28-0245-02

Abstract： It is a quite practical and valuable problem about the calculation of the area of convex polygon which is formed by arbitrary point on the plane. Based on the relative knowledge of Analytic Geometry， the formula for the calculation of the area of convex polygon was deduced and proved by Mathematical Induction in this paper； then many functions and skills of sorting were used in Excel， which helps it realize the goal of programming calculation of the area of convex polygon in the example. Finally， they discussed this method about the calculation of the area of arbitrary convex polygon on the plane.

Key words： convex polygon on the plane； vertex with anticlockwise sort； formula of area； programming calculation in excel

1 引言

平面解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，它通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系把點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)聯(lián)系起來(lái)，把圖形和方程對(duì)應(yīng)起來(lái)，用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，以幾何直觀來(lái)解釋代數(shù)結(jié)論。

計(jì)算凸多邊形面積傳統(tǒng)的方法是把凸n邊形分割成n-2個(gè)三角形，然后累加各三角形的面積得到其面積。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)有許多學(xué)者借助Excel研究凸多邊形面積計(jì)算的問(wèn)題，文獻(xiàn)[1][2][3][4]中均用梯形法給出凸多邊形的面積計(jì)算公式，但是或多或少存在一些不足，有的文獻(xiàn)證明不夠嚴(yán)謹(jǐn)；雖然強(qiáng)調(diào)圖形的閉合性，但是在面積計(jì)算公式中的表述不夠嚴(yán)格；還有頂點(diǎn)按逆時(shí)針或順時(shí)針?lè)较蚺判驎r(shí)，面積的正負(fù)號(hào)的區(qū)分沒(méi)有交代清楚?；谝陨鲜聦?shí)，本文提出了一個(gè)凸n邊形頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺判虻姆椒?，給出并證明了凸n邊形面積的計(jì)算公式。在示例中，本文先運(yùn)用Excel自帶的相關(guān)函數(shù)對(duì)這n個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺判?，再畫出凸多邊形的圖形，最后求出其面積。

為了將凸多邊形的n個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺判?，我們先找出n個(gè)頂點(diǎn)中最靠左和最靠右的兩個(gè)頂點(diǎn)（假設(shè)這種點(diǎn)是唯一的，若不唯一，我們可通過(guò)簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)變換，使其在新坐標(biāo)系中唯一），分別設(shè)它們?yōu)楹停?，分別是橫坐標(biāo)最小和最大的頂點(diǎn)。那么過(guò)和的直線l就可以將所有的頂點(diǎn)分為上下兩組。然后將下面一組頂點(diǎn)按橫坐標(biāo)從小到大排序，而上面一組頂點(diǎn)按橫坐標(biāo)由大到小排序，最后將排序后的兩組頂點(diǎn)合并在一起就可以得整個(gè)凸多邊形n個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较虻囊粋€(gè)排序，對(duì)排序后的凸n邊形，下面的定理給出了其面積的計(jì)算公式。

2.2 凸n邊形面積公式

定理1 設(shè)是任意凸多邊形的按逆時(shí)針?lè)较蚺判蚝蟮膎個(gè)頂點(diǎn)，則該多邊形的面積為

證 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)凸多邊形邊數(shù)n=3時(shí)，如圖1：

這里只對(duì)圖1左圖情形給出證明，右圖情形證明方法類似。

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，（2）式成立，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，如圖2：

即n=k+1時(shí)（2）式成立。

3 實(shí)例分析

下面我們以凸九邊形為例，來(lái)演示說(shuō)明在Excel 2010中如何求出對(duì)應(yīng)的凸九邊形的面積。設(shè)為凸九邊形的9個(gè)頂點(diǎn)，具體的坐標(biāo)值（注：可隨意給出，只要它們可圍成一個(gè)凸九邊形即可）見圖3中單元格區(qū)域B2：C10。

步驟①：找出和，然后確定直線.

為了找到橫坐標(biāo)最小的頂點(diǎn)和最大的頂點(diǎn)，可使用查找函數(shù)“VLOOKUP”：在H3輸入“=VLOOKUP（MIN（B2：B10），IF（{1，0}，B2：B10，A2：A10），2，0）”，得到的是P1；在H4輸入“=VLOOKUP（MAX（B2：B10），IF（{1，0}，B2：B10，A2：A10），2，0）”，得到是P7。與頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)的值可在單元格I3和J3輸入圖3中批注的命令獲得，選中單元格I3：J3向下填充即可得到的坐標(biāo)。根據(jù)（1）式，在H7、H8、H9中分別鍵入公式“=J4-J3”、“=I3-I4”、“=I4*J3-I3*J4”，就可以得到A、B、C的值，于是直線l的方程為：

步驟②：排序

在D2中鍵入“=$H$7*B2+$H$8*C2+$H$9”，往下填充至D10就可求得各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的值；為了方便分組和排序，我們令

在E2中鍵入“=IF（D2>=0，1， -1）”，再向下填充至E10，結(jié)果如圖3所示。由B= -15.2<0，據(jù)表1易知的點(diǎn)Pi是在直線l的下方，而的點(diǎn)Pi則是在直線l的上方。利用INDEX函數(shù)查找相同內(nèi)容，返回對(duì)應(yīng)值的名稱這一功能，我們可在G13中輸入“=INDEX（A：A，SMALL（IF（E$2：E$10=1，ROW（$2：$10）），ROW（E1）））”，然后再同時(shí)按下Ctrl+Shift+Enter，就可以找到滿足的第一個(gè)點(diǎn)P1，匹配頂點(diǎn)P1的橫縱坐標(biāo)可用圖4批注中的命令確定；選中單元格G13：I13，向下填充至G16：I16即可得到滿足的其余三個(gè)點(diǎn)P4、P5、P6；在J13中輸入“=INDEX（G$13：G$16，MATCH（SMALL（H$13：H$16，ROW（J1）），H$13：H$16，0））”，按下Enter鍵，公式將返回最小的點(diǎn)的名稱P1，再向下填充至J16，即可得到在直線l下方且按逆時(shí)針?lè)较蚺判蚝蟮捻旤c(diǎn)P1、P6、P4、P5.

同理我們可以找到滿足這組點(diǎn)。這時(shí)按降序排序，我們得到位于直線l上方且按逆時(shí)針?lè)较蚺判虻捻旤c(diǎn)P7、P9、P3、P2、P8，相關(guān)命令如圖5批注所示：

步驟③：畫出凸九邊形并求其面積

復(fù)制J13：J16，O13：O17的內(nèi)容，分別粘貼（注意粘貼選項(xiàng)為值）到A22、A26中即可得到凸九邊形9個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较虻囊粋€(gè)完整排序P1，P6，P4，P5，P7，P9，P3，P2，P8；然后在A31再輸入P1，匹配頂點(diǎn)坐標(biāo)方法類似前面，命令見圖6批注。選取數(shù)據(jù)區(qū)域B22：C31，然后單擊【插入】/【散點(diǎn)圖】/【直線和帶數(shù)據(jù)標(biāo)記的散點(diǎn)圖】，即可畫出凸九邊形。在D23中輸入“=B22*C23-B23*C22”，按下Enter鍵再向下填充至D31，然后在D32中鍵入“=1/2*SUM（D23：D31）”，即可算出凸九邊形的面積為121.5（參見定理1公式（2））。以上操作結(jié)果如圖6所示。

4 討論

上述計(jì)算凸九邊形的方法和步驟具有一般性，對(duì)任意凸n邊形面積的計(jì)算只需調(diào)整一下n個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)所在的單元格區(qū)域即可，操作起來(lái)是比較方便的。不管n的大小，只要保證凸多邊形的頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺判蚣纯桑聪日页鰴M坐標(biāo)最小和最大的兩點(diǎn)來(lái)確定直線l，然后分別查找在直線l下方和上方的點(diǎn)，分別按逆時(shí)針?lè)较蚺判蚝笤俸喜橐唤M，得到凸n邊形頂點(diǎn)的一個(gè)完整的逆時(shí)針排序。最后根據(jù)定理1仿照?qǐng)D6的操作求出凸多邊形面積。注意步驟①②只需修改函數(shù)的使用范圍，步驟③還需調(diào)整放置區(qū)域。

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