析理思理悟理
——《長(zhǎng)方形的面積》教學(xué)與思考

羅鳴亮

在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，存在著大量的運(yùn)算法則、定律、性質(zhì)、公式等，這些數(shù)學(xué)規(guī)則是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分。作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，對(duì)所教的最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)，必須從數(shù)學(xué)的視角切實(shí)知道它是什么，真正明白其為什么是這樣，以明確其規(guī)定的合理性和必要性?！伴L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”這個(gè)公式，許多學(xué)生在生活中已經(jīng)有所感知，大家覺(jué)得就是一個(gè)規(guī)定，是天經(jīng)地義的事。長(zhǎng)方形的面積為什么等于“長(zhǎng)×寬”呢？在這個(gè)理所當(dāng)然的規(guī)定后面，到底蘊(yùn)含著什么樣的道理？這個(gè)道理是否被學(xué)生所理解呢？如何才能被學(xué)生真正理解呢？帶著這個(gè)思考，我做了如下分析：

析理：長(zhǎng)方形面積為什么可以用“長(zhǎng)×寬”來(lái)計(jì)算

面積作為一種量是能夠計(jì)量的，面積的計(jì)量方法與長(zhǎng)度的計(jì)量方法是一致的，都是用相應(yīng)的面積單位去度量，從而得到度量結(jié)果。但由于直接計(jì)量的方法在度量面積操作層面存在許多的不方便，因此人們需要“先計(jì)量與被測(cè)量的量相關(guān)的其他的量，再通過(guò)一定的運(yùn)算得出被測(cè)量的量的大小”。長(zhǎng)方形面積公式就是采用間接計(jì)量的辦法，先用選擇的單位長(zhǎng)度去量得長(zhǎng)、寬的長(zhǎng)度，再把其相乘，從而得出該圖形的面積。比如，長(zhǎng)3厘米，那么對(duì)應(yīng)的就能擺出3個(gè)1平方厘米的正方形，寬2厘米指的就是能擺2行，2×3求的就是有6個(gè)1平方厘米的正方形。這一過(guò)程，就是間接度量長(zhǎng)、寬的長(zhǎng)度，通過(guò)空間推理，將一維的線段長(zhǎng)度與二維的單位面積個(gè)數(shù)建立量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而得出長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法。

思理：學(xué)生緣何不理解公式

教學(xué)《長(zhǎng)方形的面積》一課，許多教師都圍繞著“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”這一公式，借助動(dòng)手操作、觀察表格等開展教學(xué)活動(dòng)，可課上到后來(lái)，學(xué)生依然存在困惑：“為什么長(zhǎng)是長(zhǎng)度，寬也是長(zhǎng)度，怎么它們一相乘，就變成了面積了呢？”究其原因，我們發(fā)現(xiàn)，由于小學(xué)生的思維尚處于簡(jiǎn)單的抽象思維過(guò)程，從邊的長(zhǎng)度到單位面積的格子數(shù)，這一維到二維的轉(zhuǎn)化過(guò)程，是通過(guò)空間推理得來(lái)的，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)跨越性的思維，其理解存在一定的難度。再者，用表格歸納公式有其好處，能讓學(xué)生很快從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)面積與長(zhǎng)、寬的關(guān)系，但是，它又會(huì)讓學(xué)生停留在對(duì)數(shù)據(jù)的表面分析，過(guò)多關(guān)注的是數(shù)與數(shù)（長(zhǎng)、寬、面積）之間的關(guān)系，而忽視了對(duì)每個(gè)數(shù)字所蘊(yùn)含的實(shí)際含義進(jìn)行深入理解。

悟理：道理在思辨中頓悟

長(zhǎng)方形的面積本質(zhì)在于度量，其面積指的是所要度量的長(zhǎng)方形里含有多少個(gè)這樣的面積單位。為此，本課教學(xué)應(yīng)從面積的本質(zhì)入手，圍繞“面積單位和面積的關(guān)系”“行、列格子數(shù)和面積的關(guān)系”“長(zhǎng)、寬與行、列的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深層思考，逐漸頓悟長(zhǎng)方形面積公式的由來(lái)，從而獲得對(duì)知識(shí)本質(zhì)內(nèi)涵的理解。

根據(jù)這一思考，筆者在教學(xué)中做了如下嘗試：

一、復(fù)習(xí)引入，喚醒已有認(rèn)知

師：羅老師從福建帶來(lái)了一個(gè)信封，里面藏著圖形。猜對(duì)了，就是你的禮物。第一個(gè)圖形，它的面積是1平方分米，這個(gè)圖形是？

生：正方形。

師：（出示正方形）猜對(duì)了，送給你！這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是?

生：1分米。

師：很棒！第二個(gè)圖形，它的面積是3平方分米，它是？

生：它是長(zhǎng)方形。

師：你是怎么想的？

生：3平方分米，3個(gè)正方形拼在一起可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：我們一起來(lái)看看她猜對(duì)了沒(méi)有。

師：這個(gè)圖形它的面積是3平方分米嗎？你是怎么看出來(lái)的？

生：這個(gè)圖形由3個(gè)面積是1平方分米的正方形組成，所以這個(gè)圖形的面積是3平方分米。

生：4平方分米。1個(gè)正方形是1平方分米，這里有4個(gè)正方形,所以就是4平方分米。

【設(shè)計(jì)意圖：從猜面積入手，讓學(xué)生尋找面積是1平方分米、3平方分米的圖形，領(lǐng)悟面積的本質(zhì)，讓其明白：求一個(gè)圖形的面積就是看這個(gè)圖形含有幾個(gè)這樣的面積單位。并通過(guò)變化面積單位的數(shù)量，從中感悟：不管是什么圖形，其面積都是由面積單位累加而得到的，感悟格子數(shù)與面積之間的聯(lián)系。】

二、循序漸進(jìn)，感悟?qū)?yīng)關(guān)系

師：接下來(lái)這個(gè)圖形，它是由6個(gè)面積是1平方分米的正方形拼成的長(zhǎng)方形，它會(huì)是什么樣子的呢？

生 1：擺 2行，每行 3個(gè)，總共擺了6個(gè)。

師：6個(gè)什么？它的面積就是？

生：6個(gè)1平方分米的正方形，面積是6平方分米。

生2：我認(rèn)為還有一種，擺1行，每行6個(gè)，一共擺了6個(gè)，面積也是6平方分米。

生3：信封小，裝不下這樣橫著的一行6個(gè)。

生2：可以斜著放。（教師及時(shí)讓學(xué)生借用1平方分米去擺。也裝不下，這個(gè)學(xué)生改選第1種）

生4：第2種，可以折起來(lái)。

師：到底誰(shuí)對(duì)呢？（老師從信封中取出，慢慢打開折成3層的長(zhǎng)方形）祝賀你！送給你！

師：接下來(lái)這個(gè)圖形，看誰(shuí)最快知道它的面積？

生：12平方分米。

師：講道理。

生：因?yàn)橛?行，每行4個(gè)，一共12個(gè)。

師：（追問(wèn)）12個(gè)什么？所以它的面積就是？（學(xué)生回答略）

師：這個(gè)圖形呢？它的面積是多少？

生：24平方分米，因?yàn)槊啃?個(gè)，有6行，一共有24個(gè)1平方分米的小正方形。（掌聲送給會(huì)講道理的小朋友?。?/p>

課件出示：

師：你那么快想出來(lái)了，猜猜為什么她還沒(méi)想出來(lái)？

生：她可能還在數(shù)，其實(shí)不用數(shù)，每行15個(gè)，有10行，乘起來(lái)就知道有150個(gè)了。

師：怎么知道每行15個(gè)？

生：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是15分米，1個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1分米，那就可以擺15個(gè)。

教師演示課件：第一行擺15個(gè)（一個(gè)一個(gè)擺）。

師：如果有30分米呢？每行可以擺幾個(gè)？你又怎么知道有10行？

生：有10分米，1個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1分米，豎著就有10個(gè)小正方形，就有10行。

教師演示課件：第一列擺10個(gè)（一個(gè)一個(gè)擺）。

師：那就說(shuō)明一共可以擺幾個(gè)？面積是多少？

【設(shè)計(jì)意圖：格子圖是面積單位個(gè)數(shù)的一個(gè)直觀有效的載體，一個(gè)格子，就代表一個(gè)面積單位。如何讓學(xué)生理解面積這一度量的本質(zhì)，讓學(xué)生領(lǐng)悟長(zhǎng)與個(gè)數(shù)、寬與行數(shù)的關(guān)系？這里從面積單位入手，借助格子圖，依次出現(xiàn)圖中有格子數(shù)的長(zhǎng)方形、圖中無(wú)格子數(shù)的長(zhǎng)方形，到最后有格有數(shù)據(jù)的長(zhǎng)方形，在這一逐步抽象變化的過(guò)程中，讓學(xué)生主動(dòng)借助格子數(shù)求面積，并通過(guò)充分“講道理”領(lǐng)悟到：長(zhǎng)方形的面積就是看每行擺幾個(gè)單位面積，有幾行，相乘的積所算出的總個(gè)數(shù)，就是這個(gè)圖形的面積。到150平方分米這個(gè)長(zhǎng)方形時(shí)，學(xué)生就會(huì)水到渠成地把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與個(gè)數(shù)、行數(shù)建立聯(lián)系，從而頓悟出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與擺的個(gè)數(shù)、寬與擺的行數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系】

三、逐步抽象，頓悟公式本質(zhì)

師：這個(gè)長(zhǎng)方形，什么提示都沒(méi)有，有辦法算出它的面積嗎？

（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方形的面積后反饋）

生：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)有5厘米，寬有 4厘米，5×4=20（平方厘米）。

師：要計(jì)算它的面積，干嘛要去量它的長(zhǎng)和寬？

生：它的長(zhǎng)是5厘米，所以用1平方厘米的小正方形可以擺5個(gè)，它的寬是4厘米，用同樣的小正方形可以擺4個(gè)。所以5×4=20，就可以擺20個(gè)小正方形，

師：20個(gè)什么樣的小正方形？

生：1平方厘米的小正方形，所以是20平方厘米。

師：羅老師家里也有一個(gè)長(zhǎng)方形，面積一樣（20平方厘米），但形狀不一樣，猜猜看，我家那個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬可能分別是——

生：長(zhǎng)是20厘米，寬是1厘米。

師：你是怎么想的？（長(zhǎng)是20厘米，寬是1厘米，面積就是20平方厘米）你怎么知道這個(gè)面積是20平方厘米？

生：擺一行，一行20個(gè)。

生：還可以長(zhǎng)是10厘米，寬是2厘米。

出示課件：

師：我家的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)有可能比20厘米還長(zhǎng)嗎？

生1：不能，20厘米已經(jīng)是極限了。

生2：能的，只要把寬改成0.5厘米，長(zhǎng)就是40厘米。（教師課件演示）

師：我家長(zhǎng)方形的長(zhǎng)有可能比40厘米還長(zhǎng)嗎？

生1：有可能，只要把寬改成小于0.5厘米，長(zhǎng)就比40厘米長(zhǎng)。

師：那我家長(zhǎng)方形的長(zhǎng)會(huì)有多長(zhǎng)？

生：長(zhǎng)可以很長(zhǎng)很長(zhǎng)，無(wú)法計(jì)算。

師：學(xué)到這里，你有什么收獲嗎？如果讓你講一句話，你會(huì)講什么？

生：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。

師：你能說(shuō)說(shuō)長(zhǎng)方形的面積等于“長(zhǎng)×寬”的道理嗎？

生：……

【設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在自主探索和說(shuō)理中頓悟：為什么長(zhǎng)方形的面積等于“長(zhǎng)×寬”的道理。史寧中教授提到：“智慧并不表現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果上，也不表現(xiàn)在思考的結(jié)果上，而是表現(xiàn)在思考的過(guò)程中?！庇捎谟辛饲懊姝h(huán)節(jié)的充分感知，學(xué)生已經(jīng)感悟到長(zhǎng)方形面積與長(zhǎng)和寬有關(guān)。此時(shí)再追問(wèn)：要計(jì)算的是長(zhǎng)方形面積，為什么去量它的長(zhǎng)和寬呢？這一問(wèn)題直逼公式的本質(zhì)，讓學(xué)生在講理中，對(duì)長(zhǎng)方形面積公式有了深刻的理解。而后又通過(guò)巧妙的變式，在猜“面積是20平方厘米的長(zhǎng)方形還可以是怎樣的形狀”過(guò)程中，進(jìn)一步感悟到長(zhǎng)、寬與面積的關(guān)系，滲透極限思想?！?/p>

四、變式拓展，深化面積模型

師：信封里還剩下一個(gè)長(zhǎng)方形，每行有4個(gè)，有2行。這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是？

生1：8平方分米。

生2：8平方厘米。

生3：可以是8平方分米，也可以是8平方厘米，單位很多，但是8這個(gè)數(shù)字是確定的。

師：（教師拿出由8個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的正方形拼成的長(zhǎng)方形）它是8平方分米嗎？是8平方厘米嗎？問(wèn)題出在哪呢？

生：?jiǎn)栴}出在它的邊長(zhǎng)，是5厘米的。

師：它的面積又是多少呢？

生：它的面積是200平方厘米。

師：同意嗎？講道理。

生：1個(gè)小正方形的面積是 5×5=25（平方厘米），這個(gè)長(zhǎng)方形有8個(gè)這樣的小正方形，所以25×8=200（平方厘米）。

【設(shè)計(jì)意圖：因?yàn)檎?jié)課圍繞著面積是1平方分米、1平方厘米等基本單位面積展開，學(xué)生已形成思維定勢(shì)。課的最后，出示一個(gè)不是基本面積單位的正方形引發(fā)沖突，促進(jìn)學(xué)生對(duì)面積概念進(jìn)一步深化，讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用長(zhǎng)方形面積公式解決問(wèn)題，把學(xué)生的思維帶往更深更遠(yuǎn)處……】