壓力輸水管道管徑方程求解法

陳 居 乾

(甘肅省蘭州市就業(yè)和人才服務(wù)局, 甘肅 蘭州 730000)

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壓力輸水管道管徑方程求解法

陳 居 乾

(甘肅省蘭州市就業(yè)和人才服務(wù)局, 甘肅 蘭州 730000)

在各類壓力輸水工程設(shè)計(jì)實(shí)踐中，對(duì)于倒虹吸管及一般壓力輸水管道的管徑確定，通常依據(jù)復(fù)雜多變因素，采用試算法計(jì)算選擇，由于可變因素較多，計(jì)算選擇相對(duì)繁瑣，且工作量較大。本文依據(jù)壓力管流水力學(xué)計(jì)算理論，通過分析與方程推導(dǎo)，導(dǎo)出倒虹吸及一般壓力輸水管道管徑，以及直接計(jì)算上下游水頭與水位差的方程求解法，并分析匯總求解方法及其步驟，計(jì)算簡(jiǎn)便快捷。同時(shí)，分別列舉工程實(shí)例計(jì)算予以明確，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，可為各類壓力輸水工程實(shí)踐提供參考。

倒虹吸管；壓力輸水管道；管徑；水頭與水位差；方程求解法

0 前 言

在各類調(diào)水、引水及供水等水利工程中，為降低水量損失、減少工程占地、有效保護(hù)水質(zhì)、確保供水壓力水頭，以及考慮輸水線路布置靈活等需要，一般多采用壓力管道進(jìn)行輸水。在壓力輸水水工建筑物不同類型中，倒虹吸為常見與重要的輸水建筑物，也是典型的跨溝與穿越地勢(shì)低洼地段且能保證供水水頭的有壓輸水水工建筑物。通常在工程設(shè)計(jì)實(shí)踐中，對(duì)于倒虹吸管及一般壓力輸水管道的設(shè)計(jì)計(jì)算，其流量系數(shù)μ與管徑d相關(guān)聯(lián)，一般在確定管徑時(shí)常依據(jù)運(yùn)行水頭壓力、壓坡線、水頭損失量、管材價(jià)格、經(jīng)濟(jì)流速，以及運(yùn)輸與安裝施工等復(fù)雜多變因素，采用試算法計(jì)算選擇，由于可變因素較多，計(jì)算選擇相對(duì)繁瑣，且工作量較大。依據(jù)壓力管流水力學(xué)計(jì)算理論，通過分析與方程推導(dǎo)，導(dǎo)出倒虹吸管徑及直接計(jì)算運(yùn)行工作水頭的方程求解法，并分析匯總管徑方程求解方法及其步驟，管徑計(jì)算選擇簡(jiǎn)便快捷，工作量大為降低。同時(shí)依據(jù)倒虹吸管徑方程，可延伸應(yīng)用，進(jìn)而得出一般壓力輸水管道不同出流工況的管徑，以及直接計(jì)算上下游進(jìn)出口水位差與水頭的方程。并分別列舉不同類型工程實(shí)例進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算，進(jìn)一步明確管徑方程求解方法及其步驟，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確。

1 倒虹吸管管徑方程推導(dǎo)

倒虹吸管水工壓力輸水建筑物工程一般由進(jìn)出口上下游水流控制閘室與漸變段、以及中段壓力輸水管道等組成，其典型布置見圖1。

圖1 倒虹吸管典型布置示意

從圖中可知水面總落差ΔH為：

ΔH=ΔH1+ΔH2+ΔH3

(1)

(2)

(3)

(4)

式中 ΔH1——上游進(jìn)口閘室水頭,m；

ΔH2——進(jìn)出口之間水頭損失量,m；

ΔH3——出口閘室之后漸變段水面回升量,m；

v1——上游渠道斷面流速,m/s；

v2——進(jìn)口上游漸變渠段末端斷面流速,m/s；

v——壓力輸水管道出口斷面流速,m/s；

v3——下游渠道斷面流速,m/s；

ζ1——進(jìn)口上游漸變渠段局部水頭損失系數(shù)；

ζi——壓力輸水管道某一轉(zhuǎn)彎點(diǎn)等軸線變化處局部水頭損失系數(shù)；

ζ2——出口下游漸變渠段局部水頭損失系數(shù)；

λ——壓力輸水管道沿程水頭損失系數(shù)；

L——壓力輸水管道管長(zhǎng),m；

d——壓力輸水管道凈管徑,m；

g——重力加速度，取9.81m/s2。

由(3)式及Q=wv可得：

(5)

(6)

(7)

式中Q——輸水流量,m3/s；

μ——流量系數(shù)；

w——壓力輸水管道凈斷面面積,m2。

由(1)、(2)、(4)式得：

(8)

n——壓力輸水管道水力糙率；

R——壓力輸水管道凈斷面水力半徑,m。

由(5)、(6)、(8)式可歸納分析計(jì)算得：

(9)

為簡(jiǎn)化繁瑣計(jì)算式，令：

則(9)式可簡(jiǎn)化為：

x4-Ax-B=0

(10)

由此，(10)式即為倒虹吸管管徑的通用標(biāo)準(zhǔn)方程式，可依據(jù)倒虹吸管進(jìn)出口布置及其型式與結(jié)構(gòu)的不同，分別歸納分析其特定不同結(jié)構(gòu)與布置型式的上下游水位總落差ΔH(運(yùn)行工作水頭)，以及關(guān)鍵參數(shù)A與B的計(jì)算確定方程式。

1.1 進(jìn)出口設(shè)置漸變段

當(dāng)?shù)购缥苓M(jìn)出口設(shè)置漸變段，且上下游渠道流量與斷面流速相等或近似相同，即v1=v3時(shí)，上下游渠道水位總落差ΔH(運(yùn)行工作水頭)(9)式則為：

(11)

由此可得：

(11-1)

(11-2)

1.2 進(jìn)出口不設(shè)漸變段

當(dāng)?shù)购缥苓M(jìn)出口不設(shè)置漸變段，且進(jìn)出口上下游漸變渠段局部水頭損失系數(shù)，以及上下游渠道流量與斷面流速相等或近似相同，即ζ1=ζ2=0、v1=v2=v3時(shí)，上下游渠道水位總落差ΔH(運(yùn)行工作水頭)(9)式則為：

(12)

由此可得：

A=0.082 7∑ζiQ2ΔH-1

(12-1)

B=10.293 5Q2n2LΔH-1

(12-2)

2 一般壓力輸水管道管徑方程

當(dāng)?shù)购缥苓M(jìn)出口不設(shè)置漸變段，出口自由出流或淹沒出流時(shí)，即變?yōu)樽杂沙隽骰蜓蜎]出流的一般壓力輸水管道，可由倒虹吸管管徑方程得出一般壓力輸水管道的管徑方程，仍為x4-Ax-B=0?？梢罁?jù)壓力輸水管道出口不同的出流工況，分別歸納分析其特定工況的壓力水頭H與上下游水位差Z，以及關(guān)鍵參數(shù)A與B的計(jì)算確定方程式。

2.1 自由出流工況

當(dāng)一般壓力輸水管道出口為自由出流運(yùn)行工況，且為等管徑，不考慮水流行進(jìn)流速或行進(jìn)流速微小可忽略不計(jì)，即行進(jìn)流速v0=0時(shí)，則可依據(jù)(9)式得出壓力水頭H為：

(13)

由此可得：

A=0.082 7(∑ζi+1)Q2H-1

(13-1)

B=10.293 5Q2n2LH-1

(13-2)

2.2 淹沒出流工況

當(dāng)一般壓力輸水管道出口為淹沒出流運(yùn)行工況，并為等管徑，不考慮水流行進(jìn)流速或行進(jìn)流速微小可忽略不計(jì)，即行進(jìn)流速v0=0，且上下游進(jìn)出口渠段水流流速相等或近似相同，即v1=v2=v3時(shí)，則可依據(jù)(9)式得出上下游水位差Z為：

(14)

由此可得：A=0.082 7∑ζiQ2Z-1

(14-1)

B=10.293 5Q2n2LZ-1

(14-2)

2.3 不同管徑方程分析比較

對(duì)比(13)與(14)式，公式型式雖不同，但量值相等，對(duì)于水頭損失系數(shù)總量，自由出流工況相對(duì)淹沒出流工況，增加出口水頭損失系數(shù)1.0；對(duì)比(12)與(14)式，公式型式雖相同，但量值不相等，(12)式中的水頭損失系數(shù)總量并無(wú)出口淹沒水頭損失系數(shù)1.0，由此可知，一般壓力輸水管道為倒虹吸管的一種特例。

3 管徑方程求解方法及其步驟

倒虹吸管與一般壓力輸水管道管徑通用標(biāo)準(zhǔn)方程x4-Ax-B=0為一元四次方程，其求解方法相同。

令：

y=f(x)=x4-Ax-B=0

(15)

在求出方程(15)的實(shí)根后，即可求出倒虹吸管或一般壓力輸水管道的凈管徑d。方程f(x)=0的自由變量即為實(shí)根，也即為y=f(x)圖形與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可采用牛頓法求解方程，其計(jì)算求解方法及其步驟一般分為以下5個(gè)環(huán)節(jié)程序：

(1)依據(jù)倒虹吸管與一般壓力輸水管道的運(yùn)行工況、輸水流量、上下游水頭落差、工程布置、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、水頭損失系數(shù)、輸水水力學(xué)計(jì)算特性參數(shù)與成果，以及運(yùn)行或假定條件參數(shù)，求出相應(yīng)關(guān)鍵參數(shù)A、B值，然后代入方程(15)，得到相應(yīng)管徑方程式。

(2)求解滿足f(A)·f(B)<0的封閉區(qū)間[A,B]值。

(3)求解f(x)的導(dǎo)數(shù)，得方程式：f′(x)=4x3-A、f″(x)=12x2>0。

(4)依據(jù)封閉區(qū)間[A,B]，重復(fù)采用牛頓公式求解方程中的x值，分別可得以下兩式：

(16)

(17)

4 工程實(shí)例計(jì)算分析

4.1 工程例1

某引水工程渠道與河流交叉，采用預(yù)制鋼筋混凝土倒虹吸管輸水建筑物跨越，引水流量Q=3.2m3/s、進(jìn)出口流速v1=v3=0.75m/s、上下游渠道水位總落差ΔH=0.58m；進(jìn)出口設(shè)置漸變段，水頭損失系數(shù)分別為ζ1=0.10、ζ2=0.28；進(jìn)口漸變段末端斷面流速v2=0.96m/s；管道長(zhǎng)度L=182.40m；進(jìn)口攔污柵水頭損失系數(shù)ζ3=0.018、閘門門槽水頭損失系數(shù)ζ4=0.05、進(jìn)口水頭損失系數(shù)ζ5=0.26、管道軸線兩處轉(zhuǎn)彎水頭損失系數(shù)ζ6=ζ7=0.22；管道水力糙率n=0.013 5，要求計(jì)算確定倒虹吸管凈管徑d。

倒虹吸管管徑d計(jì)算求解確定過程分為以下5個(gè)步驟：

(1)按照(11)及(11-1～2)式，可依據(jù)已知條件參數(shù)求得A=1.514、B=5.977。由此，倒虹吸管管徑方程(10)式為x4-1.514x-5.977=0，(15)式相應(yīng)為y=f(x)=x4-1.514x-5.977。

(2)對(duì)于(15)式，當(dāng)取x=0時(shí)，f(0)=-5.977<0；經(jīng)重復(fù)x不同參數(shù)值計(jì)算，可滿足f(x)>0的最小下限x參數(shù)值為x=1.711，此時(shí)f(1.711)=0.002 9>0，由此，可得封閉區(qū)間[A,B]值為x∈[0,1.711]。

(3)相應(yīng)可得f′(x)=4x3-1.514、f″(x)=12x2>0。

因此，根據(jù)管徑方程式，可求解得f(1.710 8)=0.000 778≈0，故取x=1.710 8。

(5)計(jì)算d=1.710 83/4=1.495 9m。

最終計(jì)算確定倒虹吸管管道凈管徑為d=1.495 9m，工程設(shè)計(jì)凈管徑取d=1.50m。

4.2 工程例2

某供水工程供水水頭H=5.2m，壓力輸水管道出口為自由出流，供水流量Q=1.2m3/s，輸水管道為鋼管，管道長(zhǎng)度L=856.6m，管道進(jìn)口水頭損失系數(shù)ζ1=0.45，管道軸線五處轉(zhuǎn)彎水頭損失系數(shù)分別為ζ2=ζ3=0.22、ζ4=ζ5=ζ6=0.25，管道水力糙率n=0.012，要求計(jì)算確定壓力輸水管道凈管徑d。

壓力輸水管道管徑d計(jì)算求解確定過程分為以下5個(gè)步驟：

(1)按照(13)及(13-1～2)式，可依據(jù)已知條件參數(shù)求得A=0.061、B=0.352。由此，壓力輸水管道管徑方程(10)式為x4-0.061x-0.352=0，(15)式相應(yīng)為y=f(x)=x4-0.061x-0.352。

(2)對(duì)于(15)式，當(dāng)取x=0時(shí)，f(0)=-0.352<0；經(jīng)重復(fù)x不同參數(shù)值計(jì)算，可滿足f(x)>0的最小下限x參數(shù)值為x=0.796，此時(shí)f(0.796)=0.000 91>0，由此，可得封閉區(qū)間[A,B]值為x∈[0,0.796]。

(3)相應(yīng)可得f′(x)=4x3-0.061、f″(x)=12x2>0。

因此，根據(jù)管徑方程式，可求解得f(0.795 5)=0.000 064≈0，故取x=0.795 5。

(5)計(jì)算d=0.795 53/4=0.842 3m。

最終計(jì)算確定壓力輸水管道凈管徑為d=0.842 3m，工程設(shè)計(jì)凈管徑取d=0.85m。

若管徑d與水頭H可靈活選擇確定，則當(dāng)選擇確定凈管徑為d=0.842 3m時(shí)，可逆向由(13)式計(jì)算得出所需供水水頭為H=5.2m。

5 結(jié) 語(yǔ)

在各類調(diào)水、引水及供水等水利工程中，為降低水量損失、減少工程占地、有效保護(hù)水質(zhì)、確保供水壓力水頭，以及考慮輸水線路布置靈活等需要，一般多采用壓力管道輸水。設(shè)計(jì)實(shí)踐實(shí)際工作中，一般依據(jù)運(yùn)行水頭壓力、壓坡線、水頭損失量、管材價(jià)格、經(jīng)濟(jì)流速，以及運(yùn)輸與安裝施工等復(fù)雜多變因素，采用試算法計(jì)算確定管徑d，由于可變因素較多，計(jì)算選擇相對(duì)繁瑣，且工作量較大。本文依據(jù)壓力管流水力學(xué)計(jì)算理論，通過分析與方程推導(dǎo)，導(dǎo)出倒虹吸管徑d及直接計(jì)算運(yùn)行工作水頭ΔH的通用標(biāo)準(zhǔn)方程x4-Ax-B=0求解法，并依據(jù)倒虹吸管進(jìn)出口布置及其型式與結(jié)構(gòu)的不同，分別歸納分析進(jìn)出口設(shè)置與不設(shè)置漸變段的運(yùn)行工作水頭ΔH，以及關(guān)鍵參數(shù)A與B的計(jì)算確定方程式。進(jìn)而得出倒虹吸管的特例，一般壓力輸水管道自由出流與淹沒出流兩種不同工況的管徑d，以及直接計(jì)算壓力水頭H與上下游水位差Z，以及關(guān)鍵參數(shù)A與B的計(jì)算確定方程式，并進(jìn)行分析比較。提出管徑d方程求解方法及其步驟，計(jì)算選擇簡(jiǎn)便快捷。同時(shí)，分別列舉不同類型工程實(shí)例計(jì)算，進(jìn)一步明確管徑d方程求解方法及其步驟，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，可為各類壓力輸水工程實(shí)踐提供參考。

本文承蒙甘肅省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院副總工程師陳曉東審閱和指導(dǎo)，特此致謝！

2016-09-19

陳居乾(1992-),男，甘肅會(huì)寧縣人，從事水力工程設(shè)計(jì)工作。

TU991.36

B

1003-9805(2016)04-0029-03