外加橫向激勵(lì)對固-鉸支承管道流固耦合振動(dòng)的影響

朱衛(wèi)平,周楚健,狄勤豐

(上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上?！?00072)

外加橫向激勵(lì)對固-鉸支承管道流固耦合振動(dòng)的影響

朱衛(wèi)平,周楚健,狄勤豐

(上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海200072)

首先,由Hamilton原理推導(dǎo)外側(cè)施加橫向激勵(lì)的輸液管道流固耦合彎曲振動(dòng)微分方程,針對固-鉸支承管道提出一種新的振型函數(shù),利用Galerkin法求得前五階固有頻率表達(dá)式,并且通過對比驗(yàn)證了新振型函數(shù)的正確性.其次,在一階截?cái)嗲闆r下求得這類管道的撓度、彎矩和剪力表達(dá)式,討論了流速、液壓和外激頻率變化對固-鉸支承管道中點(diǎn)撓度和最大彎矩的影響.結(jié)果表明,由新振型函數(shù)確定的前五階固有頻率不僅計(jì)算簡便而且具有很高的精度,同時(shí)驗(yàn)證了輸液管道固有頻率對液壓和流速的依賴性,也證實(shí)了對于流固耦合問題,結(jié)構(gòu)發(fā)生共振與外激頻率接近結(jié)構(gòu)固有頻率有關(guān)同樣適用.

流固耦合；固有頻率；受迫振動(dòng)；Galerkin法；固-鉸支承管道

管道普遍存在于水利水電、石油化工、航空航天、海洋工程、城市供氣、供水排水等領(lǐng)域,被稱為是除公路、鐵路、水運(yùn)和航空以外的第五大運(yùn)輸方式.管道大多存在流固耦合振動(dòng)問題,例如在日常生活中打開自來水龍頭時(shí)聽到管路隆隆的振動(dòng)聲,給花園澆水時(shí)軟管的扭抖等都與水管的流固耦合效應(yīng)有關(guān).隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步,現(xiàn)代管道結(jié)構(gòu)朝著長距離、高壓、高流速方向發(fā)展,對管道的設(shè)計(jì)要求愈來愈高,控制不好會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的噪聲污染和管道破裂等災(zāi)難性事故.因此,人們必須比以往更加重視這一問題.

輸液管道流固耦合振動(dòng)問題的基本模型雖然經(jīng)過簡化,但卻不能忽略流體和結(jié)構(gòu)之間的相互作用而單獨(dú)對流體和管道進(jìn)行討論.管道在流體載荷的作用下會(huì)發(fā)生變形和運(yùn)動(dòng),而管道的變形和運(yùn)動(dòng)又會(huì)反過來影響管道內(nèi)流場的分布,繼而改變流體載荷的大小和分布,如此往復(fù),便形成了流體和管道的耦合振動(dòng).自20世紀(jì)50年代以來,國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對管道流固耦合振動(dòng)問題進(jìn)行了大量的研究.最初研究主要集中在典型約束條件下的線性振動(dòng)問題[1-2],而近二十多年,研究更多關(guān)注的是各種非線性振動(dòng)問題[3-6],以及熱效應(yīng)[7]、含裂紋的管[8]、有分枝的管[9]等.利用有限元軟件可以研究更復(fù)雜的流動(dòng)作用[10].以往的研究較少涉及受外加激勵(lì)作用的管道流固耦合振動(dòng)問題.

本工作研究固-鉸支承輸液管道施加橫向周期激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)問題,從Hamilton原理導(dǎo)出的線性流固耦合彎曲振動(dòng)微分方程入手,以多項(xiàng)式和三角函數(shù)近似描述振型函數(shù),采用Galerkin法,給出固有頻率、撓度、彎矩和剪力計(jì)算公式,并結(jié)合算例進(jìn)行對比和討論.

1　基本方程

固-鉸支承輸液管道模型如圖1所示,該模型服從Euler梁假定,流體沿橫截面取平均,根據(jù)Hamilton原理,有

式中,T為管道和液體的動(dòng)能,V為管道的彈性勢能,δWnc為非保守力做的功.T,V,δWnc的具體表達(dá)式如下：

式中,f為梁撓度,E為管材彈性模量,I為管道橫截面慣性矩,Ai為管道內(nèi)液體橫截面面積, m為單位長度管道的質(zhì)量,m0為單位長度液體的質(zhì)量,P為液體壓強(qiáng),v為液體流速,Fk為作用在x軸坐標(biāo)為ck的集中力.若記a=(m0v2+PAi)/EI,b=(m+m0)/EI,k=2m0v/EI,則按變分原理化簡,由式(1)可得如下形式的微分方程：式中,帶系數(shù)k的項(xiàng)為哥氏慣性力,是流體相對于管道具有線速度v,而管道橫截面又繞自身中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果.式(2)即為帶橫向外激勵(lì)的輸液管道流固耦合彎曲振動(dòng)微分方程,對于小轉(zhuǎn)動(dòng)梁,可略去哥氏慣性力k,以便采用分離變量法求解.

圖1　固-鉸支承輸液管道示意圖Fig.1　Schematic diagram of clamped-hinged pipeline

2　近似理論解

2.1自由振動(dòng)固有頻率

根據(jù)分離變量法,將f(x,t)=Y(x)T(t)代入式(2),令Fk=0,并略去哥氏慣性力,整理得

對于圖1所示的固-鉸支承結(jié)構(gòu),假設(shè)

式中,ai為待定常數(shù),Ni為振型函數(shù).可以看出,式(6)滿足固-鉸支承梁兩端全部邊界條件：Y(0)=0,Y＇＇(0)=0,Y(l)=0和Y＇＇(l)=0.這類問題的振型函數(shù)一般只取式(6)中的三角函數(shù)部分,這就導(dǎo)致固定端的剪力恒為0,即Y＇＇＇(0)≡0.若以完整的式(5)作為振型函數(shù),則能克服固定端的剪力恒為0的缺點(diǎn).若要計(jì)算結(jié)構(gòu)的前五階固有頻率,可對Y(x)進(jìn)行五階截?cái)?即

將式(7)代入式(5),然后進(jìn)行積分,考慮到δai的任意性,必有

式中,hij(i,j=1,2,…,5)為已知參數(shù)a、管長l和特征參數(shù)c的表達(dá)式.齊次方程組(8)有非零解的條件是|hij|=0,展開此行列式可得

對任一有物理意義的固-鉸支承管道,解一元五次代數(shù)方程(9)可以得到5個(gè)正實(shí)根ci(i= 1,2,…,5).將5個(gè)正實(shí)根分別代入式(4),則可求得固-鉸支承管道的前五階固有頻率

為驗(yàn)證本方法的正確性,考慮v=0,P=0的情況,此時(shí)模型退化為普通固-鉸支承梁的自由振動(dòng)問題.由于此種情況下無液壓、無流速,梁的彎曲剛度為管道彎曲剛度,梁的質(zhì)量為管材質(zhì)量與液體質(zhì)量之和,則前五階固有頻率的準(zhǔn)確值[11]為

取固-鉸支承管道(垂直懸掛)長度l=9 m,外徑D=89 mm,內(nèi)徑d=76 mm,彈性模量E= 2×1011Pa,泊松比μ=0.3,管材密度為7800 kg/m3,流體密度為1 000 kg/m3,然后分別按式(10)和(11)計(jì)算,結(jié)果如表1所示.

表1　自由振動(dòng)情況下普通固-鉸支承梁固有頻率的對比Table 1　Comparisons of natural frequencies of free vibrating champed-hinged beam

從表1可知,第一階固有頻率下得出的解與準(zhǔn)確解幾乎重合,其余情況下的最大相對誤差約為2%.當(dāng)流速v為0,50,70 m/s,液壓P為0～10 MPa時(shí),固-鉸支承梁結(jié)構(gòu)前四階固有頻率的變化如圖2所示.可以看出,各階固有頻率均隨流速和壓力的增大而減小.

圖2　不同流速下固有頻率隨液壓的變化Fig.2　Natural frequencies varying with liquid pressure at different flow velocities

流固耦合振動(dòng)問題最顯著的特征就是結(jié)構(gòu)固有頻率依賴于流體壓力和流速.由于流固耦合問題求解析解的復(fù)雜性,在已有報(bào)道中較難找到便于工程應(yīng)用的固-鉸支承梁流固耦合固有頻率算式,而本工作給出的式(9)和(10)則為實(shí)際需要提供了便利.

2.2強(qiáng)迫振動(dòng)

為簡單起見,設(shè)激勵(lì)

式中,F0為激勵(lì)的幅值,?為激勵(lì)頻率.

固-鉸支承管道的撓度

式中,

式(14)為式(6)的一階截?cái)?將式(12)～(14)代入式(2),同時(shí)略去哥氏慣性力,并對式(14)變分(δY1(x)=N1(x)δa1),再利用Galerkin法,可得

或

對式(16)進(jìn)行積分,整理后可得

式中,ω1為一階固有頻率,

其中分子和分母分別代表系統(tǒng)的廣義剛度和廣義質(zhì)量；Q1為廣義力,

需要注意的是,式(18)表示的ω1是直接取一階振型截?cái)嗟慕Y(jié)果,其精度比按式(10)取前五階振型截?cái)嗟玫降摩?略低,但二者的物理意義相同.對式(18)進(jìn)行積分,可得

當(dāng)不計(jì)流速和液壓影響時(shí),a=0,式(20)退化為式(11)中i=1的情況,二者相對誤差約為2%.當(dāng)流速v＞0時(shí),要使式(20)中的ω1為實(shí)數(shù),液壓必須滿足：

當(dāng)流速v=0時(shí),由式(21)可求得極限壓力：

當(dāng)壓力P=0時(shí),由式(21)可求得極限流速：

在任何情況下,液壓均不能超過管道破裂強(qiáng)度.關(guān)于管道破裂強(qiáng)度有多種經(jīng)驗(yàn)公式,如美國石油協(xié)會(huì)(American Petroleum Institute,API)標(biāo)準(zhǔn)要求

式中,σys為管材屈服極限,D為管道外徑,t為管道壁厚.如按計(jì)算自由振動(dòng)固有頻率(見表1)時(shí)所取的管道尺寸,再取σys=550 MPa,則由式(21)可得P≤70 MPa.根據(jù)式(22)和(23)可求得液壓和流速的極限分別為15.7 MPa和125.2 m/s,由此可以初步估算圖2所示情況下流速和液壓所容許的變化范圍.

方程(17)對應(yīng)的零初始條件解為

將式(25)代入式(13),并利用式(14)和(19),可求得固-鉸支承管道的撓度為

3　算例

以圖1所示的結(jié)構(gòu)為例(垂直懸掛放置),設(shè)激勵(lì)Fk=F0sin(?t)作用點(diǎn)的x坐標(biāo)ck= 0.5l,F0滿足5F0l3/(768EI)=0.01,即當(dāng)管道處于靜止?fàn)顟B(tài)且內(nèi)部無流體時(shí),F0作用在跨度中點(diǎn)能使其作用點(diǎn)產(chǎn)生0.01 m的撓度,其余參數(shù)與計(jì)算固-鉸支承梁自由振動(dòng)固有頻率(見表1)時(shí)相同.

圖3　不同液壓和流速下固-鉸支承管道中點(diǎn)撓度時(shí)程曲線Fig.3　Middle point deflections varying with time under different flow rates and pressures in clamped-hinged pipeline

圖4為激勵(lì)頻率?=7π rad/s,液壓P為1.5,3.0,4.5 MPa時(shí),在0～30 s內(nèi)固-鉸支承管道固定端的最大彎矩隨流速的變化.由于流速能夠改變系統(tǒng)的固有頻率,隨著流速的增加,固有頻率可能會(huì)接近或遠(yuǎn)離激勵(lì)頻率,從而導(dǎo)致共振的發(fā)生或平息.由圖4可以看出,峰值所在區(qū)間為發(fā)生共振時(shí)的流速區(qū)間,這一結(jié)果可以解釋為何有的自來水龍頭當(dāng)開到某一位置(某一流速)時(shí)會(huì)聽到強(qiáng)烈的振動(dòng)聲.同時(shí)應(yīng)注意,單純高壓并不意味著會(huì)產(chǎn)生較大的振幅.圖4中, P=4.5 MPa對應(yīng)的振動(dòng)彎矩最小,這是因?yàn)楣舱竦陌l(fā)生本質(zhì)上取決于流固耦合共同產(chǎn)生的固有頻率與激勵(lì)頻率是否接近.

圖4　不同液壓下固-鉸支承管道最大彎矩隨流速的變化(0～30 s)Fig.4　Maximum bending moments varying with flow rate under different pressures in clamped-hinged pipeline(0～30 s)

圖5為0～30 s內(nèi)不同液壓和流速下固-鉸支承管道固定端發(fā)生的最大彎矩隨激勵(lì)頻率的變化.P=0MPa和v=0m/s,P=5.0 MPa和v=50 m/s,P=10 MPa,v=70 m/s 3種情況對應(yīng)的一階固有頻率ω1分別為24.80,17.93和5.65 rad/s.盡管激勵(lì)幅值不變,但當(dāng)激勵(lì)頻率與特定工況的一階固有頻率接近時(shí),彎矩將變得非常大(不考慮阻尼時(shí)為無窮大).結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)特別注意這種情況.

圖5　液壓和流速不同時(shí)固-鉸支承管道最大彎矩隨激勵(lì)頻率的變化(0～30 s)Fig.5　Maximum bending moments varying with stimulating frequency under different flow rates and pressures in clamped-hinged pipeline(0～30 s)

4　結(jié)束語

本工作從工程實(shí)用的角度分析了固-鉸支承輸液管道彎曲振動(dòng)的固有頻率與液壓和流速的關(guān)系，以及管道撓度和彎矩在外加激勵(lì)作用下的響應(yīng).由Hamilton原理推導(dǎo)了施加橫向集中激勵(lì)作用的細(xì)長管道流固耦合彎曲振動(dòng)微分方程,針對固-鉸支承管道提出一種新的振型函數(shù),結(jié)合Galerkin法獲得五階固有頻率近似解以及一階截?cái)嗟膹?qiáng)迫振動(dòng)解,討論了固-鉸支承輸液管道中點(diǎn)撓度、最大彎矩與液壓、流速、激勵(lì)頻率的關(guān)系.研究結(jié)果能夠幫助解釋日常生活中發(fā)生的一些流固耦合現(xiàn)象,能夠?yàn)橛嘘P(guān)工程設(shè)計(jì)提供理論支持,也為進(jìn)一步深入研究奠定了基礎(chǔ).對于大撓度管道或者管內(nèi)流速較大的情形,振動(dòng)微分方程中的科氏慣性力不能忽略,但若考慮科氏慣性力,將會(huì)增加理論分析的難度.對于輸氣管,由于氣體密度與所受壓力之間有較強(qiáng)的依賴性,需要補(bǔ)充具體(非理想)氣體的狀態(tài)方程方可利用本工作中的方法進(jìn)行求解.

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Effect of lateral stimuli on vibration of clamped-hinged pipeline with fluid-structure interaction

ZHU Weiping,ZHOU Chujian,DI Qinfeng
(Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,Shanghai University,Shanghai 200072,China)

The fluid-structure interaction vibration equation of a clamped-hinged pipeline under steady flow,liquid pressure and lateral stimulating force is derived based on the Hamilton principle.A new mode function suitable for the Galerkin method is used to solve the equation.Expressions of the first five orders of natural frequencies of the system are derived and validated.Next,deflection,bending moment,and transverse force exerted on the cross-section of the clamped-hinged pipeline are expressed with the first-order approximation of the mode function.The effects of liquid pressure,flow velocity,and stimulating frequency on the middle-point deflection,maximal bending moment throughout the clamped-hinged pipeline are discussed.The results show that the natural frequencies of the clamped-hinged pipeline are easy to calculate and with high accuracy using the method. Their values depend on the liquid pressure and flow velocity in the pipe.The phenomenon that resonance occurs when the natural frequency is close to the stimulating frequency also exists in fluid-structure interaction.

fluid-structure interaction；natural frequency；forced vibration；Galerkin method；clamped-hinged pipeline

O 322

A

1007-2861(2016)05-0597-09

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.05.023

2015-03-05

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(U1663205,51174130)；上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目(S30106)；上海市科委部分地方院校能力建設(shè)計(jì)劃重點(diǎn)資助項(xiàng)目(12160500200)

朱衛(wèi)平(1962—),男,研究員,博士生導(dǎo)師,博士,研究方向?yàn)樯锪W(xué)、振動(dòng)力學(xué). E-mail:wpzhu@shu.edu.cn