珠鏈噴泉中的動(dòng)量流和能流

F.+Herrmann

摘 要：本文通過對(duì)珠鏈噴泉的模型建構(gòu)，用動(dòng)量流和能流的概念定量地討論了這一有趣的現(xiàn)象，畫出了珠鏈中的動(dòng)量流圖和能流圖。

關(guān)鍵詞：珠鏈噴泉；對(duì)流動(dòng)量流；傳導(dǎo)動(dòng)量流；能流

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2016）11-0014-4

自從《紐約時(shí)報(bào)》上發(fā)表“珠鏈噴泉”（chain fountain）現(xiàn)象以來，它至少已成為世界各地的物理學(xué)家們餐桌上討論的話題之一[1，2]。人們不只一次地要筆者用動(dòng)量流來解釋這一現(xiàn)象。確實(shí)，珠鏈噴泉似乎注定要成為演示動(dòng)量流概念的例子。

人們會(huì)問，為什么珠鏈會(huì)上升，即為什么它不直接從容器的邊緣流出？筆者將計(jì)算在沒有能量耗散的條件下（除珠鏈撞擊地面外）噴泉的高度，如圖1中所示的h，同時(shí)也將定義一個(gè)開始時(shí)各鏈的連接處無耗散的必要條件。

為此，我們先分析其動(dòng)量流，然后再分析其能流。最后我們將討論，為了滿足無耗散的條件，開始時(shí)（或珠鏈連接處上跳時(shí)）的情況。

由于我們將多次提到珠鏈的構(gòu)成，我們將給出珠鏈連接處的設(shè)計(jì)情況，如圖2所示，每個(gè)連接由一根桿組成，在桿上固定著一個(gè)珠子。珠子攜帶著珠鏈的全部質(zhì)量，因而桿子被假定為無質(zhì)量，且可彈性地彎曲。桿與桿之間用鉸鏈連接。每個(gè)珠子在桿子上的情況基本符合珠鏈噴泉的工作原理。這一點(diǎn)將在第3節(jié)中討論。

1 動(dòng)量流

根據(jù)需要，我們只考慮動(dòng)量的豎直分量（即z分量），并規(guī)定向下為運(yùn)動(dòng)的正方向。

一支運(yùn)動(dòng)著的、處于拉伸狀態(tài)的珠鏈傳輸著動(dòng)量。其中，有兩種動(dòng)量流：對(duì)流動(dòng)量流（convective current）和傳導(dǎo)動(dòng)量流（conductive current）。

（1）對(duì)流動(dòng)量流

對(duì)流動(dòng)量流的提出基于每個(gè)珠子由于具有質(zhì)量和速度因而具有動(dòng)量這一事實(shí)。由于珠子在運(yùn)動(dòng)，所以動(dòng)量隨珠子一起流動(dòng)。

傳導(dǎo)動(dòng)量流的提出基于桿子處于拉伸狀態(tài)這一事實(shí)。這一動(dòng)量流的分量與珠鏈的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。它的強(qiáng)度等于我們通常所說的力。

我們可以認(rèn)為，珠子攜帶著對(duì)流動(dòng)量流，桿子攜帶著傳導(dǎo)動(dòng)量流。

我們設(shè)：

Fc=對(duì)流動(dòng)量流，

Fs=傳導(dǎo)動(dòng)量流[下標(biāo)“s”表示桿子（stick）]。

對(duì)流動(dòng)量流等于速度和質(zhì)量流Im的乘積：

Fc=v·Im；

質(zhì)量流可以寫為：

Im=λ·v，

式中λ是單位長度珠鏈的質(zhì)量。

這樣，對(duì)流動(dòng)量流可表示為：

Fc=v·Im=λv2。

珠鏈的每一位置具有相同的對(duì)流動(dòng)量流的絕對(duì)值。在珠鏈的豎直部分（左右兩部分）的動(dòng)量流的方向均為豎直向下，如圖3所示。在珠鏈的右部分，正的動(dòng)量向下流動(dòng)；在左部分，負(fù)的動(dòng)量向上流動(dòng)（等效于正的動(dòng)量向下流動(dòng)）。

珠鏈左右豎直部分的對(duì)流動(dòng)量流（淺色部分）相等。用淺色表示的對(duì)流動(dòng)量流向下流，用深色表示的傳導(dǎo)動(dòng)量流向上流。在流的過程中，新的動(dòng)量流通過引力場從地球流入珠鏈。

（2）傳導(dǎo)動(dòng)量流

由于桿子處于拉伸狀態(tài)，在左右兩部分的桿子中的傳導(dǎo)動(dòng)量流的z分量均向上流，如圖3所示。并且，在向上的方向上，其絕對(duì)值不斷增大，這是因?yàn)樵谙蛏系姆较蛏嫌袆?dòng)量通過引力場從地球流入珠子。每一長度l所增加的動(dòng)量流為：

FG/l=λ·g。

在珠鏈右邊的豎直段的最低端（即C點(diǎn)），傳導(dǎo)動(dòng)量流為零。在頂部（即A點(diǎn)），傳導(dǎo)動(dòng)量流為：

FG=λ·g·（h0+h）。

現(xiàn)在我們來分析珠鏈左邊的豎直段。

在U形頂部轉(zhuǎn)折處A點(diǎn)，珠鏈左右段之間沒有相互交換的z動(dòng)量流。在頂部，對(duì)流動(dòng)量流和傳導(dǎo)動(dòng)量流的z分量均為零。因此，在這一點(diǎn)沒有z動(dòng)量流流過。由于這個(gè)原因，向下流動(dòng)的對(duì)流動(dòng)量流的絕對(duì)值等于向上流動(dòng)的傳導(dǎo)動(dòng)量流的絕對(duì)值。我們來分析在珠鏈頂部（實(shí)際上在彎曲部分的下方）的傳導(dǎo)動(dòng)量流FS，A：

FS，A=FC=λv2。

在底部（即B點(diǎn)），傳導(dǎo)動(dòng)量流比A點(diǎn)的小λ·g·h。因此，我們有：

FS，B=FS，A-λ·g·h=λv2-λ·g·h。

到達(dá)B點(diǎn)的對(duì)流動(dòng)量流λv2必定流到了某處，然而，向上的傳導(dǎo)動(dòng)量流是不充足的。我們必須避免λv2向上流，但只有（λv2-λ·g·h）向上流。這里有多余的部分λ·g·h。如果沒有其他動(dòng)量流流出，這一項(xiàng)將為零，h也將為零，珠鏈就不可能發(fā)生噴泉現(xiàn)象。額外的動(dòng)量流只能流到盛珠鏈的容器中，最終流入地球（E）。珠鏈能產(chǎn)生噴泉現(xiàn)象的事實(shí)表明，這流出的動(dòng)量是存在的。我們尚不知道這動(dòng)量流FE為什么和怎樣離開珠鏈進(jìn)入地球，但我們知道它必定等于

FE=λ·g·h（1）

在頂部A處，向上的動(dòng)量是如何轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛳碌膭?dòng)量的？關(guān)于這一點(diǎn)，我們再說一句。這一過程并不剛好發(fā)生在所確定的高度，而是發(fā)生在珠鏈從豎直向水平開始彎曲的地方。

2 能流

我們可以用分解動(dòng)量流的方法來分解珠鏈中的能流。

對(duì)流動(dòng)量流伴隨著動(dòng)能一起流動(dòng)：

跟對(duì)流動(dòng)量流一樣，能流的這一分量在珠鏈各處具有相同的值。在珠鏈的左部分，它向上流，即與動(dòng)量流的方向相反；在右部分，它向下流，即與動(dòng)量流的方向相同，如圖4所示。

能量從引力場流入珠鏈的右部分。在右部分，這能流向上流；在左部分，它向下流。因而，它的一部分流入珠鏈，然后流回引力場。它的剩余部分被用來加速珠子。然后，它以動(dòng)能的形式與珠子一起流動(dòng)，最后在C處（珠子與地面撞擊處）耗散。

另外，能量通過桿子與傳導(dǎo)動(dòng)量流一起流動(dòng)。它與傳導(dǎo)動(dòng)量流之間的關(guān)系為：

PS=v·FS。

與傳導(dǎo)動(dòng)量流一樣，它在向上的方向上逐漸增大。這是由于它與引力場之間有能量交換：在右部分，能量流入珠鏈；在左部分，能量從珠鏈流出。在長度Δz的那一段珠鏈上，流向引力場或從引力場流入的能量傳輸率為：

我們來分析裝置的上半部分。其長度為Δz=h。在右邊流入珠鏈的能流為：

在左邊有相同的能流從珠鏈流出。對(duì)這兩部分能流，我們不感興趣，因?yàn)樗鼈儗?duì)總能流沒有貢獻(xiàn)，它們僅僅穿過這個(gè)系統(tǒng)。我們感興趣的是流入珠鏈右下部分的能流。它等于：

該部分能流向上流，然后沿珠鏈向左轉(zhuǎn)彎，再向下流，用于加速在容器B處的珠子。

3 耗 散

珠子的加速過程可以被看作碰撞過程。運(yùn)動(dòng)部分的珠鏈與下一個(gè)容器中的珠子相連。它好比這樣一個(gè)物體，其質(zhì)量明顯大于正在被加速的珠子的質(zhì)量。

根據(jù)珠鏈連接處不同的設(shè)計(jì)情況，此碰撞過程（至少在理論上）可以被看成是彈性程度不同（從完全非彈性碰撞到完全彈性碰撞）的碰撞。

如果它是一個(gè)完全彈性碰撞過程，所有流入的能流全部用來給珠子加速：

由此，我們得到：

v2=gh0。

因此，我們得到總的結(jié)論為：

gh0≤v2≤2gh0。

這里我們忽略了其他能量損失或耗散。

4 各種不同類型的碰撞

下面我們來分析靜止在水平地面上單獨(dú)一鏈的情況。在某一瞬間，它將受到（在前一時(shí)刻已被加速的）旁邊的一鏈所施加的向上的拉力。我們根據(jù)珠子在桿上的不同位置分幾種情況來討論。

首先，我們假定珠子在桿子的右端，如圖5中的a所示。這時(shí)，珠子的速度就是珠鏈的速度。我們知道，這情況跟大質(zhì)量物體與小質(zhì)量物體的完全非彈性碰撞相同。在這一過程中有一半能量耗散了。然而，珠鏈的各部分都是彈性的，為何這個(gè)過程是完全非彈性的？即使初始的碰撞是部分彈性的，有一半能量必定會(huì)流走，很可能由于碰撞而很快消失。結(jié)果，它必定以珠鏈的速度運(yùn)動(dòng)。這就意味著，有一半能量耗散了。

如果我們把珠子稍向運(yùn)離鉸鏈的方向移動(dòng)，其碰撞后速度將變小，能量耗散也將變小。如果把它移到桿的中點(diǎn)，如圖5中的b所示，它碰撞后的速度剛好等于珠鏈的運(yùn)動(dòng)速度，這時(shí)沒有能量耗散。如果再將它向左移動(dòng)，它碰撞后的速度將減小，碰撞又變成非彈性碰撞。當(dāng)它靠近下一個(gè)鉸鏈時(shí)，相應(yīng)的碰撞為非彈性碰撞。只有當(dāng)珠子處于桿的中間位置時(shí)，碰撞才是彈性的。

我們來看一個(gè)有趣的事實(shí)：角動(dòng)量的作用。如果珠子被放在桿的中點(diǎn)，碰撞（運(yùn)動(dòng)珠鏈的拉動(dòng)）將導(dǎo)致桿轉(zhuǎn)動(dòng)。盡管其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很?。U長珠子?。?，它不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)。地球?qū)⒆柚蛊滢D(zhuǎn)動(dòng)。相同的動(dòng)量從右端連接處流出，沿珠鏈向上流；它同樣從左端連接處流向地球。

因此，珠子獲得了相同數(shù)量的“負(fù)動(dòng)量”。在這過程中，兩份角動(dòng)量流入桿子，并相互抵消。

最后，我們弄清了額外的動(dòng)量流FE的來源[見方程（1）]。這動(dòng)量流決定了噴泉的高度：

在無能量耗散的情況下，我們有：

v2=2gh0，

噴泉的最大高度為：

hmax=h0。

實(shí)際上，不僅僅在我們所討論的碰撞過程中有能量耗散。因此，我們可以給出噴泉的高度和速度的區(qū)間：

0≤h≤h0，

gh0≤v2≤2gh0。

參考文獻(xiàn)：

[1]http：//www.nytimes.com/2014/03/04/science/the-chain-

fountain-explained.html？-r=0

[2]http：//www.youtube.com/watch？annotation-id=annotation-625777&feature=iv&src-vid=-dQJBBklpQQ&v=6ukMld5fli0

（欄目編輯 趙保鋼）