太陽影子定位的數(shù)學模型構(gòu)建

王 丹，劉 凱，閆 東，李 新

（1.吉林建筑大學城建學院 基礎(chǔ)部；2.吉林建筑大學城建學院 管理工程系，吉林 長春 130114）

太陽影子定位的數(shù)學模型構(gòu)建

王 丹1，劉 凱2，閆 東2，李 新2

（1.吉林建筑大學城建學院 基礎(chǔ)部；2.吉林建筑大學城建學院 管理工程系，吉林 長春 130114）

根據(jù)直桿在太陽下影子的長度及方位角,建立視頻拍攝地點和日期的最小二乘法模型，利用PREWITT算子對直桿頂部進行邊緣檢測求得直桿影子的頂點坐標，運用MATLAB求解，從而得到視頻拍攝地的經(jīng)緯度和日期.

最小二乘法；MATLAB；邊緣檢測算法

1 問題的提出及假設(shè)

在當今數(shù)碼科技高速發(fā)展的時代，對視頻數(shù)據(jù)分析已成為一項重要的研究課題，在反恐及刑事偵查等方面有著重要應(yīng)用.本文通過對視頻中物體影子在不同地點、不同日期和不同時間長度和角度的變化規(guī)律的分析建立數(shù)學模型，確定視頻拍攝的地點和日期.問題數(shù)據(jù)來自于2015年全國大學生數(shù)學建模競賽A題[1].

根據(jù)模型簡化求解的需求,本文提出以下假設(shè)：

⑴假設(shè)地球南北極對稱；

⑵假設(shè)桿豎直向上；

⑶假設(shè)附件提供的數(shù)據(jù)全部準確可靠.

2 太陽影子長度的數(shù)學模型

太陽影子長度與赤緯角、時角及太陽高度角等因素有關(guān).

一年中第d天，太陽直射地球的緯度（即赤緯角）如圖2所示

對于任意時刻t0，對應(yīng)的時角為

某地太陽光線與該地作垂直于地心的地表切線的夾角θ（稱為太陽高度角）可以通過如下公式求得：

以直桿及其太陽影子為兩直角邊，太陽高度角為一角可構(gòu)造一個直角三角形,根據(jù)三角函數(shù)可得如下關(guān)系式：

l為影子長度；L為已知直桿桿長.

公式⑴中所用時間為鐘表時間，即平太陽時，指的是地球繞太陽的旋轉(zhuǎn)軌跡是標準的圓形.若考慮地球繞太陽的軌跡為橢圓，地球?qū)μ柕淖赞D(zhuǎn)不是均勻的，得到的時間為真太陽時.因此，在公式⑴中應(yīng)考慮真平太陽時差（Wb為經(jīng)度差）.

圖1 太陽照射地球示意圖

圖2 太陽高度角示意圖

圖3 太陽影子長度的變化曲線

利用MATLAB軟件求解上述模型[2],得出2015年10月22日北京時間9:00-15:00之間，天安門廣場3m高的直桿的太陽影子長度的變化曲線如圖3所示：

3 確定地點的模型

記l(t0)為t0時刻直桿影子的理論長度,則

其中，θ為t0時刻的太陽高度角，計算公式為：

記lR(t0)為t0時刻直桿影子的實際測量出的長度：

其中，(x2R,y2R)為t0時刻測量直桿影子端點坐標的測量值.

根據(jù)最小二乘法構(gòu)建模型

考慮約束條件：

通過附件1所給數(shù)據(jù),利用MATLAB計算得到經(jīng)緯度[4],并利用絕對誤差分析影長的誤差,絕對誤差公式如下：

計算所得誤差結(jié)果如表1所示.

表1 經(jīng)緯度及誤差計算結(jié)果

根據(jù)計算結(jié)果,可確定所有可能的拍攝地點為海南、云南德宏傣族景頗族自治州、印度尼西亞和加拿大.

4 視頻數(shù)據(jù)確定地點的模型

圖4 不同時刻影子頂點坐標

利用'prewitt'算子進行邊緣檢測,得出直桿影子頂點的位置，測得不同時刻影子頂點的坐標,如圖4所示.

由函數(shù)

其中2為桿長,905為桿頂端的像素坐標,226為原點像素坐標,X,Y為影子頂點像素坐標值.可計算出桿影子頂點準確坐標.

采用3中模型⑵⑶⑷

且滿足約束條件

利用MATLAB計算得到經(jīng)緯度，并利用絕對誤差分析影長的誤差,絕對誤差公式如下：

計算所得誤差結(jié)果如表2所示：

表2 視頻經(jīng)緯度及誤差計算結(jié)果

由計算結(jié)果可知視頻拍攝地點為山西大同或印度尼西亞.

5 模型的應(yīng)用

本文建立的太陽影子定位模型,給出了不同日期、不同時間以及不同影長條件下如何確定地點（經(jīng)緯度）的算法,對解決無測量工具并處在手機信號較差的偏遠山區(qū)無法確定方向的問題有較大的幫助.

〔1〕2015年高教杯全國大學生數(shù)學建模競賽A題.http:// www.mcm.edu.cn.

〔2〕Akram Abdulameer Abood,A comprehensive solar angles simulation and calculation using matlab,INTERNATIONALJOURNALOFENERGYANDENVIRONMENT,Volume 6,Issue4,2015 pp.367-376.

〔3〕邱國全.太陽時的計算[J].太陽能,1998(01):7.

〔4〕王志新.MATLAB程序設(shè)計及其數(shù)學建模應(yīng)用[M].北京：科學出版社,2013（6）：34-37.

〔5〕司守奎,孫璽菁.數(shù)學建模算法與應(yīng)用[M].北京：國防工業(yè)出版社,2012（5）：318-324.

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