圓周運(yùn)動(dòng)加速度一種新的推導(dǎo)方法

駱明輝 余小剛 楊 芳

(閩南理工學(xué)院 福建 泉州 362700)

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圓周運(yùn)動(dòng)加速度一種新的推導(dǎo)方法

駱明輝 余小剛 楊 芳*

(閩南理工學(xué)院 福建 泉州 362700)

主要從加速度的基本定義出發(fā)，給出了一種新的推導(dǎo)方法，用以推導(dǎo)圓周運(yùn)動(dòng)的加速度.這種推導(dǎo)方法緊扣加速度的基本定義，淺顯易懂，有助于學(xué)生加深對(duì)加速度的理解.

圓周運(yùn)動(dòng) 法向加速度 切向加速度

1 引言

目前普通物理的教科書中，一般都是利用勻速圓周運(yùn)動(dòng)和引入相似三角形來推導(dǎo)圓周運(yùn)動(dòng)的法向加速度[1,2].這種方法雖然直觀性較強(qiáng)，但其物理意義不夠明確，而且與前面的直線運(yùn)動(dòng)中加速度的推導(dǎo)關(guān)聯(lián)也不大.關(guān)于圓周運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)方法，也有一些學(xué)者用了多種其他方法進(jìn)行了推導(dǎo)，但是這些方法大多都比較注重?cái)?shù)學(xué)推導(dǎo)，而物理意義不夠明確.本文的主要目的是提出一種新的方法來推導(dǎo)圓周運(yùn)動(dòng)的加速度.該方法簡(jiǎn)潔、淺顯易懂，而且與之前所學(xué)的直線運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)連接性較強(qiáng)，便于學(xué)生類比理解.

2 圓周運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)

2.1 勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的加速度

如圖1(a)所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為r的圓周上做勻速率圓周運(yùn)動(dòng).在Δt時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)轉(zhuǎn)過Δθ后到達(dá)B點(diǎn).質(zhì)點(diǎn)在A,B兩點(diǎn)的速度分別為vA和vB，則速度的增量為

Δv=vB-vA

將速度增量Δv用矢量圖表示，如圖1(b)所示.設(shè)質(zhì)點(diǎn)在勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中的速率為v，則圖1(b)所示△OAB是一個(gè)等腰三角形，且

當(dāng)Δt→0時(shí)，Δθ→0.由圖1(b)可以看出，此時(shí)速度增量Δv趨于與vA垂直.結(jié)合圖1(a)易知,Δv的方向指向圓心，即沿圓的法線方向.

圖1

綜上所述，在時(shí)間Δt趨于零的極限情況下，勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中速度增量

Δv=len=vΔθen

(1)

其中，en為圓的法向單位矢量.

當(dāng)時(shí)間Δt趨于零時(shí)，瞬時(shí)加速度等于平均加速度的極限，即

(2)

將式(1)代入式(2)中,且因a的方向沿法向指向圓心，故稱為法向加速度，用an表示

(3)

(4)

2.2 變速率圓周運(yùn)動(dòng)的加速度

如圖2所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為r的圓周上做變速率圓周運(yùn)動(dòng).在Δt時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)轉(zhuǎn)過Δθ后到達(dá)B點(diǎn).

圖2

質(zhì)點(diǎn)在A,B兩點(diǎn)的速度分別為

vA=v(t)eA

vB=v(t+Δt)eB

其中，eA,eB分別是vA,vB方向上的單位矢量.則速度的增量為

Δv=vB-vA=v(t+Δt)eB-v(t)eA

由圖2(a)可以看出，質(zhì)點(diǎn)在由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，不僅速度的大小發(fā)生了變化，方向也發(fā)生了改變.為了表征速度大小和方向的變化，對(duì)速度增量Δv進(jìn)行如圖2(b)所示分解：以O(shè)為原點(diǎn)，OA為半徑作一圓弧交OB于C點(diǎn).連接A，C兩點(diǎn)，則OA=OC，CB=OB-OC.由圖2(b)可知Δv=Δvn+Δvτ，其中，Δvn只表示速度方向的改變，Δvτ只表示速度大小的改變.

當(dāng)Δt→0時(shí)，Δθ→0.由圖2(b)可以看出，此時(shí)Δvn的方向趨于與vA垂直，Δvτ的方向趨于與vA同向.結(jié)合圖2(a)易知：Δvn的方向指向圓心，即沿圓的法線方向；Δvτ的方向與vA同向，即沿圓的切線方向.

綜上所述，在時(shí)間Δt趨于零的極限情況下，有

(5)

Δvτ=[v(t+Δt)-v(t)]eτ

(6)

其中en為圓的法向單位矢量，eτ為圓的切向單位矢量.

由加速度的定義可知，在上述變速率圓周運(yùn)動(dòng)中，其加速度為

(7)

將式(5)和式(6)分別代入式(7)中可得

(8)

方向沿著法線方向，稱為法向加速度

(9)

方向沿著切線方向，稱為切向加速度.

綜上所述，質(zhì)點(diǎn)做變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度的大小和方向發(fā)都發(fā)生變化，其加速度等于法向加速度式(8)和切向加速度式(9)的矢量和.由前面勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的分析可知：法向加速度an只改變速度的方向，不改變速度的大?。欢邢蚣铀俣萢τ則只改變速度的大小，不改變速度的方向.

3 討論

關(guān)于圓周運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)方法，此前已經(jīng)有很多學(xué)者從不同的角度給出了一些新方法.文獻(xiàn)[3]總結(jié)了常見的幾種推導(dǎo)法向加速度an和切向加速度aτ的方法.文獻(xiàn)[4]在圓周運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)中使用了相對(duì)于時(shí)間t的對(duì)稱時(shí)間間隔，有助于理解法向加速度的方向指向圓心.文獻(xiàn)[5]從加速度坐標(biāo)分量的定義出發(fā)，結(jié)合直角坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系之間的聯(lián)系直接求解.比較而言，文獻(xiàn)[5]給出的圓周運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)方法更為簡(jiǎn)單易懂，其具體推導(dǎo)方式如下.

如圖3(a)所示,設(shè)做變速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在某點(diǎn)的速度為v，對(duì)其在x軸和y軸上進(jìn)行分解可得

求導(dǎo)可得加速度分量為

由上式可得，其加速度為

a=axi+ayj=

(10)

建立如圖3(b)所示的自然坐標(biāo)系，將切向、法向單位矢量分別在x和y方向上進(jìn)行分解可得

(11)

將式(11)代入式(10)中，可以得到變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度為

(12)

圖3

以上推導(dǎo)過程簡(jiǎn)潔明了，方法淺顯易懂，且整個(gè)推導(dǎo)過程沒有近似，讓學(xué)生對(duì)結(jié)果深信不疑.但是此種推導(dǎo)方法技巧性較強(qiáng)，容易讓學(xué)生產(chǎn)生為什么要這樣處理的疑問，不利于對(duì)加速度基本概念的理解.相比較而言，本文所提出的推導(dǎo)方法立足于加速度的基本概念，重點(diǎn)在于加深學(xué)生對(duì)加速度的理解，以及對(duì)物理中瞬時(shí)值和平均值的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的物理思維方法.

4 總結(jié)

相對(duì)于其他學(xué)者的推導(dǎo)方法，本文所提出的圓周運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo)方法有以下特點(diǎn)：

(2)前后連接性強(qiáng)，有助于學(xué)生通過類比的方法加深對(duì)加速度定義和推導(dǎo)方法的理解.在大學(xué)物理的教學(xué)中，前一節(jié)直線運(yùn)動(dòng)中初次介紹了瞬時(shí)加速度的推導(dǎo)方法，因此，在后面的圓周運(yùn)動(dòng)中采用同樣的方法推導(dǎo)圓周運(yùn)動(dòng)的加速度，使得加速度的推導(dǎo)方法具有統(tǒng)一性，有助于學(xué)生加深對(duì)加速度的理解.

1 馬文蔚，周雨青.物理學(xué)教程(上冊(cè)).北京：高等教育出版社，2006.12～15

2 漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程 力學(xué).北京：高等教育出版社，1997.40～43

3 孫瑛.曲線運(yùn)動(dòng)中an和aτ的數(shù)學(xué)導(dǎo)出及其求法.山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1999,14(2):204～207

4 楊以綱，姜曉梅，于立軍.關(guān)于圓周運(yùn)動(dòng)加速度的推導(dǎo).長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005,24(6)：36～38

5 魯石珍，張景川.介紹一種推導(dǎo)圓周運(yùn)動(dòng)加速度的新方法.塔里木大學(xué)學(xué)報(bào)，2005,17(1)：82～83

A New Derivation Method on the Acceleration of Circular Motion

Luo Minghui Yu Xiaogang Yang Fang

(Minnan University of Science and Technology,Shishi,Fujian 362700)

Based on the basic definition of acceleration, a new derivation method is given in this paper.And the acceleration of circular motion is derived by the new derivation method.The derivation method not only focuses on the basic definition of acceleration but aslo be simple understood,otherwise it is helpful for students to deepening understanding acceleration.

circular motion; normal acceleration; tangential acceleration

*閩南理工學(xué)院教學(xué)改革與研究項(xiàng)目資助,項(xiàng)目編號(hào)：2015B24

駱明輝(1983- )，男，碩士，講師,主要從事大學(xué)物理的教學(xué)和研究工作.

2015-09-16)