運用質(zhì)心系解決兩體碰撞問題

蔡支坤 王笑君

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院 廣東 廣州 510006)

?

運用質(zhì)心系解決兩體碰撞問題

蔡支坤 王笑君

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院 廣東 廣州 510006)

將以質(zhì)心坐標(biāo)系為橋梁解決兩體碰撞問題.先推導(dǎo)出兩物體碰撞前的速度在質(zhì)心系中的表達，然后推導(dǎo)出兩物體碰撞后速度在質(zhì)心系中的表達，最后運用相對性原理計算出兩物體碰撞后速度在一般慣性參考系中的表達，從而建立起了兩物體碰撞后速度與碰撞前速度的直接聯(lián)系.

質(zhì)心系 兩體碰撞 慣性系

1 研究的背景

兩體碰撞是物理教學(xué)和理論研究中常見的一類問題，是研究運動的物體相互作用的最簡單模型，也是質(zhì)點運動學(xué)中非常重要的內(nèi)容.對此問題，傳統(tǒng)的解法是對兩個物體碰撞前后的動量和能量進行分析，列出方程進行計算，原則上可以解出最后結(jié)果，但是此方法因為涉及到二元二次方程，計算過程顯得繁瑣，且容易出錯.本文另辟蹊徑，以質(zhì)心坐標(biāo)系為橋梁，并結(jié)合坐標(biāo)圖像，建立起兩物體碰撞后的速度與碰撞前速度的聯(lián)系，并將最后的計算結(jié)論推廣到一般的情形中.較之于傳統(tǒng)的解法，此種方法避免了復(fù)雜的計算，在熟悉了推導(dǎo)過程后，可以直接將最后的計算結(jié)果運用到所有的一維碰撞過程中.

2 質(zhì)點組和質(zhì)心系

對于單個質(zhì)點的受力和運動情況的研究，相信讀者已經(jīng)比較熟悉，而對于存在相互作用的多個質(zhì)點的運動情形，情況看起來要復(fù)雜一些，為此，我們引入質(zhì)點組的概念，把由許多(有限或無限)相互聯(lián)系著的質(zhì)點所組成的力學(xué)體系叫做質(zhì)點組.

在對整個質(zhì)點組運用動力學(xué)基本定理時，我們發(fā)現(xiàn)：在質(zhì)點組中恒存在一特殊點，它的運動很容易被確定.如果以這個特殊點作為參考點，又常能使問題簡化，我們把這個特殊點叫做質(zhì)點組的質(zhì)量中心，簡稱質(zhì)心C.

現(xiàn)說明這個特殊點的位置是如何定出的[1].

假定有n個質(zhì)點，它們的質(zhì)量是m1,m2,…,mn,位于P1,P2,…,Pn諸點，這些點相對某一指定的參考點O的位矢是r1,r2,…,rn，則質(zhì)心C對同一點O的位矢rC滿足以下關(guān)系

此即為質(zhì)心C相對于參考點O的位矢，以質(zhì)心C為原點建立的坐標(biāo)系稱為質(zhì)心坐標(biāo)系，簡稱質(zhì)心系KCM.

3 兩物體碰撞前在質(zhì)心系中的速度

兩個質(zhì)點組成最簡單的質(zhì)點組，如圖1所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點的慣性參考系稱K系，設(shè)質(zhì)點1和2碰撞前在K系的位矢分別為r10，r20，相對位矢為

r0=r10-r20

進而可以得到質(zhì)點1和2碰撞前在K系中的速度分別為

圖1

引入相對速度的概念，在K系中兩質(zhì)點碰前的相對速度為

點C為質(zhì)點1和2的質(zhì)心，則質(zhì)心C應(yīng)在兩質(zhì)點的連線上，根據(jù)質(zhì)心位矢的定義，質(zhì)心C相對于K系的位矢為

則質(zhì)心C相對K系的速度vC為

結(jié)合相對運動的相關(guān)知識以及上面的坐標(biāo)圖像，可以建立兩質(zhì)點的位矢和速度矢量在K系和質(zhì)心系KCM之間的聯(lián)系.

位矢之間的關(guān)系為

上邊兩式同時對時間進行求導(dǎo)，可以得到速度之間的關(guān)系如下

將上邊兩式相減得到

(1)

由此我們可以看到，兩質(zhì)點在K系中的相對速度與兩質(zhì)點在質(zhì)心系KCM中的相對速度相等，也就是說，兩質(zhì)點之間的相對速度與參考系無關(guān).

下面來計算一下兩質(zhì)點在質(zhì)心系KCM中的總動量

(2)

從上述結(jié)果我們可以看出兩質(zhì)點在質(zhì)心系KCM的總動量為零，不難證明，對于多個質(zhì)點組成的質(zhì)點組的情況，該結(jié)論仍然成立，因此我們經(jīng)常將質(zhì)心系又叫做零動量系或者動量中心系[3].

結(jié)合上述相對速度式(1)和總動量為零的式(2)，可以得到質(zhì)點1和2在質(zhì)心系KCM的速度為

因此，結(jié)合坐標(biāo)圖像和相對運動的知識，我們就得到了質(zhì)點1和2碰前在質(zhì)心系KCM中的表達式.

4 兩物體碰撞后在質(zhì)心系中的速度

本文主要討論比較常見的對心碰撞，在對心碰撞中，兩質(zhì)點具有相對于質(zhì)心的點對稱性，那么兩質(zhì)點在碰撞前后所有速度方向都沿兩質(zhì)點連線方向，據(jù)此，我們可以作出碰撞之后的坐標(biāo)圖像.

圖2

如圖2所示，碰撞后與碰撞前相比，質(zhì)點1和2關(guān)于質(zhì)心C點對稱，此時，質(zhì)點1和2在K系中的位矢分別為r1，r2，速度分別為

兩質(zhì)點之間的相對位矢為

相對速度為

容易證明，兩質(zhì)點碰撞之后在質(zhì)心系KCM中的總動量也為零，因此兩質(zhì)點碰后的計算與兩質(zhì)點碰前的計算類似，可以得到質(zhì)點1和2碰撞后在質(zhì)心系KCM中的速度分別為

因此，根據(jù)對心碰撞的點對稱性以及結(jié)合圖像可以快速地得出兩質(zhì)點碰后在質(zhì)心系KCM中的表達式.

5 兩物體碰撞前后速度的聯(lián)系

在任何短暫的碰撞過程中，物體之間的內(nèi)力遠遠大于外力，因而總可認為，碰撞過程中系統(tǒng)的總動量是守恒的，因此可以得到

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2

所以，碰撞前后質(zhì)心C在K系中的速度相等

即碰撞前后質(zhì)點組的質(zhì)心速度保持不變.

牛頓總結(jié)了各種碰撞實驗的結(jié)果，引進了恢復(fù)系數(shù)e的概念[2]，它定義為

根據(jù)點對稱性，在質(zhì)心系KCM中，碰撞前的相對速度和碰撞后的相對速度方向彼此相反，因此有u=-eu0；利用此式，我們可以建立碰撞前后質(zhì)點組相對于質(zhì)心系的速度關(guān)系如下

因為碰撞前后，質(zhì)心C的速度vC保持不變，所以根據(jù)伽利略相對性原理，碰撞后質(zhì)點1和2在K系中的速度分別為

再將相對速度的表達式代入上式，就可以得出兩質(zhì)點碰撞后質(zhì)點的速度與碰撞前速度的關(guān)系

我們來看看該結(jié)論在兩類常見碰撞情況中的運用.

(1)完全彈性碰撞，e=1

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2

聯(lián)立上述兩式或直接將e=1代入，可以得到碰后兩質(zhì)點的速度為

(2)完全非彈性碰撞，e=0

v1-v2=0

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2

聯(lián)立上述兩式或直接將e=0代入，可以得到碰后兩質(zhì)點的速度為

6 小結(jié)

行文至此，本文利用質(zhì)心坐標(biāo)系和坐標(biāo)圖像法解決了一般的對心碰撞問題.上述推導(dǎo)過程看似復(fù)雜，其實非常有規(guī)律可循，一步一步推導(dǎo)下來非常嚴謹.再結(jié)合質(zhì)點的位矢坐標(biāo)圖像，不僅可以幫助檢驗計算的結(jié)果，還有助于理解相關(guān)的計算結(jié)果，避免死記硬背.運用質(zhì)心系的優(yōu)越性就在于其對稱性，質(zhì)點組相對于質(zhì)心系的總動量為零，以質(zhì)心系為橋梁，可以很好地建立兩物體在碰撞前后速度的關(guān)系，簡化計算.希望本文能為廣大師生解決兩體碰撞問題提供一些幫助.

1 周衍柏.理論力學(xué)教程.北京：高等教育出版社,2009. 84～852 趙凱華，羅蔚茵. 新概念物理教程:力學(xué).北京：高等教育出版社,2004. 127～130

3 馮奇勝.質(zhì)心參照系中兩體碰撞問題的研究.物理通報，2001(6)：14～15

2015-10-13)