基于傅里葉級數(shù)的小推力航天器快速軌跡設計

曾奎 耿云海 陳炳龍

基于傅里葉級數(shù)的小推力航天器快速軌跡設計

曾奎1耿云海1陳炳龍2

為了滿足小推力航天器交會軌跡的快速性設計需求,基于形狀逼近理論,設計了一種三維軌跡模型.將軌跡設計問題轉換為求解傅里葉級數(shù)的系數(shù)問題,避免了軌跡運動方程非線性強、難以求解的難題,極大地提高了計算效率.考慮到推力加速度的限制,建立了加速度約束方程,并結合軌跡的運動方程,給出了傅里葉級數(shù)的求解過程.同時根據(jù)邊界條件和最大推力加速度值,定性地分析了傅里葉系數(shù)的存在條件.仿真驗證了該方法的正確性和可行性,并從計算效率上與高斯偽譜法進行了對比,結果表明本文的方法計算耗時僅為高斯偽譜法的0.67%.

快速性,小推力,軌跡設計,推力限制,傅里葉級數(shù),航天器

航天器任務設計的初步階段,需要快速地設計出一條合理的初始軌跡并評估燃料的消耗量,然而由于小推力軌跡模型的非線性較強,直接以解析解的形式求出運動軌跡非常困難,而且實際工程中推力具有最大限制,極大地增加了任務挑戰(zhàn)性[1].傳統(tǒng)的方法中一般將小推力軌跡設計問題轉化為最優(yōu)控制問題來求解,求解方法主要分為兩類[2?4]:直接法和間接法.但是這兩類方法對初始猜測值比較敏感,而且對于不同的初始值需要對全過程重新進行數(shù)值積分,不能滿足任務初步階段的快速性需求.因此,尋找新的快速性軌跡設計方法非常重要.

為了解決任務設計初步階段的快速性需求, 1999年Petropoulos等[5]提出了一種形狀逼近法,為小推力軌跡設計問題打開了一扇新的大門.形狀逼近法是一種基于逆向設計的思想,它首先假設運動軌跡呈某一特定的曲線,然后用形狀曲線擬合的方法設計出滿足要求的轉移軌跡.由于該方法簡單、快速,迅速引起了學者的廣泛關注.Petropoulos等[6]用正弦指數(shù)函數(shù)模型設計了小推力攔截軌跡.Izzo[7]研究了基于正弦指數(shù)函數(shù)模型的多圈Lambert問題.然而,對于交會問題正弦指數(shù)函數(shù)模型不能滿足終端速度約束條件.隨后,Wall等[8?9]提出了一種6階逆多項式的方法,該方法雖然能滿足邊界條件約束,但是對于交會問題,只能通過增大轉移時間或增加軌跡的圈數(shù)來減小最大推力加速度值.為了解決推力約束的問題,Taheri等[10?11]引入了傅里葉函數(shù),設計了一種近似軌跡模型,但是該模型適合于轉移圈數(shù)給定的情況,而且文中沒有給出系數(shù)的存在條件,對于快速性軌跡設計需求存在一定的局限性.

針對空間小推力軌道交會問題,本文在前人的基礎上引入傅里葉級數(shù)模型,設計了一種基于傅里葉級數(shù)的空間小推力軌跡設計方法.通過軌跡模型,將小推力軌跡設計問題轉化成了求解傅里葉系數(shù)的問題.根據(jù)加速度約束方程和軌跡運動約束方程,結合序列二次規(guī)劃算法給出了系數(shù)的求解過程,并定性分析了傅里葉系數(shù)解的存在條件.最后仿真驗證了該方法的正確性和可行性.本文所設計的方法可為工程設計初步階段提供一定的技術參考,或為更進一步的精確計算提供初值依據(jù).

1 基于傅里葉級數(shù)的軌跡模型

1.1 問題的提出

在軌道交會過程中,航天器在空間的轉移軌跡是一條滿足約束條件的空間曲線.通常情況下,對于任意給定的一條空間曲線都可以近似用一個傅里葉級數(shù)的形式來表示,所以航天器的軌跡設計問題可以轉化為傅里葉級數(shù)的設計問題,而傅里葉級數(shù)取決于多項式的系數(shù),因此,只要確定了多項式的系數(shù),就可以確定航天器在空間的運動軌跡.

為了便于分析和計算,本文以初始軌道平面為參考面,建立柱坐標系,將航天器的軌跡表示為極角θ、半徑r和軌道面法向位置z的函數(shù),圖中x軸和y軸位于初始軌道面內,與z軸構成右手坐標系,如圖1所示.

圖1 柱坐標系Fig.1 Cylindrical coordinate system

根據(jù)牛頓引力定律,航天器的運動方程在柱坐標系下可以表示為[9,12]

式中,z表示oz軸方向的位置,Tain表示航天器在oxy平面內的推力加速度大小,Taz表示oz軸方向的推力加速度大小,α為oxy平面內的推力方向角,μ為地心引力常數(shù),s表示地心距,其中

在柱坐標系下,只要確定了航天器每個時刻的狀態(tài)(r,θ,z),航天器的空間運動軌跡便可以唯一確定.下面采用傅里葉級數(shù)的設計思想,分別對oxy平面內的運動和z向的運動進行建模分析.

1.2 模型的建立

1.2.1 oxy平面內的運動

在平面內航天器的位置是軌道半徑r和極角θ的函數(shù),r和θ可以表示成兩種函數(shù)形式[6,8],一種是以θ為自變量,用θ來表示函數(shù)r;另一種是將r和θ都表示成關于時間t的函數(shù).這里選取第二種形式,航天器在oxy平面內的運動軌跡模型如下:

式中,T表示從離軌點到入軌點之間的飛行時間, a0,an,bn和c0,cn,dn為待定系數(shù),nr,nθ∈N且nr≥2,nθ≥2.

假設平面內推力方向角等于飛行路徑角,即

式中,γ表示飛行路徑角,當推力方向與速度方向相同時b等于1,相反時b等于0.

對式(1)中的第二項進行整理可得

將上式代入式(1)中的第一項,整理可得

將式(3)代入式(5)可得

根據(jù)切向速度與徑向速度之間的關系,可知推力方向角的表達式為

將式(7)代入式(6),可得oxy平面內軌跡約束方程為

1.2.2 平面外的運動

平面外的運動即oz軸方向的運動,考慮到轉移軌跡具有一定的周期性,為了盡量減少優(yōu)化參數(shù),同時提高軌跡模型的逼近能力,這里選取極角θ作為自變量,將平面外的運動表示成關于余弦函數(shù)和高階多項式的復合函數(shù)的形式

式中,az,bz,cz,dz為多項式的系數(shù),q為大于等于3的正整數(shù).由于平面外的運動邊界條件已知,即初始和末端時刻航天器z向運動的位置和速度參數(shù)是確定的,所以可以直接求出式(9)中的多項式系數(shù).

將式(9)代入式(1)中的第三項得z軸方向推力加速度值為

由式(4)和式(10)可得總的推力加速度大小為

由于實際工程中,發(fā)動機的推力是有限制的,所以在軌跡設計中還需要考慮如下約束方程

式中,Ta,max表示軌道機動過程中允許的最大推力加速度值.

2 傅里葉級數(shù)系數(shù)的求解

由于傅里葉級數(shù)各項系數(shù)的好壞直接影響著軌跡模型的逼近能力,因此求解滿足邊界條件和約束方程的最優(yōu)系數(shù)是本文設計方法的關鍵.

將式(2)和(9)代入式(8)和(12),可以得到一組僅與未知系數(shù)和時間變量相關的非線性代數(shù)方程

式中,j=0,···,m,k=0,···,n.式(13)和(14)即為各個時刻航天器的運動軌跡需要滿足的所有約束函數(shù).求解未知系數(shù)至少需要2(nr+nθ+1)個方程.為了得出約束方程,需要先對軌道轉移時間進行離散化,然后針對每一個離散點建立滿足約束函數(shù)的方程.

通常情況下,nr和nθ取10以內的值即可達到較高的精度.對于帶推力約束的軌跡設計問題,nr和nθ的取值大于等于3才能保證推力在約束范圍以內,為了保證邊界點處的位置和速度精度,未知系數(shù)分兩部分求取.

2.1 由邊界條件直接確定的系數(shù)

令初始時刻t0=0,將初始時刻t0和末端時刻tf的狀態(tài)參數(shù)分別代入式(13),可得式(2)中函數(shù)r的可確定系數(shù)為

式中,λ1≥3,λ1為奇數(shù),λ2≥4,λ2為偶數(shù).r0和 rf分別為初始和末端時刻軌道半徑,和分別為初始和末端時刻徑向速度.

同理,將初始時刻t0和末端時刻tf的狀態(tài)參數(shù)分別代入式(13),可得式(2)中函數(shù)θ的可確定系數(shù)為

式中,τ1≥3,τ1為奇數(shù),τ2≥4,τ2為偶數(shù).θ0和 θf分別為初始和末端時刻的極角,0和分別為初始和末端時刻極角的變化率.

同理,將t0和tf時刻的狀態(tài)參數(shù)分別代入式(2)和式(9),整理得

z0和zf分別為初始時刻oz軸方向的位置,和分別為末端時刻oz軸方向的速度值.

圖2 極角的定義Fig.2 Definitions of angles

2.2 待優(yōu)化系數(shù)的求解

2.2.1 優(yōu)化算法和求解步驟

為了使計算過程盡量簡單,本文選用序列二次規(guī)劃(Sequential quadratic programming,SQP)[10]的方法對待求系數(shù)進行優(yōu)化求解.在計算的過程中為了避免有多個極值點和陷入局部極小值的情況,采用了Lagrange乘子法,對Lagrange函數(shù)取二次逼近,將帶有非線性約束的優(yōu)化問題轉換為二次規(guī)劃問題,通過求解指標函數(shù)的最小值來獲得待求系數(shù)的最優(yōu)值.本文以燃料消耗作為優(yōu)化指標函數(shù)

對于給定的軌道轉移時間T和極角θf、傅里葉級數(shù)nr和nθ,以及離散點DP的個數(shù),待優(yōu)化多項式系數(shù)的計算步驟如下:

2)結合離散點DP的個數(shù),將軌道交會時間區(qū)間0～tf,離散成(DP?1)個區(qū)間,利用步驟1)中給出參考軌跡模型,計算出每個節(jié)點i處的狀態(tài)參數(shù)將這些狀態(tài)參數(shù)代入式(13)中,通過等式約束方程初步估算出多項式系數(shù)的猜測值;

3)在猜測值的基礎上,根據(jù)每個節(jié)點處的約束方程,采用序列二次規(guī)劃的方法,優(yōu)化求解出滿足所有約束方程(13)和(14)的一組最優(yōu)解,所得的最優(yōu)解即為所求的待優(yōu)化多項式系數(shù).

2.2.2 待優(yōu)化系數(shù)的初值猜測

在用SQP方法求解待優(yōu)化系數(shù)時,首先要給出一組初始猜測值.為了避免自主猜測的盲目性,本文采用初始值自主給定的方式,首先假設存在一條滿足等式(13)約束的參考軌跡,然后根據(jù)參考軌跡上的離散點,擬合出初始猜測值.文獻[8,10]給出了逆多項式法和指數(shù)正弦函數(shù)兩種參考軌跡模型,但是文獻中的模型都是以極角θ作為自變量,而本文的模型是以時間為自變量,為了能夠簡單、快速地得出初始參考軌跡,這里選用了立方多項式的方法.

r和θ的參考軌跡模型如下

式中,a,b,c,d和e,f,g,h均為常值,其值可由初始和末端邊界狀態(tài)參數(shù)直接得出.

2.3 待優(yōu)化系數(shù)的存在條件

待優(yōu)化系數(shù)的存在性,決定著是否存在滿足設計要求的軌跡曲線,在有推力約束軌跡的設計任務中,軌跡設計的難點是尋找滿足推力加速限制的曲線.對于本文的方法,影響軌跡曲線性能的因素,除了軌跡模型的逼近能力外,主要的影響因素就是轉移軌跡的圈數(shù)Nrev.本節(jié)將定性給出Nrev的確定方法.

對于給定的軌道交會任務,交會時間是確定的,軌道交會時間T滿足以下約束

式中Pt0和Ptf分別表示初始和目標軌道的周期(這里假設Pt0＜Ptf).

為了保證算法的收斂、避免軌跡發(fā)生奇異現(xiàn)象,由式(20)可得轉移軌跡的圈數(shù)Nrev取值范圍為

此外,為了保證在推力約束范圍以內存在滿足邊界條件的最優(yōu)解,除了θf≥以外,還應滿足以下條件

式中v0和vf表示離軌點和入軌點的速度大小,a0和af表示初始軌道和目標軌道的半長軸.

對于不同的軌道交會任務,根據(jù)給定的設計參數(shù)Nrev可能存在多個可行值,由于Nrev的值越大,所需離散點的個數(shù)就越多,直接會導致計算量增大,為了滿足快速性設計需求,在計算過程中選取Nrev的最小值作為最優(yōu)值.

3 數(shù)值分析

為了論證本文所設計的方法的可行性和有效性,選取如下算例進行仿真驗證.仿真電腦為Windows 7系統(tǒng),內存(RAM)4GB,仿真平臺為Matlab2014a.

假設航天器初始軌道參數(shù)和目標軌道參數(shù)如表1所示,表中的a、e、i、ω、?和f分別為軌道半長軸、偏心率、軌道傾角、近地點幅角、升交點赤經(jīng)和真近點角.輸入?yún)?shù)nr=4,nθ=5, q取9,離散點數(shù)DP 取22,整個軌道轉移時間為17449s,初始質量為4000kg,發(fā)動機的比沖為 3000m/s.根據(jù)式(21)和(23)計算可得1.9306＜Nrev＜2.8830,由于Nrev為正整數(shù),所以Nrev取2.為了便于計算,仿真中將參數(shù)進行無量綱化,選取參考長度為DU,1DU=6378.1km,參考時間為發(fā)動機的推力限制設為Ta,max=0.014DU/TU2.

表1 輸入狀態(tài)參數(shù)Table 1 Input boundary parameters

由前文可知,本文方法中設計參數(shù)有q、離散點個數(shù)DP、nr和nθ,為了分析各設計參數(shù)對計算效率和精度的影響,這里結合仿真算例,在給定的設計參數(shù)基礎上,分別以某一設計參數(shù)作為變量進行仿真.從仿真結果來看,初始和末端的速度、位置計算精度均在10?16量級,由于篇幅有限,表2～4給出了部分仿真結果,其中?v表示燃料消耗,Tmax表示最大推力加速度值,?t表示仿真時間.

表2 q取不同值時的仿真結果Table 2 Results with different q

表3 DP取不同值時的仿真結果Table 3 Results with different DP

表4 nr,nθ取不同值時的仿真結果Table 4 Results with different nrand nθ

從表2～4中的數(shù)據(jù)分析可知,單獨改變q和DP的值對最大推力加速度值Tmax的影響不是很明顯.當q較小或過大時,軌跡模型的逼近能力較差,計算耗時長,而且精度下降.q直接影響的是軌跡模型的逼近能力,根據(jù)多項式的特性可知,q取7附近的值時,式(9)的逼近能力最強,所以q一般取7附近的值.對于轉移軌跡,當每圈離散點的個數(shù)在10以上時,可以達到較高的計算精度,對于本文的算例當每圈離散點的個數(shù)超過60時,計算精度基本保持不變,但是由于計算量增加,計算效率明顯下降.nr和nθ的取值對Tmax影響比較明顯,隨著nr、nθ的增大,Tmax和?v逐漸下降,并趨于穩(wěn)定,當nr、nθ增大到一定值時,計算精度趨于飽和,由于模型中多項式的系數(shù)增加,計算時間快速上升.同時,由表2和表4對比分析可知,在軌跡設計過程中選定q,將nr和nθ作為優(yōu)化變量,更容易快速得出精確的計算結果.

令柱坐標系下初始軌道面內的x軸、y軸與地心慣性坐標系在赤道面內的兩個坐標軸重合,算例的仿真結果如圖3～5所示.考慮到逆多項式設計法(Inverse polynomial,IP method)是形狀逼近法中最經(jīng)典的方法,為了直觀地分析本文方法(Proposed method)的合理性,仿真中同時給出了逆多項式設計法的仿真結果.

圖3為軌道交會過程中航天器的軌跡變化,從圖中可以看出采用本文的設計方法,在離軌第一圈時間內,軌跡變化較平緩,基本沿著初始軌道附近運動,隨著時間的推進,z方向的運動逐漸變快,隨后平滑地切入到目標軌道交會點,進入目標軌道.仿真得到的離軌點狀態(tài)值為(1.1254, 1.2034E–18,2.0311E–18,–3.0251E–19,0.8376, 4.3610E–18),入軌點的狀態(tài)值為(1.4842,3.1415,–0.0518,–1.5261E–18,0.5501, 1.3892E–19),與初始給定的狀態(tài)值誤差均小于10?17量級,表明所得軌跡曲線能很好地滿足邊界約束條件.

為了更直觀地分析軌跡變化情況,圖4給出了軌道交會過程中航天器地心距的變化曲線,從曲線的變化趨勢可以看出在軌跡末端實線和虛線完全重合,兩種方式都能保證航天器精確地到達交會點,但是相比于逆多項式設計法,本文方法在離軌和入軌區(qū)間段軌跡變化更為平緩.

圖4 地心距的變化Fig.4 Geocentric distance profiles

圖5給出了推力加速的變化曲線,由于本文方法在算法中考慮了推力加速度的限制,推力加速度的最大值保持在給定的范圍以內.而逆多項式方法假定運動軌跡為某一特定的曲線,限制了模型的逼近能力,最大推力加速度值超出了允許的范圍.

圖5 推力加速度變化曲線Fig.5 Thrust acceleration profiles

考慮到高斯偽譜法是最優(yōu)控制方法中精度非常高的一種算法,最后采用高斯偽譜法對算例進行了仿真.由表5中的數(shù)據(jù)可知本文的方法燃料消耗非常接近高斯偽譜法,說明本文方法燃料預估精度較高,而且明顯高于逆多項式方法.同時本文方法計算得出的Tmax值小于0.014,進一步表明本文的方法具有滿足推力加速度約束的能力.從仿真時間來看,由于逆多項式是以解析解的形式給出的結果,計算時間最短,但是相比于逆多項式算法僅多了0.2789s;相比于高斯偽譜法,本文方法避免了反復迭代尋找初始協(xié)態(tài)變量的過程,計算時間減少了61.488s,僅為高斯偽譜法的0.67%,極大提高了計算效率.

表5 三種方法計算結果比較Table 5 Comparison of the results using three methods

4 結論

本文針對小推力航天器空間交會軌跡設計問題,提出了一種基于傅里葉級數(shù)的快速軌跡設計方法,并通過仿真驗證了該方法的正確性和可行性.本文的方法主要有以下3個優(yōu)點:1)模型簡單、計算快速:通過形狀曲線擬合運動軌跡,克服了非線性運動方程難以求解的困難,直接將軌跡設計問題簡化成了求解傅里葉級數(shù)系數(shù)的問題,提高了計算效率;2)求解精度較高:避免了建模時假設運動軌跡成某一特定形狀曲線的限制,增強了形狀曲線的逼近能力,改善了求解精度;3)可用性好:設計過程中考慮了發(fā)動機的推力限制,所得結果不僅能滿足邊界條件,而且還能滿足推力加速度約束條件.本文方法可為小推力航天器任務設計初步階段的交會軌跡設計和燃料預估提供一定的參考,或為更進一步的精確計算提供可靠的初始值.

本文方法旨在為任務設計初步階段小推力軌跡設計問題提供一種新思路,對于如何定量地選擇設計參數(shù)(q、nr、nθ和DP)、考慮攝動干擾和常值小推力等軌跡設計問題,將在后續(xù)的工作中做進一步的深入研究.

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曾 奎 哈爾濱工業(yè)大學衛(wèi)星技術研究所博士研究生.主要研究方向為小推力航天器軌跡設計.

E-mail:zenghit@126.com

(ZENG Kui Ph.D.candidate at the Research Center of Satellite Technology,Harbin Institute of Technology. His research interest covers low-thrust spacecraft trajectory design.)

耿云海 哈爾濱工業(yè)大學航天學院教授.主要研究方向為飛行器動力學與控制.本文通信作者.

E-mail:gengyh@hit.edu.cn

(GENG Yun-HaiProfessor at the Astronautics School,Harbin Institute of Technology. His research interest covers astrodynamics and control.Corresponding author of this paper.)

陳炳龍 博士,上海微小衛(wèi)星工程中心工程師.主要研究方向為航天器動力學與控制.

E-mail:chenbinglonghit@163.com

(CHEN Bing-Long Ph.D.,engineer at Shanghai Engineering Center for Micro-Satellite.His research interest covers spacecraft dynamic and control.)

Rapid Design of Low-thrust Rendezvous Trajectory with Fourier Series

ZENG Kui1GENG Yun-Hai1CHEN Bing-Long2

Trajectory design with low-thrust propulsion needs a method for quickly approximating the spacecraft′s trajectory during the preliminary stage phase.To address this requirement,a 3D rendezvous trajectory design model is proposed based on the shape-based theory,by which the trajectory design problem is simplified into solving the coefficients of Fourier series.In the process of solving coefficients,thrust constraint is considered,and the existence conditions of the coefficients are qualitatively analyzed.Finally,the correctness and feasibility of this approach are verified through a numerical example.Results show that the proposed method can not only satisfy the boundary conditions and thrust constraint,but also has a good computational efficiency.Its computation time is only 0.67%of that of the Gauss pseudospectral method.

Quickly approximating,low-thrust,trajectory design,thrust constraint,Fourier serious,spacecraft

曾奎,耿云海,陳炳龍.基于傅里葉級數(shù)的小推力航天器快速軌跡設計.自動化學報,2016,42(11):1641?1647

Zeng Kui,Geng Yun-Hai,Chen Bing-Long.Rapid design of low-thrust rendezvous trajectory with Fourier series.Acta Automatica Sinica,2016,42(11):1641?1647

2015-12-21 錄用日期2016-04-28

Manuscript received December 21,2015;accepted April 28, 2016

國家自然科學基金(61473096)資助

Supported by National Natural Science Foundation of China (61473096)

本文責任編委崔平遠

Recommended by Associate Editor CUI Ping-Yuan

1.哈爾濱工業(yè)大學衛(wèi)星技術研究所 哈爾濱150001 2.上海微小衛(wèi)星工程中心上海201210

1.Research Centre of Satellite Technology,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001 2.Shanghai Engineering Center for Micro-Satellite,Shanghai 201210

DOI 10.16383/j.aas.2016.c150859