有限頻域分析與設(shè)計的廣義KYP引理方法綜述

李賢偉 高會軍

有限頻域分析與設(shè)計的廣義KYP引理方法綜述

李賢偉1高會軍2

頻域方法是控制理論與工程領(lǐng)域的一種基本研究手段,許多控制問題都可歸結(jié)為有限頻域性能指標(biāo)的分析與綜合問題.廣義Kalman-Yakubovich-Popov(KYP)引理建立了頻域方法(傳遞函數(shù))與時域方法(狀態(tài)空間)之間的一座橋梁,成為近年來系統(tǒng)與控制理論領(lǐng)域的研究熱點之一.本文首先從信號和系統(tǒng)兩個角度闡明有限頻域分析與設(shè)計的背景和意義,并依次討論三種主要研究方法(經(jīng)典控制理論方法、頻率加權(quán)法和廣義性能指標(biāo)法)各自的優(yōu)缺點.然后簡單介紹廣義KYP引理的主體內(nèi)容,并詳細(xì)總結(jié)當(dāng)前基于廣義KYP引理的有限頻域分析與設(shè)計的主要方向及研究進(jìn)展.最后給出在使用廣義KYP引理時很重要但容易忽視的幾點注記,同時指明該領(lǐng)域目前存在并值得未來進(jìn)一步研究的關(guān)鍵問題.

有限頻域,廣義Kalman-Yakubovich-Popov(KYP)引理,控制器設(shè)計,濾波,模型降階

控制系統(tǒng)設(shè)計的目的是尋找合適的控制器,使閉環(huán)系統(tǒng)滿足某些給定的性能指標(biāo)(穩(wěn)定性、魯棒性、噪聲抑制度等).從頻域角度講,滿足這些性能指標(biāo)實際上就是要求整個閉環(huán)系統(tǒng)具有適當(dāng)?shù)念l域響應(yīng)特性(極點分布、幅頻特性等).對于實際控制問題,考慮到被控對象自身的特點和輸入信號的頻譜特性,通常要求控制系統(tǒng)在不同頻率范圍滿足不同的性能指標(biāo).因此,控制工程中的許多問題都可以歸結(jié)為有限頻域性能指標(biāo)的分析和綜合問題.

信號角度. 白噪聲的功率譜在所有頻率處均具有相同大小的幅值.然而許多實際信號,無論是外界擾動[1?3]還是參考跟蹤信號[4?5],其能量往往只集中在某一或者某些有限的頻率范圍,因此不能被簡單地建模成白噪聲.比如文獻(xiàn)[2]通過分析一些典型地震災(zāi)難中的地震波記錄信號,發(fā)現(xiàn)地震波的絕大部分能量均集中在0.3～8Hz的頻率范圍.此外,由于被控對象動力學(xué)(如機械轉(zhuǎn)動[1,3,6])和控制律(如重復(fù)學(xué)習(xí)類控制律[4,7?8])存在往復(fù)運動的因素,周期信號也是工程中經(jīng)常要處理的一類特殊信號.除基波外,周期信號的頻譜還包含許多具有較大能量的高次諧波,容易引起系統(tǒng)諧振.例如,在機械硬盤驅(qū)動器中,由于硬盤的高速轉(zhuǎn)動產(chǎn)生了周期振動信號并引起空氣震蕩,其高次諧波直接導(dǎo)致磁頭定位誤差信號在8kHz和10kHz處分別出現(xiàn)了異常的孤立高頻諧振分量[1].因此,在進(jìn)行控制器優(yōu)化時,如果忽略了信號本身的有限頻域特性,得到的設(shè)計結(jié)果盡管能適應(yīng)更寬工作頻率范圍的信號輸入,卻未能充分利用信號的頻域信息實現(xiàn)更好的控制性能.相反,如果錯誤地估計了信號各頻率成分對系統(tǒng)的影響,將很難發(fā)現(xiàn)限制控制系統(tǒng)性能提升的原因.

系統(tǒng)角度. 任何實際控制系統(tǒng)都有無法突破的性能極限:系統(tǒng)不確定性、執(zhí)行器的有限輸出能力、被控對象的有限響應(yīng)帶寬等.由于這些約束的存在,控制系統(tǒng)的設(shè)計實際上是尋求不同設(shè)計目標(biāo)之間的合理折衷,頻域內(nèi)就是要求控制系統(tǒng)在不同的頻率范圍滿足不同的性能指標(biāo).經(jīng)典控制理論中的“回路成形”[9]技術(shù)就是基于這種折衷考慮:由于被控對象往往具有低通特性,低頻范圍的高回路增益使系統(tǒng)有較強的抵抗常值和低頻干擾的能力,而高頻范圍需要較低的回路增益以降低建模誤差帶來的影響.有時,如果能夠了解到被控對象本身某些特有的頻域表征并加以利用,就有可能在不明顯犧牲其他性能的情況下顯著地改進(jìn)控制效果.例如,考慮到人體對外力最敏感的頻率范圍是4～8Hz,在對有人參與的隔離臺、汽車懸架之類的對象進(jìn)行控制時,有必要針對人的頻率響應(yīng)特性設(shè)計減震控制器,以降低振動對人的傷害[10?11].又如,利用某些被控對象的有限頻域正實性,可以放寬閉環(huán)系統(tǒng)在某些頻率范圍的響應(yīng)要求,而將這部分預(yù)留的設(shè)計自由度用于改進(jìn)系統(tǒng)的某些關(guān)鍵性能[12?16].

總之,實際工程中的被控對象(系統(tǒng))及其工作環(huán)境(信號)往往具有明顯的有限頻域特性,而控制問題常常又歸結(jié)為與這些有限頻域特性相對應(yīng)的若干有限頻域性能指標(biāo)的折衷優(yōu)化問題.因此,根據(jù)這些有限頻域特性進(jìn)行系統(tǒng)分析和設(shè)計是必要的,研究控制系統(tǒng)的有限頻域分析和綜合方法具有極其重要的工程意義.隨著現(xiàn)代社會對控制系統(tǒng)的性能要求越來越高,如何充分利用各種有限頻域性質(zhì)以提高控制系統(tǒng)性能的研究課題就顯得尤為重要.

本文首先回顧系統(tǒng)和控制理論中有限頻域分析與設(shè)計的三種主要研究方法(第1節(jié));接著簡要介紹廣義KYP(Kalman-Yakubovich-Popov)引理(第2節(jié))并詳細(xì)總結(jié)基于廣義KYP引理的有限頻域分析與設(shè)計的研究現(xiàn)狀(第3節(jié));最后給出關(guān)于廣義KYP引理的一些注記(第4節(jié));并指出值得進(jìn)一步研究的關(guān)鍵問題(第5節(jié)).

1 有限頻域分析與設(shè)計的主要研究方法

對控制理論、系統(tǒng)理論和信號處理等工程科學(xué)領(lǐng)域的研究人員而言,有限頻域分析和綜合問題研究并不是新的主題.從控制理論誕生以來,人們便認(rèn)識到控制系統(tǒng)的有限頻域特性在工程實踐中的重要性.從以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的經(jīng)典控制論到以狀態(tài)空間為基礎(chǔ)的現(xiàn)代控制理論和以H∞控制為代表的“后現(xiàn)代控制理論”,從頻域角度對系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計一直是一種基本的手段.在控制理論領(lǐng)域,有限頻域分析與設(shè)計問題的典型研究方法包括:

1)經(jīng)典控制理論方法;

2)頻率加權(quán)法(間接法);

3)廣義性能指標(biāo)法(直接法).

下面我們將對上述方法的一般特點進(jìn)行討論.需要指出的是,上述分類方法并不嚴(yán)格,各類方法之間并不完全獨立.同時,限于作者的知識水平,上述分類方法并不能涵蓋針對類似問題的所有研究結(jié)果.比如在目標(biāo)頻率響應(yīng)已知情況下基于曲線擬合的頻率采樣方法[17?18]、基于非光滑優(yōu)化技術(shù)的控制系統(tǒng)有限頻域性能指標(biāo)的直接綜合方法[19?20]等.

1.1 經(jīng)典控制理論方法

經(jīng)典控制理論以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ),具有明顯的頻域意義.經(jīng)典控制理論中的控制器設(shè)計方法主要包括PID(Proportion integration differentiation)控制方法、根軌跡法、基于開環(huán)頻率特性的校正法等[21].基于經(jīng)典控制理論的控制設(shè)計方法的核心目標(biāo)是通過引入附加的零極點(即控制器),使反饋控制系統(tǒng)達(dá)到期望的頻率響應(yīng)特性.比如,PID控制器的微分環(huán)節(jié)能夠增加系統(tǒng)的阻尼系數(shù),從而消除狀態(tài)振蕩或加快狀態(tài)收斂速度,而積分環(huán)節(jié)能記憶過去的狀態(tài)從而有助于消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差.盡管經(jīng)典控制理論中的設(shè)計方法都有各自的設(shè)計步驟,但是“回路成形”技術(shù)依然具有指導(dǎo)作用.

經(jīng)典控制理論應(yīng)用于解決有限頻域分析和綜合問題時具有以下三個方面的局限性:1)經(jīng)典控制理論以單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)為主要研究對象,很多結(jié)果難以直接推廣到多輸入多輸出、時變等復(fù)雜情形;2)經(jīng)典控制理論的設(shè)計過程過多地依賴以工程經(jīng)驗為基礎(chǔ)的圖解法和試湊法,難以處理高階被控對象和/或高階控制器;3)經(jīng)典控制理論考慮的性能指標(biāo)以時域的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能為主,控制器的設(shè)計過程未能優(yōu)化有限頻域性能指標(biāo).

1.2 頻率加權(quán)法(間接法)

20世紀(jì)60年代發(fā)展起來的現(xiàn)代控制理論以狀態(tài)空間法[22]為主要研究方法,克服了經(jīng)典控制理論在處理多輸入多輸出對象時的不足.現(xiàn)代控制理論的分支之一,即最優(yōu)控制理論[23],便是以研究如何使系統(tǒng)在各種指標(biāo)約束下達(dá)到最優(yōu)為主題.最優(yōu)控制理論所針對的原始頻域性能指標(biāo)都定義在全頻域內(nèi).為了能夠利用最優(yōu)控制理論對有限頻域性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化,常見的手段是引入頻率加權(quán)函數(shù),基本方法是選擇合適的加權(quán)函數(shù),將最優(yōu)控制理論應(yīng)用于加權(quán)后的復(fù)合系統(tǒng)并優(yōu)化相應(yīng)的全頻域性能指標(biāo).該方法本質(zhì)上是將針對原系統(tǒng)有限頻域性能指標(biāo)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)獒槍?fù)合系統(tǒng)全頻域性能指標(biāo)的優(yōu)化問題,從而間接地達(dá)到改進(jìn)有限頻域性能指標(biāo)的目的.H2混合靈敏度問題和H∞混合靈敏度問題便是典型的基于頻率加權(quán)函數(shù)的最優(yōu)控制問題[9].其他大量運用頻率加權(quán)函數(shù)輔助有限頻域性能指標(biāo)優(yōu)化的課題包括模型降階[24?32]與控制器降階[33?34].頻率加權(quán)函數(shù)法的優(yōu)勢在于可以直接應(yīng)用現(xiàn)成的現(xiàn)代控制理論解決有限頻域控制問題;同時,加權(quán)函數(shù)的選擇還能反映出多維信號各分量的重要性以及實現(xiàn)不同類型信號的量級尺度可比性[9].

頻率加權(quán)函數(shù)法也有較大的局限性:1)頻率加權(quán)函數(shù)法歸根結(jié)底是一種間接處理有限頻域性能指標(biāo)的方法,盡管能夠在一定程度上改進(jìn)控制系統(tǒng)的有限頻域性能,但未能提供關(guān)于系統(tǒng)有限頻域性能的定量信息;2)有限階的頻率加權(quán)函數(shù)不可能具有理想的有限頻域特性,即通帶內(nèi)的單位增益和阻帶內(nèi)的零增益,因此不能保證有限頻域性能指標(biāo)的最優(yōu)性;3)加權(quán)函數(shù)的引入增加了實際被控對象(即復(fù)合系統(tǒng))階次,不利于系統(tǒng)分析和綜合,特別是降階控制器/濾波器的設(shè)計;4)加權(quán)函數(shù)的選取主要依靠研究人員的工程經(jīng)驗,缺乏系統(tǒng)嚴(yán)格的指導(dǎo)理論,選取過程中往往需要經(jīng)過多次嘗試,非常耗時.

1.3 廣義性能指標(biāo)法(直接法)

鑒于頻率加權(quán)函數(shù)法是一種間接的設(shè)計方法,解決有限頻域控制問題的根本之道在于找到處理有限頻域性能指標(biāo)的直接方法.具體而言,如果現(xiàn)有成熟的控制理論比如現(xiàn)代控制理論是針對全頻域性能指標(biāo)的理論體系,那么能否直接建立與有限頻域性能指標(biāo)相對應(yīng)的控制系統(tǒng)研究理論呢?基于這種考慮,目前的研究成果主要有以下兩種方法:

有限頻Gramian矩陣法.Gramian矩陣在線性系統(tǒng)理論中具有十分重要的地位[22].對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)G(s)=C(sI?A)?1B+D,可控性Gramian矩陣和可觀性Gramian矩陣在頻域內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)定義為[9]

利用Gramian矩陣,可以分析系統(tǒng)的可控性、可觀性、H2性能等.為了使Gramian矩陣適合于處理有限頻域性能指標(biāo),文獻(xiàn)[35]將上述定義擴展為

就目前已有的研究成果而言,有限頻Gramian矩陣法仍然缺少系統(tǒng)的理論支撐.相關(guān)的基本問題包括:1)與標(biāo)準(zhǔn)Gramian矩陣關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)性能是H2性能[9]和能量–峰值增益[36?37](通常稱為廣義H2性能,注意此“廣義”并不是指有限頻域情形).這兩種性能指標(biāo)在有限頻域內(nèi)的物理意義尚不明確,有限頻Gramian矩陣與它們的關(guān)系也不清楚.特別地,如果積分區(qū)間非常窄,有限頻Gramian矩陣將非常小甚至為零(積分區(qū)間只含有單個頻率),此時的H2性能該如何定義、計算和解釋?2)現(xiàn)有的大多數(shù)相關(guān)研究成果只停留在與Gramian矩陣聯(lián)系緊密的平衡截斷模型降階[35,38?40],而且基本沒有考慮有限頻域性能指標(biāo)的優(yōu)化.綜上所述,有限頻Gramian矩陣法的理論基礎(chǔ)還有待深入研究.由于本文焦點和興趣并不在此,所以將不會就此展開進(jìn)一步討論.感興趣的讀者可參考文獻(xiàn)[41]等.

廣義KYP引理法.另一種處理有限頻域分析與設(shè)計問題的直接方法是廣義KYP引理法.廣義KYP引理即廣義Kalman-Yakubovich-Popov引理是Iwasaki等在經(jīng)典的KYP引理基礎(chǔ)上建立的分析線性系統(tǒng)有限頻域性能指標(biāo)的新理論.廣義KYP引理的初步理論成果發(fā)表于2000年左右[42],經(jīng)過Iwasaki等的發(fā)展,完善的基礎(chǔ)理論成果于2005年在IEEE Transactions on Automatic Control以Regular paper發(fā)表[43].20世紀(jì)60年代建立的KYP引理是控制理論和系統(tǒng)理論里一個非常重要的結(jié)果[44],它成功從系統(tǒng)的角度建立起頻域條件(頻域性能指標(biāo))和時域條件(線性矩陣不等式)的等價關(guān)系.但是標(biāo)準(zhǔn)的KYP引理考察的是系統(tǒng)在全頻域內(nèi)的整體性能,無法處理系統(tǒng)在某個頻率處或某個頻段內(nèi)的性能.廣義KYP引理則從根本上克服了標(biāo)準(zhǔn)KYP引理的這個缺點,使人們能夠直接利用等價的線性矩陣不等式條件分析系統(tǒng)的一大類有限頻域性能.

廣義KYP引理是近年來在線性系統(tǒng)理論和魯棒控制理論領(lǐng)域所取得的突破性研究成果之一.與前面的有限頻Gramian矩陣方法相比,廣義KYP引理的優(yōu)勢體現(xiàn)在:1)基本的廣義KYP引理在有限頻域性能分析方面的結(jié)果非常完善,是標(biāo)準(zhǔn)KYP引理在有限頻域內(nèi)的完美推廣;2)廣義KYP引理得到的線性矩陣不等式條件中直接包含了有限頻域性能指標(biāo)的參數(shù),使得人們在研究相關(guān)的系統(tǒng)分析和綜合問題時,對有限頻域性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化成為可能;3)廣義KYP引理針對的性能指標(biāo)具有非常明確的頻域意義,使得無論是控制理論的研究人員還是工程實踐人員容易理解并接受相關(guān)理論.下面將簡要介紹該引理,并詳細(xì)回顧其研究現(xiàn)狀.

2 廣義KYP引理

本節(jié)對廣義KYP引理的核心內(nèi)容作適當(dāng)介紹,包括有限頻域的描述方法、廣義KYP引理及其意義.詳細(xì)內(nèi)容請參考文獻(xiàn)[42?43,45].

用符號?表示所考察的有限頻域,定義為

其中和Ψ∈H2為給定矩陣1符號Hn表示所有維數(shù)為n×n的Hermite矩陣的集合.,Ψ滿足det(Ψ)＜0.矩陣Φ決定了復(fù)數(shù)集合Λ刻畫的是連續(xù)系統(tǒng)還是離散系統(tǒng)的頻域變量.合適地選擇矩陣Φ和Ψ,集合Λ給出了有限頻域?的一種復(fù)頻域描述.根據(jù)文獻(xiàn)[43,45],集合Λ和?的對應(yīng)關(guān)系以及矩陣Φ和Ψ的取值見表1,表中ωc=(ω1+ω2)/2,ωr=(ω2?ω1)/2.

表1 集合?與Λ以及矩陣Φ和Ψ的取值Table 1 The values of sets ? and Λ and matrices Φ and Ψ

廣義KYP引理.給定矩陣Θ∈Hn1+n2,F∈C2n1×(n1+n2)以及Φ,Ψ∈H2使得由式(2)定義的集合Λ表示復(fù)平面上的曲線.定義

則下面兩種陳述等價:

1)(ΓλF)⊥?Θ(ΓλF)⊥＜0,?λ∈Λ(Φ,Ψ);

2)存在矩陣P,Q∈Hn1,使得Q＞0以及

進(jìn)一步,如果滿足秩條件rank{ΓλF}=n1,那么下面兩種陳述等價:

1)(ΓλF)⊥?Θ(ΓλF)⊥≤0,?λ∈Λ(Φ,Ψ);

2)存在矩陣P,Q∈Hn1,使得Q≥0以及

上述引理是一般形式下的廣義KYP引理,陳述的僅僅是兩個數(shù)學(xué)條件的等價關(guān)系,常值矩陣F和Θ還沒有賦予系統(tǒng)理論上的意義.為了直觀地與控制系統(tǒng)的有限頻域性能聯(lián)系起來,考慮線性定常系統(tǒng)G(λ)=(λI?A)?1B.由于

利用廣義KYP引理,假設(shè)系統(tǒng)G(λ)穩(wěn)定,可以得到如下的等價關(guān)系:

1)下面的指標(biāo)成立:

該條件表示系統(tǒng)G(λ)在有限頻域Λ內(nèi)的最大奇異值不超過γ(本文稱之為廣義H∞指標(biāo),參見第3.3節(jié)).即使當(dāng)集合Λ(Φ,Ψ)表示非常窄的頻帶,條件(5)依然能被很好地定義.特別地,如果Ψ=0,集合Λ(Φ,Ψ)=Λ(Φ,0)描述的就是全頻域.此時,上述等價關(guān)系自然地簡化為標(biāo)準(zhǔn)KYP引理[44].

判斷頻域不等式條件(5)成立與否需要對有限頻域集合Λ(Φ,Ψ)內(nèi)的所有元素進(jìn)行驗證,這在實際應(yīng)用中是不可能實現(xiàn)的.不過,由于等價關(guān)系中的第二個條件是一個線性矩陣不等式,所以借助廣義KYP引理,驗證第一個條件所面臨的無限維問題就簡化為尋找滿足線性矩陣不等式的矩陣P,Q的有限維問題,而且這種問題的轉(zhuǎn)化是無損的.因此,廣義KYP引理不僅保持了標(biāo)準(zhǔn)KYP引理形式上的優(yōu)美,同時保持了有限頻域性能分析問題與線性矩陣不等式可行解存在性問題之間的等價性.相比于標(biāo)準(zhǔn)KYP引理,廣義KYP引理可以直接處理有限頻域性能指標(biāo),為控制理論的精細(xì)化和實用化提供了堅實的理論基礎(chǔ).

另一方面,廣義KYP引理的提出也進(jìn)一步肯定了線性矩陣不等式技術(shù)在推動系統(tǒng)和控制理論發(fā)展過程中所起的作用.過去20年,在有效地求解凸優(yōu)化問題的內(nèi)點算法提出之后[46],線性矩陣不等式技術(shù)在控制和系統(tǒng)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用并取得了前所未有的成功[47?49].借助線性矩陣不等式技術(shù),系統(tǒng)和控制中很多之前難以求解的復(fù)雜問題(特別是魯棒控制問題和多目標(biāo)控制問題)都可以轉(zhuǎn)化為一個線性矩陣不等式(組)約束下的凸優(yōu)化問題,從而利用成熟的數(shù)值算法進(jìn)行求解.在實現(xiàn)控制問題向凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化的過程中,KYP引理和廣義KYP引理發(fā)揮了非常重要的作用.近年來,各種有效求解半定規(guī)劃問題(線性矩陣不等式只是一種特殊的半定規(guī)劃問題)的計算機程序和軟件包更是層出不窮[50?51],直接促進(jìn)了線性矩陣不等式技術(shù)在控制工程中的應(yīng)用,使這項技術(shù)也被越來越多的工程技術(shù)人員所接納.值得指出的是,作為廣義KYP引理的主要提出者,Iwasaki教授也是推動線性矩陣不等式技術(shù)在系統(tǒng)和控制理論中應(yīng)用的主要學(xué)者之一,在應(yīng)用線性矩陣不等式技術(shù)解決魯棒性能分析、控制器設(shè)計等問題上做出了許多重要的基礎(chǔ)研究工作[52].廣義KYP引理的提出賦予了線性矩陣不等式在控制和系統(tǒng)中新的生命力,使這項數(shù)學(xué)工具在今后依然是控制理論和系統(tǒng)理論研究的主流方法之一.

3 廣義KYP引理的研究進(jìn)展

鑒于經(jīng)典控制理論和有限頻Gramian矩陣法的局限性,廣義KYP引理在解決系統(tǒng)有限頻域性能分析和綜合問題方面的優(yōu)勢和易用性很快便突現(xiàn)出來.由于成功統(tǒng)一了標(biāo)準(zhǔn)KYP引理,廣義KYP引理在控制和系統(tǒng)理論中的基礎(chǔ)地位很快就得到了認(rèn)可,越來越多的學(xué)者開始加入到廣義KYP引理及相關(guān)控制理論的研究中,并積極地嘗試將獲得的新結(jié)果應(yīng)用于解決工程實際問題,取得了一系列有價值的研究成果,逐漸形成了控制理論中有限頻域分析與設(shè)計問題一個新的研究方向.在完整的廣義KYP引理[42?43,45,53]建立起之后,Iwasaki等繼續(xù)在廣義KYP引理基礎(chǔ)上進(jìn)行相關(guān)控制理論的研究[54?56],推動廣義KYP引理在系統(tǒng)和控制中的應(yīng)用[15,57?58].目前,在基于廣義KYP引理的有限頻域分析與設(shè)計的新方向上,主要的研究成果包括以下幾個方面.

3.1 保證有限頻域輸入輸出性能的反饋控制

基本問題描述為:設(shè)計反饋控制器使閉環(huán)系統(tǒng)的某個或某些輸入輸出性能指標(biāo)在有限頻域內(nèi)滿足指定的要求.針對KYP引理,具體的控制問題包括有限頻域H∞控制、有限頻域正實控制等.這類問題是一些標(biāo)準(zhǔn)的保證輸入輸出性能的反饋控制問題向有限頻域的拓展.與一般的鎮(zhèn)定問題或保性能控制問題相比,具有有限頻域指標(biāo)要求的反饋控制問題難度更大,因為在導(dǎo)出的矩陣不等式條件中,控制器增益矩陣與其他未知變量之間存在更強的耦合關(guān)系,導(dǎo)致一些常見的算法如錐補線性化[59]失效.

Iwasaki等在提出了廣義KYP引理之后進(jìn)一步研究了一般有限頻域指標(biāo)下的靜態(tài)輸出反饋控制問題[54]和動態(tài)輸出反饋控制問題[55],借助Finsler引理和變量替換,獲得了一些特殊情形下保證控制器存在的線性矩陣不等式條件.在應(yīng)用廣義KYP引理解決系統(tǒng)綜合問題方面,他們的方法也成為尋找系統(tǒng)綜合結(jié)果的統(tǒng)一思路,后來亦被其他大部分研究人員所遵循.遺憾的是,盡管他們給出了滿足給定有限頻域指標(biāo)的控制器存在條件,但是針對一般輸出反饋控制器特別是靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計問題,這些條件并不是線性矩陣不等式,而他們并未提供有效的求解方法.鑒于此,Li等通過矩陣分離技術(shù)引入松弛矩陣,獲得了新的控制器存在充要條件,并在此基礎(chǔ)上根據(jù)“兩步法”的思想提出了新穎的啟發(fā)式迭代求解算法[60].他們還在理論上揭示了一些已有的同類靜態(tài)輸出反饋器設(shè)計結(jié)果[61?63]之間的聯(lián)系.此外,他們還研究了具有多面體不確定性的魯棒有限頻域控制問題[64?65]和二維FM(Fornasini-Marchesini)狀態(tài)空間模型的有限頻域正實控制問題[66?67].受文獻(xiàn)[60]啟發(fā),Hao等分別研究了具有控制器結(jié)構(gòu)約束的有限頻域控制問題和時滯系統(tǒng)的有限頻域輸出反饋控制問題[68?69].在Iwasaki等取得的控制器設(shè)計結(jié)果基礎(chǔ)上,Zhang等考察了混合頻域小增益要求下線性連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋控制問題[70];梅平等基于廣義KYP引理研究了奇異攝動系統(tǒng)的分頻控制設(shè)計問題[71];董全超研究了時滯系統(tǒng)的基于觀測器的有限頻域狀態(tài)反饋容錯控制問題[72].關(guān)于廣義KYP引理框架下有限頻域控制方法的應(yīng)用,請參考第3.7節(jié)的文獻(xiàn)回顧.

3.2 回路成形理論的精確量化

如前所述,回路成形理論是控制器設(shè)計的一種準(zhǔn)則.按回路成形的思想進(jìn)行控制器設(shè)計的問題是典型的有限頻域問題[43].在經(jīng)典控制理論中,當(dāng)使用PID控制等控制方法對系統(tǒng)回路進(jìn)行“整形”時,由于缺乏精確易用的理論工具,往往采用作圖或者試湊法,但是其設(shè)計結(jié)果很難保證有限頻域指標(biāo)的最優(yōu)化.借助廣義KYP引理,Iwasaki等將“整形”所需要的有限頻域指標(biāo)轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式形式的凸約束,使性能指標(biāo)和PID控制器的參數(shù)成為凸優(yōu)化問題的決策變量,實現(xiàn)了控制系統(tǒng)設(shè)計的最優(yōu)化[43,57].而且他們指出,如果得到的線性矩陣不等式條件無解,那么將不存在滿足相應(yīng)性能要求的PID控制器.該結(jié)論對檢驗系統(tǒng)指標(biāo)要求的合理性是有益的.在取得的回路成形理論結(jié)果基礎(chǔ)上,他們還開發(fā)了相應(yīng)的基于Matlab的計算機輔助控制設(shè)計軟件[58].受Iwasaki等提出的PID控制器設(shè)計方法啟發(fā),Li等研究了多面體不確定系統(tǒng)的“回路成形”問題,并獲得了參數(shù)依賴魯棒PID控制器設(shè)計方法[73];Lim等則研究了單輸入單輸出系統(tǒng)的“閉環(huán)敏感函數(shù)成形”問題[3,74],并將提出的設(shè)計方法應(yīng)用于光盤驅(qū)動器的磁道跟蹤控制器設(shè)計,取得了良好的控制效果[3];Ishizaki等采用回路成形技術(shù)研究了電磁鑄模機的控制問題,結(jié)合廣義KYP引理給出了PI控制器的凸優(yōu)化設(shè)計方法[75].

3.3 廣義H∞濾波

估計問題是系統(tǒng)和控制理論中一類非常重要的問題.狀態(tài)估計的目的是利用可以測量的系統(tǒng)輸出信號對不可測量但是有用的信號進(jìn)行估計.考慮連續(xù)系統(tǒng),假設(shè)從噪聲到估計誤差的系統(tǒng)模型為G(s),其標(biāo)準(zhǔn)H∞性能和廣義H∞性能分別定義為

其中,σ[·]表示矩陣奇異值,?為如式(1)所示的頻率集合.傳統(tǒng)H∞濾波理論以標(biāo)準(zhǔn)H∞性能作為濾波器性能的評價標(biāo)準(zhǔn),未能利用噪聲可能具有的有限頻域特性.廣義H∞濾波(或有限頻域H∞濾波)對濾波誤差系統(tǒng)的廣義H∞性能進(jìn)行優(yōu)化,針對特定頻率范圍的噪聲,實現(xiàn)更好的濾波性能.作為標(biāo)準(zhǔn)H∞濾波向有限頻域的擴展,廣義H∞濾波問題也成為有限頻域分析和設(shè)計研究中的一個熱點課題.

Wang和Yang基于廣義KYP引理研究了離散線性定常系統(tǒng)的H∞濾波問題,獲得了線性矩陣不等式形式的濾波器設(shè)計方法[76].Zhang等研究了具有狀態(tài)時滯的離散系統(tǒng)的廣義H∞濾波問題,獲得了時滯相關(guān)的濾波器設(shè)計方法[77].Gao等結(jié)合廣義KYP引理和時滯分割思想,不僅分別針對連續(xù)時滯系統(tǒng)和離散時滯系統(tǒng)提出了具有更低保守性的廣義H∞濾波器設(shè)計方法[77?79],還分別從時域角度和頻域角度給出了時滯相關(guān)條件的推導(dǎo)方法[79?81],為在廣義KYP引理框架下處理復(fù)雜系統(tǒng)的有限頻域性能提供了一種有效的研究思路.應(yīng)用二維廣義KYP引理,他們還分別得到了Roesser模型和FM 模型下二維系統(tǒng)的魯棒廣義H∞濾波器的參數(shù)依賴設(shè)計方法[82?84].特別地,即便針對標(biāo)準(zhǔn)H∞濾波問題,文獻(xiàn)[82]的設(shè)計方法依然具有較低保守性.上述結(jié)果僅僅考慮了全階濾波器的設(shè)計問題.最近,受到有限頻域控制器設(shè)計的“兩步法”啟發(fā), Li等研究了離散線性定常系統(tǒng)的降階廣義H∞濾波問題,提出了一種新穎的降階濾波器迭代設(shè)計方法,并將結(jié)果應(yīng)用于信道均衡問題[85].此外,基于廣義KYP引理,人們還研究了離散切換系統(tǒng)[86]、T-S (Takogi-Sugeno)模糊非線性系統(tǒng)[87]、LPV(Linear parameter-varying)系統(tǒng)[88]等多種系統(tǒng)模型下的廣義H∞濾波問題.

3.4 廣義H∞模型近似

基于頻率加權(quán)函數(shù)和有限頻Gramian矩陣的模型降階問題是一類典型的有限頻域綜合問題.廣義KYP引理的提出為解決這類問題提供了新的工具.考慮連續(xù)系統(tǒng),令G(s)和Gr(s)分別表示原系統(tǒng)模型及其近似系統(tǒng)模型,廣義H∞模型近似的目標(biāo)是使誤差系統(tǒng)的廣義H∞指標(biāo)上界γ盡可能小:

特別地,當(dāng)頻率集合?包含所有頻率時,廣義H∞模型近似問題即退化為標(biāo)準(zhǔn)H∞模型近似問題[89].需要注意的是,這里的模型近似問題并不特指模型降階問題—后者只是前者在近似模型階次小于原始模型階次時的特殊情況.這一點請具體參考第4節(jié)關(guān)于廣義KYP引理的一些注記.

借助廣義KYP引理,Du等研究了線性系統(tǒng)的有限頻域模型降階問題[90?91]和線性狀態(tài)時滯系統(tǒng)的有限頻域模型降階問題[92?93].針對原系統(tǒng)是由離散傳遞函數(shù)給出的單輸入單輸出模型,文獻(xiàn)[94–95]借助廣義KYP引理導(dǎo)出了矩陣不等式形式的近似模型系數(shù)參數(shù)化條件,并應(yīng)用上界約束技術(shù)進(jìn)行線性化處理,進(jìn)而提出一種計算近似模型的迭代算法.相比直接使用狀態(tài)空間模型所得到的結(jié)果,針對傳遞函數(shù)得到的條件能極大地減少變量數(shù)量,有利于構(gòu)建更高效的求解算法.此模型近似方法在文獻(xiàn)[95]中被進(jìn)一步用于求解無限脈沖響應(yīng)(Infinite impulse response,IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計問題,所得結(jié)果較一些最新的數(shù)字濾波器設(shè)計方法也具有一定優(yōu)勢.利用廣義KYP引理,文獻(xiàn)[96–97]分別研究了降階模型具有無源性和降階模型為正系統(tǒng)的廣義H∞模型降階問題,給出了一種能夠減小感興趣頻率范圍內(nèi)逼近誤差的迭代優(yōu)化算法,計算結(jié)果明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[90]的方法.此外,借助二維廣義KYP引理[67,98],Li等構(gòu)建了二維系統(tǒng)廣義H∞模型近似問題的線性矩陣不等式求解方法[99].該方法與基于有限頻Gramian矩陣的平衡截斷方法[39]相比,能更有效地增強給定有限頻率范圍內(nèi)的逼近效果.其他相關(guān)研究結(jié)果見文獻(xiàn)[100?101]等.

3.5 基于廣義KYP引理的故障檢測

故障信號和噪聲擾動往往具有不同的頻率特性,比如常值故障可以看作低頻信號,而噪聲則可能是周期擾動信號.因此,就需要故障檢測機制能夠適應(yīng)并利用故障信號和噪聲擾動各自的頻譜特點,以正確、快速地識別故障發(fā)生的情況并提高對噪聲擾動的魯棒性.利用廣義KYP引理,Wang等研究了線性系統(tǒng)的故障觀測器和故障估計器設(shè)計問題,提高了殘差信號對有限頻域擾動的魯棒性以及故障信號的敏感度[102?104],而且他們還應(yīng)用廣義KYP引理研究了故障檢測器與控制器的集成設(shè)計問題[105?106];Yang等分別研究了T-S模糊系統(tǒng)的故障觀測器設(shè)計問題[107]和線性系統(tǒng)的有限頻域故障觀測器在δ域的設(shè)計問題[108];Zhang等借助廣義KYP引理給出了單一頻率故障信號檢測問題的最優(yōu)狀態(tài)空間解[109];Long等則研究了網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下有限頻域故障的檢測和隔離問題[110?111];Zhang等考慮了殘差系統(tǒng)滿足給定極點分布和廣義H∞擾動抑制水平的故障估計問題[112?114].

3.6 廣義KYP引理的推廣

在廣義KYP引理提出之后,許多學(xué)者亦分別從引理的適用模型、引理的變形和引理的時域解釋三方面對其進(jìn)行推廣.在模型范圍方面,文獻(xiàn)[98]和[67]分別導(dǎo)出了Roesser模型和FM模型下的二維廣義KYP引理,將原始的一維廣義KYP引理推廣到了二維系統(tǒng).雖然得到的二維廣義KYP引理的線性矩陣不等式條件僅僅是充分的,但是很好地保持了一維版本簡潔的形式及其易用性,對研究二維系統(tǒng)的有限頻域性能分析和綜合問題具有重要的價值.借助二維廣義KYP引理,Li等進(jìn)一步研究了二維系統(tǒng)的廣義正實控制[67]、廣義H∞濾波[82,84]和廣義H∞模型降階[99]等有限頻域分析與設(shè)計問題.文獻(xiàn)[115]推導(dǎo)了線性時間–空間模型的二維廣義KYP引理,能夠處理空間維度的非因果性.文獻(xiàn)[79–80]得到了具有狀態(tài)常時滯的線性時滯系統(tǒng)的廣義有界實引理(有界實引理即Bounded real lemma是KYP引理針對H∞性能的特定形式).該引理能夠處理時滯系統(tǒng)的廣義H∞性能,并結(jié)合了時滯分割思想以降低保守性,被進(jìn)一步用于求解時滯系統(tǒng)的廣義H∞濾波問題[79?80]和主動懸架系統(tǒng)具有時滯輸入的控制器設(shè)計問題[116].

在引理的變形方面,Xiong等討論了有限頻域負(fù)虛性質(zhì)與有限頻域正實性質(zhì)之間的關(guān)系,并給出了分析有限頻域負(fù)虛性質(zhì)的充要條件[117].針對單輸入單輸出線性定常系統(tǒng),Hoang等得到了一種特殊形式的廣義KYP引理[118?119].由于新結(jié)果不包含Lyapuanov矩陣,所以特別適合于高階系統(tǒng)的分析和綜合.針對具有實狀態(tài)空間矩陣的系統(tǒng), Pipeleers等研究了廣義KYP引理的簡化問題,得到了限定Lyapuanov為實對稱矩陣不會帶來保守性的結(jié)論[120].Pipeleers等進(jìn)一步將廣義KYP引理推廣到多頻率區(qū)間的情形[121].注意式(5)中的矩陣Θ不含任何頻率信息,Graham等修訂了連續(xù)系統(tǒng)的廣義KYP引理[122?123].新形式下的廣義KYP引理允許Θ仿射依賴于頻率變量,對于某些特殊的問題很有益.Tanaka等從KYP引理的對稱性角度重新考察了S-procedure的無損性,給出了一種基于Mutual losslessness概念的系統(tǒng)適定性分析方法,為認(rèn)識和理解多類系統(tǒng)的KYP引理結(jié)果提供了一種新的統(tǒng)一工具[124].

廣義KYP引理的時域意義也受到了人們的關(guān)注.針對廣義KYP引理中的頻域不等式,Iwasaki等從信號角度出發(fā)推導(dǎo)出了等價的時域不等式條件,為從時域角度研究系統(tǒng)的有限頻域性能提供了一種可能[125].特別地,他們得到式(5)在低頻情形的等價時域關(guān)系為下述不等式

3.7 廣義KYP引理的應(yīng)用

保證有限頻域輸入輸出性能的反饋控制方法最重要和最直接的應(yīng)用領(lǐng)域就是振動抑制.這種控制器設(shè)計方法對于具有有限帶寬的擾動和振動的抑制效果尤為突出.根據(jù)地震產(chǎn)生的破壞力主要集中在0.3～8Hz頻帶內(nèi)的事實,Chen等將廣義KYP引理應(yīng)用于建筑物的振動控制,直接優(yōu)化狀態(tài)反饋控制器使閉環(huán)系統(tǒng)在0.3～8Hz頻率范圍的廣義H∞擾動抑制水平盡可能小,從而獲得了能夠更好抑制建筑物震動的控制器[2].在為懸架系統(tǒng)和座椅系統(tǒng)設(shè)計主動控制器時,針對人體敏感頻率為4～8Hz的事實,Sun等將減小擾動對平臺加速度輸出影響的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為廣義H∞性能約束,利用廣義KYP引理有效地提升了控制器對該段頻率擾動的隔離能力,獲得不錯的控制效果[10,116,129].Du等觀察到機械磁盤磁頭定位誤差信號在8kHz和10kHz周圍具有非常強烈的窄帶頻率成分.根據(jù)這一事實,他們利用廣義KYP引理對這兩個頻率帶的系統(tǒng)敏感函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,實驗結(jié)果驗證了所提設(shè)計方法比傳統(tǒng)的頻率加權(quán)方法更加簡單有效[1].應(yīng)用文獻(xiàn)[60]提出的基于廣義KYP引理的控制器設(shè)計方法,Li等研究了海上浮式風(fēng)機的主動結(jié)構(gòu)控制問題,通過分析風(fēng)機的振動模態(tài)信息并引入額外的有限頻域約束,獲得了控制器增益與風(fēng)機抗擾性能(抵抗海浪擾動)的一種折衷設(shè)計,減小了風(fēng)機在常規(guī)工作模式下的結(jié)構(gòu)振動及其承受的載荷[130].

廣義KYP引理也適合于處理具有某種周期特性的控制問題.文獻(xiàn)[3,74]和[75]結(jié)合回路成形技術(shù)和廣義KYP引理分別研究了光盤驅(qū)動器的磁道伺服跟蹤控制問題和電磁鑄模機的控制問題,給出了相應(yīng)控制器的凸優(yōu)化設(shè)計方法.Pipeleers等研究了具有周期輸入信號的最優(yōu)前饋控制問題和重復(fù)控制中的最優(yōu)控制問題,應(yīng)用廣義KYP引理將設(shè)計條件轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題[5,8].利用自行車踏板周期運動特性,文獻(xiàn)[6]應(yīng)用廣義KYP引理為助力裝置設(shè)計重復(fù)控制器以提高能量利用效率.

除了系統(tǒng)和控制領(lǐng)域,廣義KYP引理也是處理如通信、信號處理等其他領(lǐng)域中相關(guān)有限頻域分析和綜合問題的一種重要工具.在經(jīng)典文獻(xiàn)[43]中, Iwasaki等將數(shù)字濾波器設(shè)計列為廣義KYP引理的一個典型的應(yīng)用領(lǐng)域,并給出了相應(yīng)的有限脈沖響應(yīng)(Finite impulse response,FIR)數(shù)字濾波器設(shè)計例子.Nagahara等考察了Delta-sigma(D-S)調(diào)制器中噪聲傳遞函數(shù)的整形問題,獲得了FIR回路濾波器存在的充要條件[131].需要指出的是,對于FIR濾波器,現(xiàn)成的廣義KYP引理不需要任何變換就直接給出了濾波器參數(shù)的線性矩陣不等式條件.對于更一般的IIR濾波器,直接應(yīng)用廣義KYP引理只能獲得非線性的矩陣不等式.鑒于此,基于廣義KYP引理,Li等結(jié)合矩陣分離技術(shù)和上界約束技術(shù)提出了一種迭代算法來設(shè)計IIR數(shù)字濾波器,每一步只需求解一個凸優(yōu)化問題[95].該迭代方法被進(jìn)一步用于求解D-S調(diào)制器中具有IIR回路濾波器的噪聲傳遞函數(shù)整形問題[132?133].

廣義KYP引理的另外一個應(yīng)用方向是復(fù)雜系統(tǒng)的分析與設(shè)計.針對線性時滯系統(tǒng)和二維系統(tǒng),文獻(xiàn)[134–135]提出了基于頻率分割技術(shù)的穩(wěn)定性分析方法,采用依賴于頻率的分段常值Lyapunov函數(shù)獲得了這些復(fù)雜系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件,并進(jìn)一步應(yīng)用廣義KYP引理將分析條件轉(zhuǎn)化為等價的線性矩陣不等式條件.頻率分割方法不僅能降低已有充分條件的保守性,同時與已有的充要條件相比,易于進(jìn)一步擴展到其他系統(tǒng)綜合問題.

4 廣義KYP引理的一些注記

4.1 “水床效應(yīng)”

實際控制系統(tǒng)的性能不可能無限制地提高.控制系統(tǒng)的性能極限既取決于系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的物理約束(如執(zhí)行器的輸出能力、控制器的計算速度等),同時也取決于被控對象自身的特點.特別地,由Bode靈敏度積分不等式可知[9],控制系統(tǒng)的設(shè)計極限直接依賴于被控對象的開環(huán)不穩(wěn)定零點和極點.因此,如我們在本文開始提到的,一種控制方法在提高某些頻率范圍內(nèi)控制系統(tǒng)性能的同時,有可能也伴隨著感興趣頻率范圍之外系統(tǒng)性能的退化.這就是控制系統(tǒng)設(shè)計中著名的“水床效應(yīng)”(Waterbed effect)[136].在用廣義KYP引理對系統(tǒng)的有限頻域性能進(jìn)行優(yōu)化時,很容易出現(xiàn)這種現(xiàn)象.比如文獻(xiàn)[65]的圖3給出了一個汽車懸架主動控制例子的閉環(huán)頻率響應(yīng)曲線,可以看出廣義H∞控制器能明顯地壓低4～8Hz頻率范圍的閉環(huán)系統(tǒng)幅值,同時相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)在全頻域的幅頻響應(yīng)峰值卻高于一般H∞控制器下的情形.“水床效應(yīng)”的存在意味著在應(yīng)用廣義KYP引理時需要注意以下兩點:

1)實際問題中很少只優(yōu)化單一的有限頻域性能指標(biāo),通常需要加入其他約束條件,以保證系統(tǒng)的其他性能滿足指定要求或至少不會太差.比如,為了獲得文獻(xiàn)[65]的圖3汽車懸架例子的廣義H∞控制器,除了一個4～8Hz范圍的廣義H∞性能指標(biāo),其設(shè)計條件還包括一個全頻域的標(biāo)準(zhǔn)H∞性能約束.另外一個考慮多重有限頻域指標(biāo)條件的典型例子是數(shù)字濾波器,需要分別針對通帶、阻帶和過渡帶的濾波器性能引入相應(yīng)的有限頻域性能約束條件[95].

2)如何選取有限頻域性能指標(biāo)并構(gòu)建相應(yīng)的優(yōu)化問題需要具體問題具體分析.廣義KYP引理只是提供了一種處理有限頻域性能指標(biāo)的理論和工具,該結(jié)果本身并不能保證其求解的問題一定有解,即不能保證問題中所選取的性能指標(biāo)的合理性.在具體應(yīng)用時,很可能需要反復(fù)修改指標(biāo)條件并重新求解才能找到有限頻域分析和設(shè)計問題的合理描述,從而利用廣義KYP引理找到滿意的答案.

上述兩點表明,控制系統(tǒng)設(shè)計的過程實質(zhì)上是在尋找各種指標(biāo)約束下令人滿意的折衷方法.除了廣義KYP引理,上述兩點事實上也是應(yīng)用其他有限頻域分析與設(shè)計方法需要注意的地方.

4.2 從光滑到分段光滑

盡管廣義KYP引理在形式和內(nèi)容上只是標(biāo)準(zhǔn)KYP引理向有限頻域性能指標(biāo)的擴展,但是其應(yīng)用外延要超過標(biāo)準(zhǔn)KYP引理.與某些傳統(tǒng)的解決方案相比,基于廣義KYP引理的方法甚至?xí)猩顚佑^念上不同.針對模型降階問題,為了增強降階模型在某個頻率范圍的逼近性能,傳統(tǒng)的方法如平衡截斷[25,27]、H∞模型降階[26,137]等均采用頻率加權(quán)函數(shù)的方案.不管頻率加權(quán)函數(shù)如何選擇,其原始模型和降階模型主要是以頻率為變量的全局連續(xù)光滑的有限階有理函數(shù)模型.另一方面,對于第3.4節(jié)討論的廣義H∞模型降階問題,其被逼近的原始模型并不要求滿足全局光滑特性.具體地說,假設(shè)頻率集合?由若干頻率子區(qū)間組成,即則由式(8)定義的廣義H∞誤差指標(biāo)可寫為

這里只要求Gi在每個頻率子區(qū)間內(nèi)是一個關(guān)于頻率的有理函數(shù)或多項式函數(shù).值得注意的是,式中的Gi和γi在不同頻率區(qū)間可以不同.換句話說,被逼近的原始模型G(s)=Gi(s),i=1,2,···,n可以是一個以頻率為變量的分段光滑函數(shù).這也是第3.4節(jié)的標(biāo)題使用了更一般的“模型逼近”而非“模型降階”的原因:近似模型Gr(s)的階次并不一定比原始模型G(s)的階次小.傳統(tǒng)的平衡截斷、H∞模型降階等模型降階方法并不適用于這類逼近問題.

頻率加權(quán)函數(shù)本身就是一種濾波器,任何有限階次的濾波器都不可能提供理想的高通/低通/帶通/帶阻特性(通帶單位幅值、阻帶零幅值).以廣義H∞性能為例,其效果就像是經(jīng)過具有理想帶通特性的無限階頻率函數(shù)加權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)H∞性能.廣義KYP引理可以將這種具有無限階頻率加權(quán)函數(shù)的系統(tǒng)性能轉(zhuǎn)化為等價的線性矩陣不等式.特別地,廣義KYP引理甚至可以用于濾波器(頻率加權(quán)函數(shù))的設(shè)計[95],而標(biāo)準(zhǔn)KYP引理對此卻無能為力.這種關(guān)于廣義KYP引理與頻率加權(quán)函數(shù)之間區(qū)別的思考也可以延伸至其他有限頻域分析與綜合問題.

在模型逼近問題中,待求目標(biāo)是有限階的連續(xù)光滑數(shù)學(xué)模型.就一些問題而言,盡管人們知道存在且期望找到某些連續(xù)光滑的參數(shù)依賴函數(shù),但是直接求解這類問題可能很困難.常用方法是將待求函數(shù)限定為某類特別簡單的函數(shù)(比如常值函數(shù)),從而將問題化簡.但這種方法往往僅能得到充分條件.為了減小甚至克服這種方法的保守性,可以采用分段光滑的特殊函數(shù)將原問題化簡為若干子問題.如果分段內(nèi)的子問題容易求解,原問題就相應(yīng)地得以解決.廣義KYP引理提供了尋找分段光滑函數(shù)特別是分段頻率依賴函數(shù)非常有用的工具.正是基于該思路,文獻(xiàn)[134–135]提出了使用分段常值矩陣逼近未知的連續(xù)光滑Lyapunov矩陣的想法,進(jìn)而利用廣義KYP引理將復(fù)雜的原問題簡化為一系列簡單的小問題.廣義KYP引理處理非光滑分析問題的能力對于求解其他復(fù)雜的系統(tǒng)和控制問題非常有用.

4.3 有限頻域vs全頻域

前文提到,目前在獲取基于廣義KYP引理的系統(tǒng)綜合結(jié)果時所采用的思路大多都來自于Iwasaki等較早提出的反饋控制器實現(xiàn)方法[54?55].基本步驟是利用Finsler引理或投影定理引入額外的松弛矩陣,從而解除系統(tǒng)矩陣與Lyapunov矩陣的乘積,進(jìn)而通過選取具有合適結(jié)構(gòu)的松弛矩陣實現(xiàn)控制器或濾波器存在條件的線性化.盡管他們已經(jīng)采用一些分析手段使選取的松弛矩陣盡量“合理”,但是一般情況下,松弛矩陣的結(jié)構(gòu)特殊化必然會減小所求問題的解空間,從而導(dǎo)致系統(tǒng)綜合結(jié)果具有較大的保守性,很難使系統(tǒng)性能達(dá)到最優(yōu).雖然沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)去衡量不同取值的優(yōu)劣,但是取值合理與否需要考慮一個最基本的原則:當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)KYP引理適用于條件相同或條件更強的問題時,以優(yōu)化的有限頻域性能指標(biāo)為準(zhǔn),基于廣義KYP引理的設(shè)計結(jié)果不能差于基于標(biāo)準(zhǔn)KYP引理的情形.如果該基本要求得不到滿足,即廣義KYP引理產(chǎn)生的結(jié)果甚至比標(biāo)準(zhǔn)KYP引理更差,那么人們自然會懷疑在該問題中使用廣義KYP引理的合理性.需要指出的是,這一點似乎并未引起研究人員的足夠重視.使用或研究廣義KYP引理的不少文獻(xiàn)在對不同方法進(jìn)行數(shù)值比較時未設(shè)置全頻域方法的對照組,導(dǎo)致數(shù)值結(jié)果缺乏說服力和可靠性.

5 展望與結(jié)語

綜上所述,廣義KYP引理是近年來魯棒控制領(lǐng)域最為重要和令人激動的發(fā)現(xiàn)之一.由于在理論方面的創(chuàng)新性、重要性和易用性,就在發(fā)表的次年, Iwasaki等的論文即獲得IEEE控制系統(tǒng)協(xié)會頒發(fā)的“最佳論文獎”,基于廣義KYP引理的有限頻域分析與設(shè)計研究也成為近年來的研究熱點,受到許多研究人員的關(guān)注.通過第3、4節(jié)對現(xiàn)有研究成果的梳理,可以看出廣義KYP引理的研究范圍不僅包括應(yīng)用傳統(tǒng)控制理論只能得到非常保守結(jié)果的老問題(比如應(yīng)用魯棒控制理論分析時滯系統(tǒng)和多維系統(tǒng)穩(wěn)定性[134?138]),也有傳統(tǒng)控制理論無法處理而由廣義KYP引理衍生出的新方向(比如數(shù)字濾波器的直接設(shè)計[43,95]),同時其學(xué)科范疇也不僅限于系統(tǒng)和控制理論.盡管如此,現(xiàn)有結(jié)果仍有一些不足,或保守性太大,或缺乏充分的工程解釋.許多與廣義KYP引理有關(guān)的關(guān)鍵問題亟待解決或值得進(jìn)一步研究.這些問題包括但不限于:

如何選擇或優(yōu)化松弛矩陣?在第4.3節(jié)我們指出松弛矩陣的結(jié)構(gòu)化處理使現(xiàn)有大多數(shù)基于廣義KYP引理的系統(tǒng)綜合結(jié)果具有一定保守性,而該問題之所以關(guān)鍵是因為松弛矩陣的取值直接關(guān)系到使用廣義KYP引理的合理性.如何合理地選取松弛矩陣是應(yīng)用廣義KYP引理進(jìn)行系統(tǒng)綜合的一個難題.注意到松弛矩陣本身是魯棒控制理論中將經(jīng)典結(jié)果如標(biāo)準(zhǔn)KYP引理變形為參數(shù)依賴形式的一種手段[80,138].受此啟發(fā),滿足第4.3節(jié)所提基本要求的一個選取方案就是直接采用與標(biāo)準(zhǔn)KYP引理情形一樣的松弛矩陣.盡管這種取法不是最優(yōu)的,但是非常簡單易行.一個更好的途徑是另外構(gòu)造算法對這些松弛矩陣進(jìn)行優(yōu)化.目前沿著該思路的大多數(shù)研究結(jié)果都是基于線性矩陣不等式的啟發(fā)式迭代算法[60,65,85,95,97],難以進(jìn)行最優(yōu)性分析.如何利用數(shù)學(xué)上的先進(jìn)優(yōu)化理論或技術(shù)構(gòu)造松弛矩陣優(yōu)化算法并進(jìn)行最優(yōu)性分析是值得研究的課題.

如何得到有限頻域性能指標(biāo)的充要條件?文獻(xiàn)[43]給出的廣義KYP引理建立了常規(guī)一維線性系統(tǒng)的有限頻域性能指標(biāo)與線性矩陣不等式之間的等價關(guān)系.遺憾的是,文獻(xiàn)[67,98]給出的二維廣義KYP引理僅僅提供了二維系統(tǒng)有限頻域性能指標(biāo)的線性矩陣不等式充分條件.同樣的問題也存在于文獻(xiàn)[115]中線性時間–空間模型的廣義KYP引理以及文獻(xiàn)[79,81]中線性時滯系統(tǒng)的有限頻域有界實引理.目前為止,關(guān)于這些比一般線性系統(tǒng)更加復(fù)雜的動態(tài)系統(tǒng)的有限頻域性能指標(biāo),還未見易于處理的廣義KYP引理充要條件報道.如何得到復(fù)雜動態(tài)系統(tǒng)保守性更低或無保守性的廣義KYP引理是重要且具有挑戰(zhàn)性的課題(即便考察全頻域性能指標(biāo),如何獲得相應(yīng)的充要條件也是開放問題).在該問題上取得的基礎(chǔ)理論成果不僅能豐富廣義KYP引理的內(nèi)容,也將促進(jìn)相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展.

如何更好地解釋非線性/時變系統(tǒng)的有限頻域性能指標(biāo)?注意前面介紹的大多數(shù)結(jié)果的研究對象都是線性時不變系統(tǒng)(盡管可能是多維系統(tǒng)或含有定常時滯等).線性時不變系統(tǒng)可以用傳遞函數(shù)進(jìn)行描述,其頻域意義顯而易見,進(jìn)而能夠非常直觀地理解由式(5)定義的有限頻域性能指標(biāo)的系統(tǒng)意義.由于一般情況下傳遞函數(shù)并不適用于處理非線性/時變系統(tǒng),所以就不能在非線性/時變系統(tǒng)中直接套用類似式(5)的有限頻域描述.前面指出,Iwasaki等在文獻(xiàn)[125]中推導(dǎo)出了頻域不等式(5)的時域等價關(guān)系(參見式(9)和(10))并從信號角度提供了式(10)一種直觀的物理解釋(系統(tǒng)狀態(tài)變化“快慢”).對于線性時不變系統(tǒng),狀態(tài)變化的“快慢”可以簡單地認(rèn)為由輸入信號變化的“快慢”決定—對于三角函數(shù)形式的輸入信號,當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時,狀態(tài)的變化頻率與輸入的變化頻率相同.對于非線性/時變系統(tǒng),狀態(tài)的變化和輸入的變化之間不再有這種簡單的決定關(guān)系.因此,就非線性/時變系統(tǒng)而言,很難直觀地回答究竟怎樣的輸入信號才能使式(10)成立.鑒于此,盡管已有不少文獻(xiàn)直接使用與式(10)類似的時域不等式進(jìn)行非線性/時變系統(tǒng)的有限頻域分析與設(shè)計,但是所得結(jié)果的物理意義并不明確.未來的工作有必要進(jìn)一步理清有限頻域性能指標(biāo)在非線性/時變系統(tǒng)中的定義、使用和解釋等一系列基礎(chǔ)問題.

如何擴展廣義KYP引理的應(yīng)用外延?開發(fā)一項工具的終極目標(biāo)都是將其用于解決所面臨的問題.拓展廣義KYP引理的應(yīng)用外延是一個寬泛和開放的提問,全面地回答該問題超過了筆者知識所能及的范圍.下面簡單地從兩個方面進(jìn)行說明.1)正如我們在第4.2節(jié)指出的,廣義KYP引理事實上提供了一種非光滑分析的工具.基于這種理解,有可能將廣義KYP引理用于處理其他更加復(fù)雜的理論問題,此為其在理論方面的作用.這些復(fù)雜的理論問題既有可能來自于系統(tǒng)和控制領(lǐng)域某些復(fù)雜系統(tǒng)的分析與設(shè)計問題(比如時滯無關(guān)穩(wěn)定性分析和鎮(zhèn)定問題[134?135]),也有可能來自于其他工程學(xué)科中的理論問題(比如信號處理中D-S調(diào)制器的優(yōu)化設(shè)計問題[131,133]),還有可能是應(yīng)用數(shù)學(xué)中的優(yōu)化問題(比如偏應(yīng)用數(shù)學(xué)的原子分解的半定規(guī)劃方法[139])等.2)另一方面,我們在第4.1節(jié)指出,廣義KYP引理僅僅是提供了一種解決問題的工具.如果不考慮問題的具體工程背景,就不清楚也很難保證在工程問題中使用廣義KYP引理的合理性.盡管已有研究成果很好地展現(xiàn)了廣義KYP引理在解決一些實際有限頻域問題方面的良好效果,但是如何將更多復(fù)雜的工程實際問題轉(zhuǎn)化為有限頻域分析與設(shè)計問題并最大限度地發(fā)揮廣義KYP引理的實用性值得深入研究.這不僅僅是理論研究人員的責(zé)任,也需要工程技術(shù)人員的參與,從而最終為工程界提供實用且易于理解接受的控制系統(tǒng)分析和設(shè)計方法.

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李賢偉 新加坡南洋理工大學(xué)博士后. 2015年獲得哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)博士學(xué)位.主要研究方向為多智能體系統(tǒng),魯棒控制,有限頻域方法及其應(yīng)用.

E-mail:lixianwei1985@gmail.com

(LI Xian-Wei Postdoctor at Nanyang Technological University, Singapore. He received his Ph.D. degree from Harbin Institute of Technology in 2015. His research interest covers multi-agent systems,robust control,finite frequency methods and their applications.)

高會軍 哈爾濱工業(yè)大學(xué)教授,IEEE會士.2005年獲哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)博士學(xué)位.主要研究方向為網(wǎng)絡(luò)化控制,魯棒控制與濾波,時滯系統(tǒng)及其工程應(yīng)用.本文通信作者.

E-mail:hjgao@hit.edu.cn

(GAO Hui-Jun Professor at Harbin Institute of Technology.He is a Fellow of IEEE.He received his Ph.D.degree from Harbin Institute of Technology in 2005.His research interest covers network-based control,robust control/filter theory,timedelay systems and their engineering applications.Corresponding author of this paper.)

An Overview of Generalized KYP Lemma Based Methods for Finite Frequency Analysis and Design

LI Xian-Wei1GAO Hui-Jun2

Frequency-domain methods are a fundamental research approach in control theory and engineering.Many control problems can be viewed as analysis and design issues of finite frequency specifications.The generalized Kalman-Yakubovich-Popov(KYP)lemma,which bridges frequency-domain methods(transfer functions)and time-domain methods (state-space models),has been one of the hotspots in systems and control theory in recent years.In this paper,the background and significance of finite frequency analysis and design are first introduced from signal and system perspectives, respectively.Three main research methods(classical control theory,frequency-weighting strategy and generalized system specification based methodology)are discussed with respect to their individual advantages and disadvantages.The body of the generalized KYP lemma is then introduced briefly,which is followed by a detailed summary of main directions and recent progresses in finite frequency analysis and design based on the generalized KYP lemma.Finally,a few notes are presented,which are important but commonly overlooked in applying the generalized KYP lemma,and a few critical problems in the field are also pointed out,which are worth future investigation.

Finite frequency,generalized Kalman-Yakubovich-Popov(KYP)lemma,controller design,filtering,model reduction

李賢偉,高會軍.有限頻域分析與設(shè)計的廣義KYP引理方法綜述.自動化學(xué)報,2016,42(11):1605?1619

Li Xian-Wei,Gao Hui-Jun.An overview of generalized KYP lemma based methods for finite frequency analysis and design.Acta Automatica Sinica,2016,42(11):1605?1619

2016-04-01 錄用日期2016-08-15

Manuscript received April 1,2016;accepted August 15,2016

國家自然科學(xué)基金(61333012,61329301),東北大學(xué)流程工業(yè)綜合自動化國家重點實驗室資助

Supported by National Natural Science Foundation of China (61333012,61329301),Key Laboratory of Integrated Automation for the Process Industry,Northeast University

本文責(zé)任編委張衛(wèi)東

Recommended by Associate Editor ZHANG Wei-Dong

1.南洋理工大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院新加坡639798新加坡 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)智能控制與系統(tǒng)研究所哈爾濱150080中國

1.School of Electrical and Electronic Engineering,Nanyang Technological University,Singapore 639798,Singapore 2.Research Institute of Intelligent Control and Systems,Harbin Institute of Technology,Harbin 150080,China

DOI 10.16383/j.aas.2016.c160303