基于RealizedGARCH模型的滬深300指數(shù)波動(dòng)率研究

關(guān) 璐,郭名媛

(天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部,天津 300072)

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基于RealizedGARCH模型的滬深300指數(shù)波動(dòng)率研究

關(guān) 璐,郭名媛

(天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部,天津 300072)

基于中國滬深300指數(shù),采用5min高頻數(shù)據(jù)計(jì)算已實(shí)現(xiàn)極差作為波動(dòng)率估計(jì)量。建立RealizedGARCH模型,并假設(shè)收益率殘差分別服從正態(tài)分布和廣義雙曲線分布。實(shí)證結(jié)果表明:無論是選擇已實(shí)現(xiàn)方差還是已實(shí)現(xiàn)極差作為已實(shí)現(xiàn)測度,服從廣義雙曲線分布的RealizedGARCH模型擬合效果都比服從正態(tài)分布的RealizedGARCH模型要好。無論殘差服從廣義雙曲線分布還是正態(tài)分布,采用已實(shí)現(xiàn)極差作為已實(shí)現(xiàn)測度的RealizedGARCH模型的擬合效果都比采用已實(shí)現(xiàn)方差作為已實(shí)現(xiàn)測度的RealizedGARCH模型要好。另一方面,從似然值提高的程度來看,改變波動(dòng)率估計(jì)量比改變殘差分布帶來更大的似然值提高,說明選擇一個(gè)合適的波動(dòng)率估計(jì)量對RealizedGARCH模型擬合效果起著至關(guān)重要的作用。

RealizedGARCH模型;已實(shí)現(xiàn)波動(dòng);已實(shí)現(xiàn)極差;廣義雙曲線分布;正態(tài)分布

準(zhǔn)確的擬合波動(dòng)率在金融領(lǐng)域有著重大意義,這就意味著建立一個(gè)合適的波動(dòng)率模型至關(guān)重要。廣義自回歸條件異方差(GARCH,generalizedautoregressiveconditionalheteroskedasticity)模型是目前應(yīng)用最廣泛的模型。與傳統(tǒng)的GARCH模型利用日數(shù)據(jù)計(jì)算不同,已實(shí)現(xiàn)廣義自回歸條件異方差(RealizedGARCH,realizedgeneralizedautoregressiveconditionalheteroskedasticity)模型采用高頻數(shù)據(jù)度量的波動(dòng)率對金融市場波動(dòng)進(jìn)行研究。相比傳統(tǒng)的日數(shù)據(jù),高頻數(shù)據(jù)由于記錄了每個(gè)間隔的價(jià)格,因而包含了更多的信息,能夠更加準(zhǔn)確地估計(jì)波動(dòng)率,也可以更好地解釋和描繪收益率的劇烈波動(dòng)。當(dāng)把高頻數(shù)據(jù)應(yīng)用到波動(dòng)率模型中時(shí),選擇一個(gè)合適的波動(dòng)率估計(jì)量十分重要。Andersen等[1]首次將“日內(nèi)收益平方和”作為波動(dòng)率的估計(jì)量,并利用二次變差理論證明,當(dāng)抽樣頻率趨于無窮大時(shí),已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)(RV,realizedvolatility)是積分波動(dòng)(IR,integratedvolatility)的一致估計(jì)量。相比于已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)估計(jì)量,已實(shí)現(xiàn)極差(RR,realizedrange)通過計(jì)算每個(gè)時(shí)間間隔的最高價(jià)和最低價(jià)之差度量波動(dòng),包含更多的信息。Martin等[2]利用最高價(jià)和最低價(jià)得到RR并證明RR比RV更有效,因?yàn)镽R包含了所有樣本點(diǎn)的信息,且其方差要比RV的小。

鑒于GARCH模型在日數(shù)據(jù)上的成功表現(xiàn),很多學(xué)者嘗試將已實(shí)現(xiàn)測度結(jié)合到GARCH模型的方差方程中。但這類模型并不是完整的模型,因?yàn)橐褜?shí)現(xiàn)測度是外生變量,并沒有真正融合到模型中。Hansen等[3]提出的RealizedGARCH模型用一個(gè)測量方程將已實(shí)現(xiàn)測度和隱含收益率聯(lián)系起來,并在方程中加入杠桿函數(shù)體現(xiàn)非對稱效應(yīng),只用一個(gè)隱含變量就實(shí)現(xiàn)了收益率、波動(dòng)率、已實(shí)現(xiàn)測度的聯(lián)合建模。由于已實(shí)現(xiàn)測度是作為內(nèi)生變量引入方程的,RealizedGARCH模型是一個(gè)完整的模型,而且通過偽極大似然估計(jì)(QMLE,quasimaximumlikelihoodestimation)就可以方便的計(jì)算模型參數(shù)。隨后Hansen等[4]在原有模型GARCH方程的基礎(chǔ)上增加一個(gè)杠桿函數(shù),建立了已實(shí)現(xiàn)指數(shù)廣義自回歸條件異方差(RealizedEGARCH,realizedexponentialgeneralizedautoregressiveconditionalheteroskedasticity)模型。

此后,國內(nèi)外學(xué)者對RealizedGARCH模型的有效性進(jìn)行了檢驗(yàn):Watanabe等[5]在三種不同殘差分布條件下采用已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)和已實(shí)現(xiàn)核估計(jì)預(yù)測在險(xiǎn)價(jià)值(VaR,valueatrisk)和預(yù)期損失(ES,expectedshortfall)。通過比較似然比和失敗率,最后認(rèn)為利用RV且殘差服從skewedt分布的RealizedGARCH模型預(yù)測效果最好。Solibakke[6]用RealizedGARCH模型擬合原油期貨合約,研究基于不同頻率的高頻數(shù)據(jù)計(jì)算以實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率和不同分布下模型的擬合效果,最后通過半似然函數(shù)值與傳統(tǒng)GARCH模型比較。黃雯等[7]將傳統(tǒng)的RealizedGARCH模型拓展成殘差項(xiàng)服從偏t分布,然后用兩種方法預(yù)測VaR,并與傳統(tǒng)GARCH模型和指數(shù)GARCH(EGARCH,exponentialGARCH)模型比較。王天一等[8]討論了不同類型的RealizedGARCH模型與傳統(tǒng)GARCH模型、EGARCH模型的比較。

當(dāng)考慮到殘差分布的影響時(shí),通常為了計(jì)算簡便,假設(shè)收益率殘差服從正態(tài)分布。然而,收益率序列具有尖峰厚尾的特征,正態(tài)分布并不能準(zhǔn)確地描述收益率的分布特征,這會(huì)對模型的擬合效果產(chǎn)生一定的影響。胡煒童等[9]比較了三種殘差分布對四種GARCH類模型預(yù)測能力的影響。而廣義雙曲線分布(GH,generalizedhyperbolicdistribution)的優(yōu)勢在于:學(xué)生t分布、正態(tài)逆高斯分布(NIG,normalinversegaussian)、方差伽馬分布(VG,variancegamma) 和雙曲線分布(hyperbolicdistribution)都是GH分布的特殊形式,這些分布都被證實(shí)可以很好地?cái)M合收益率尖峰厚尾的特征。

我們將GH分布應(yīng)用到RealizedGARCH模型中,比較了收益率殘差分別服從正態(tài)分布和廣義雙曲線分布的RealizedGARCH模型的優(yōu)劣。同時(shí),比較了分別將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)和已實(shí)現(xiàn)極差作為已實(shí)現(xiàn)測度的RealizedGARCH模型的擬合效果。

1 研究方法

1.1 Realized GARCH模型

RealizedGARCH模型是Hansen等[3]在GARCH模型基礎(chǔ)上,通過加入一個(gè)測量方程將高頻數(shù)據(jù)和隱含波動(dòng)率聯(lián)系起來的完整模型。由于是利用高頻數(shù)據(jù)而不是日數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,RealizedGARCH模型相比傳統(tǒng)GARCH模型而言包含了更多信息。而相比于其他利用高頻數(shù)據(jù)擬合波動(dòng)率的模型,RealizedGARCH模型不僅是一個(gè)封閉的完整模型,其計(jì)算方法也很簡便,不需要使用蒙特卡洛模擬,僅僅利用偽極大似然估計(jì)方法就可以求出參數(shù)值。

RealizedGARCH模型可以表示為

(1)

(2)

xt=ξ+δht+τ(zt)+ut,

(3)

式(1)為收益方程,式(2)為GARCH方程,式(3)為測量方程。

由于對數(shù)形式的金融序列計(jì)算簡便,對數(shù)形式的Realized GARCH(1,1)模型可以表示為

(4)

loght=ω+αlogxt-1+βloght-1,

(5)

logxt=ξ+δloght+τ(zt)+ut,ut～N(0,λ)。

(6)

把測量方程(6)帶入到GARCH方程(5)中,得到loght=(ω+αξ)+(β+αδ)loght-1+ατ(zt)+αut。

(7)

隱含波動(dòng)率滯后項(xiàng)的系數(shù)為β+αδ,反映了波動(dòng)率的長記憶性,稱之為持久性系數(shù),該系數(shù)應(yīng)該接近于1。

RealizedGARCH模型的計(jì)算比其他利用高頻數(shù)據(jù)求波動(dòng)率的模型較為簡便,利用偽極大似然估計(jì)方法即可求得模型的參數(shù)。

1.2 已實(shí)現(xiàn)測度

已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率是最早應(yīng)用高頻數(shù)據(jù)來估計(jì)波動(dòng)率的估計(jì)量,通過計(jì)算日內(nèi)收益率的平方和可以簡便的估計(jì)波動(dòng)率,因而得到了廣泛的應(yīng)用。

已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的表達(dá)式為[1]

(8)

其中:t為天數(shù);i為第t日內(nèi)的第i個(gè)時(shí)間間隔;m為一天內(nèi)的樣本間隔數(shù)。

由于RV受微觀市場結(jié)構(gòu)噪音影響不容忽略,學(xué)者們開始轉(zhuǎn)向其他的已實(shí)現(xiàn)測度,如已實(shí)現(xiàn)極差估計(jì)量。Martin等[2]將這一思想應(yīng)用到高頻數(shù)據(jù)范疇,并證明基于相同的每日間隔計(jì)算的已實(shí)現(xiàn)極差要比已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)更有效。

已實(shí)現(xiàn)極差的表達(dá)式為[2]

(9)

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計(jì)特征

滬深300指數(shù)自2005年4月份推出以來,已經(jīng)平穩(wěn)健康的運(yùn)行了11年之久,其成分股包含了滬深兩市各個(gè)行業(yè)的領(lǐng)導(dǎo)企業(yè),研究其運(yùn)行情況對我們更好地了解金融市場有著重要意義。以滬深300指數(shù)為研究對象,應(yīng)用高頻數(shù)據(jù)討論已實(shí)現(xiàn)測度、殘差分布對RealizedGARCH模型擬合波動(dòng)率的影響,最終選出擬合效果最好的模型。

樣本區(qū)間為2010年1月4日—2015年5月29日,共1 310個(gè)交易日。至于高頻數(shù)據(jù)的頻率,很多學(xué)者通過實(shí)證認(rèn)為5min的時(shí)間間隔較為合理,因?yàn)?min的頻率既可以保證收益率序列含有充分的信息,也可以將高頻數(shù)據(jù)帶來的市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲控制在合理的范圍內(nèi),因此,選擇5min作為高頻數(shù)據(jù)的抽樣頻率,每一個(gè)時(shí)間間隔都包含四種數(shù)據(jù),即開盤價(jià)、收盤價(jià)、最高價(jià)和最低價(jià)。金融資產(chǎn)收益率可以簡單的通過對數(shù)化價(jià)格差來計(jì)算,考慮到計(jì)算出來的收益率過小,為了方便研究,將結(jié)果擴(kuò)大100倍。滬深300指數(shù)已實(shí)現(xiàn)方差和已實(shí)現(xiàn)極差時(shí)間序列分別見圖1、圖2。

從圖1和圖2可以看出,已實(shí)現(xiàn)方差和已實(shí)現(xiàn)極差都表現(xiàn)出了明顯的波動(dòng)聚集效應(yīng),特別是在2015年初,這有可能是由春節(jié)導(dǎo)致的。另外可以看出,已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的方差要比已實(shí)現(xiàn)極差大,波動(dòng)更加劇烈。

圖1 滬深300指數(shù)已實(shí)現(xiàn)方差時(shí)間序列Fig.1 Realized variance time sequence of Shanghai-Shenzhen 300 Index

圖2 滬深300指數(shù)已實(shí)現(xiàn)極差時(shí)間序列Fig.2 Realized range time sequence of Shanghai-Shenzhen 300 Index

滬深300指數(shù)已實(shí)現(xiàn)測度的統(tǒng)計(jì)特征見表1。由表1可以看出,已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)RV的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都遠(yuǎn)大于已實(shí)現(xiàn)極差RR。波動(dòng)率估計(jì)量也都表現(xiàn)出了明顯的尖峰厚尾特征。JB統(tǒng)計(jì)值說明兩個(gè)序列都顯著地拒絕了正態(tài)分布假設(shè)。

2.2 Realized GARCH 模型的估計(jì)結(jié)果

根據(jù)以往的實(shí)證研究經(jīng)驗(yàn),將RealizedGARCH階數(shù)定為(1,1)。選擇5min的高頻數(shù)據(jù)樣本,分別比較不同波動(dòng)估計(jì)量和殘差分布對模型擬合波動(dòng)率效果的影響。判斷模型擬合效果的依據(jù)為對數(shù)似然函數(shù)值,值越大說明擬合效果越好,模型越有效。RealizedGARCH模型參數(shù)的估計(jì)采用極大似然估計(jì)法。假設(shè)模型殘差分別服從GH分布和正態(tài)分布,已實(shí)現(xiàn)測度分別選擇RV和RR,得到RealizedGARCH模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果,如表2所列。

表1 滬深300指數(shù)已實(shí)現(xiàn)測度的統(tǒng)計(jì)特征

表2 基于Realized GARCH(1,1)模型的估計(jì)結(jié)果

從表2可以看出,在四種組合情況下,除了杠桿系數(shù)η1以外,RealizedGARCH模型的所有系數(shù)幾乎都是顯著的,且持續(xù)系數(shù)π全部接近于1,說明滬深300指數(shù)波動(dòng)率存在較強(qiáng)的可持續(xù)性。無論是選擇RV還是RR作為已實(shí)現(xiàn)測度,服從GH分布的RealizedGARCH模型擬合效果都比服從正態(tài)分布的RealizedGARCH模型要好。無論殘差服從GH分布還是正態(tài)分布,采用RR作為已實(shí)現(xiàn)測度的RealizedGARCH模型的擬合效果都比采用RV作為已實(shí)現(xiàn)測度的RealizedGARCH模型要好。

似然值的提高證明了GH分布相對于正態(tài)分布的優(yōu)越性。另一方面,從似然值提高的程度來看,改變波動(dòng)率估計(jì)量比改變殘差分布帶來更大的似然值提高,這說明選擇一個(gè)合適的波動(dòng)率估計(jì)量對RealizedGARCH模型擬合效果起著至關(guān)重要的作用。

3 結(jié)論

用RealizedGARCH模型來擬合滬深300指數(shù)波動(dòng)率,為了研究不同因素對模型擬合效果的影響,我們分別比較波動(dòng)率估計(jì)量選擇RV和RR時(shí),收益率殘差服從正態(tài)分布和GH分布時(shí),RealizedGARCH模型對數(shù)似然函數(shù)值的變化。實(shí)證結(jié)果表明,RR比RV更適合作為已實(shí)現(xiàn)測度來估計(jì)波動(dòng)率。同時(shí),GH分布比正態(tài)分布可以更好地描述收益率的分布情況。同時(shí),似然函數(shù)的變化程度也表明,相比于殘差分布的影響,波動(dòng)率估計(jì)量的選擇對RealizedGARCH模型擬合效果影響更大,因此建議在研究RealizedGARCH模型時(shí)著重考慮已實(shí)現(xiàn)測度的影響,選擇一個(gè)合適的波動(dòng)率估計(jì)量。

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Shanghai-Shenzhen300IndexVolatilityStudyBasedonRealizedGARCHModel

GuanLu,GuoMingyuan

(CollegeofManagementandEconomics,TianjinUniversity,Tianjin300072,China)

BasedonChineseShanghai-Shenzhen300Indexandusethe5minuteshighfrequencydatatocalculateandtaketherealizedrangeasthevolatilityestimatedvalue.EstablishtheRealizedGARCHmodelandassumetheyieldrateresidualerrorrespectivelyobeythenormaldistributionandgeneralizedhyperbolicdistribution.Empiricalresultsshowthatnomattertakerealizedvarianceorrealizedrangeastherealizedmeasure,thefittingresultsofRealizedGARCHmodelthatobeythegeneralizedhyperbolicdistributionisalwaysbetterthanitofRealizedGARCHmodelthatobeythenormaldistribution.Nomattertheresidualerrorobeysthenormaldistributionorgeneralizedhyperbolicdistribution,thefittingresultsofRealizedGARCHmodelthattakerealizedrangeastherealizedmeasureisalwaysbetterthanitofRealizedGARCHmodelthattakerealizedvarianceastherealizedmeasure.Ontheotherhand,inthetermofimprovementoflikelihoodvalue,changingthevolatilityestimatedvaluewillbringouthigherimprovementoflikelihoodvaluethanchangingresidualerrordistribution,itmeansthatselectaappropriatevolatilityestimatedvaluehassignificantinfluenceonthefittingresultsofRealizedGARCHmodel.

RealizedGARCHmodel;Realizedvolatility;Realizedrange;Generalizedhyperbolicdistribution;Normaldistribution

GuanLu,GuoMingyuan.Shanghai-Shenzhen300IndexVolatilityStudyBasedonRealizedGARCHModel[J].JournalofGansuSciences,2016,28(6):123-127.[關(guān)璐,郭名媛.基于RealizedGARCH模型的滬深300指數(shù)波動(dòng)率研究[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2016,28(6):123-127.]

10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.06.024.

2016-04-26;

2016-08-17.

國家社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目(14CTJ012).

關(guān)璐(1992-),女,內(nèi)蒙古包頭人,碩士研究生,研究方向?yàn)閿?shù)理金融.E-mail:guanguan1013@126.com.

郭名媛.E-mail:leu2@163.com.

F832.51;F

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