考慮質量損失的退化系統(tǒng)維護建模

周炳海, 劉子龍

(同濟大學 機械與能源工程學院,上海 201804)

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考慮質量損失的退化系統(tǒng)維護建模

周炳海, 劉子龍

(同濟大學 機械與能源工程學院,上海 201804)

為有效解決退化系統(tǒng)的預防性維護問題,以“兩設備帶緩沖區(qū)”的系統(tǒng)模型為研究對象,綜合考慮產(chǎn)品質量損失和緩沖區(qū)的影響,建立以最小化單位運行成本為目標的預防性維護模型.基于田口質量損失理論,構建系統(tǒng)狀態(tài)與質量損失間的函數(shù)關系；針對退化系統(tǒng)中的瓶頸設備和非瓶頸設備,分別建立基于可靠度和時間的預防性維護策略.根據(jù)約束理論,以瓶頸設備的預防性維護作為機會維護(OM)的決策點,利用期望成本節(jié)余函數(shù)來判斷是否對非瓶頸設備進行機會維護.利用迭代算法尋找最優(yōu)決策組合,并通過蒙特卡羅仿真對算例進行分析.結果表明,所建模型是可行且有效的；與計劃維護策略相比,機會維護(OM)策略在降低成本和提高產(chǎn)出方面的表現(xiàn)更優(yōu).

退化系統(tǒng)；質量損失；緩沖區(qū)容量；機會維護；預防性維護；蒙特卡洛法

合理的預防性維護策略可以有效地保障系統(tǒng)的可靠性、提高產(chǎn)出并降低運行成本.緩沖區(qū)的設置能夠有效地減少因上游設備故障或計劃維護而導致的生產(chǎn)系統(tǒng)停滯,因此,帶有緩沖區(qū)的生產(chǎn)系統(tǒng)的預防性維護問題一直受到學界的關注.Ribeiro等[1]在已知預防性維護策略的條件下,利用整數(shù)規(guī)劃求解了最優(yōu)緩沖區(qū)的大小.Dimitrakos等[2]在已知緩沖區(qū)容量的條件下,應用半馬爾可夫鏈(Semi-Markov)求解了上游設備的最優(yōu)維護狀態(tài)點.Meller等[3]提出了以緩沖區(qū)容量來觸發(fā)上游設備預防性維護的策略.成國慶等[4]在假設上游設備“修復如舊”的條件下,以最小化系統(tǒng)運行成本為目標,運用幾何過程建立了退化系統(tǒng)維修更換模型.Zequeira等[5]以在上游設備停機時最大化滿足下游設備所需為目標,研究了緩沖區(qū)大小和預防性維護周期的優(yōu)化.Karamatsoukis等[6]在文獻[2]的基礎上利用離散時間馬爾科夫決策模型研究了帶緩沖區(qū)的串聯(lián)設備預防性維護問題.余佳迪等[7]同時考慮上、下游設備的隨機退化，提出了基于周期的預防性維護策略.Zhou等[8]針對帶有緩沖區(qū)的串行系統(tǒng)提出了基于動態(tài)規(guī)劃的機會維護策略.Li等[9]研究了多機串行系統(tǒng)的機會維護和調度聯(lián)合優(yōu)化問題.Javid等[10]研究了機會維護在基于狀態(tài)的預防性維護下的作用效果.Sun等[11]考慮了刀具退化對質量的影響,以系統(tǒng)成本最小化為目標,建立了多設備系統(tǒng)的預防性維護模型.Radhoui等[12]對“非完美”生產(chǎn)系統(tǒng)提出了質量控制與預防性維護的聯(lián)合優(yōu)化策略.Lesage等[13]對質量控制在提高維護水平中的潛在作用提出了評價方法.Panagiotidou等[14]提出了利用休哈特圖(Shewhart chart)來安排預防性維護的模型.Radhoui等[15]綜合考慮質量損失和預防性維護對退化系統(tǒng)成本的影響,提出了基于不合格品數(shù)的預防性維護觸發(fā)機制.上述預防性維護模型通常未區(qū)分設備種類而采用單一的預防性維護策略,將產(chǎn)品的質量損失和緩沖區(qū)的容量同時納入考慮的研究則鮮有報道.

本文在前期研究[16]的基礎上,以約束理論(theory of constraints, TOC)為基礎，綜合考慮產(chǎn)品的質理損失和緩沖區(qū)的容量，針對退化系統(tǒng)中不同設備的“角色”，確定不同的預防性維護策略,以實現(xiàn)在給定任務期內單位運行成本的最小化.在此基礎上,以瓶頸設備的預防性維護作為機會維護的決策點,建立非瓶頸設備的動態(tài)機會維護模型,實現(xiàn)成本的進一步降低.

1 問題描述

根據(jù)TOC可知,瓶頸設備決定了系統(tǒng)的產(chǎn)出,因此可以將系統(tǒng)作如下假設：瓶頸設備的上游機器為非能力約束資源(non-capacity constraint resources, NCCR),視為供應機M1；瓶頸設備及其后面的機器為能力約束資源(capacity constraint resources, CCR),視為瓶頸機M2.退化系統(tǒng)包括供應機和瓶頸機以及兩者之間的緩沖區(qū),如圖1所示.當緩沖區(qū)未滿時,供應機以速率p將原材料加工為半成品,存入緩沖區(qū),待其滿后,速率保持與瓶頸機的速率一致；瓶頸機以速率d從緩沖區(qū)中取走半成品加工成成品.

為了更好地描述本文提出的維護建模方法,結合生產(chǎn)實際,作出如下假設.1)緩沖區(qū)的最大容量為Bmax,單位產(chǎn)品的庫存成本率為ch,缺貨成本率為cs.2)兩臺設備的狀態(tài)都隨使用時間而退化,因此在每個時期末需要對產(chǎn)品質量和設備狀態(tài)進行檢測,以確定本階段產(chǎn)品質量以及下一時間段內的生產(chǎn)和維護決策,檢測可以即時完成.3)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為全新,各設備的故障率hn(t)服從威布爾分布W[βn,ηn],當設備狀態(tài)達到或超過臨界點時則設備發(fā)生故障,故障發(fā)生后立即采用“小修”模式維修,且“修復如舊”,小修成本率為cn,cm,其中n=1,2(1為供應機,2為瓶頸機).4)由于M1是NCCR,為了方便維護,采用固定周期的預防性維護和機會維護；M2是CCR,為保證其可靠性,采用基于設備可靠度的預防性維護策略；維護成本率為cn,pm,且cn,pm

圖1 帶緩沖區(qū)的雙機系統(tǒng)模型Fig.1 Model of two machines system with buffer

2 問題建模

2.1 質量損失

實際生產(chǎn)中,設備狀態(tài)的退化(如：刀具磨損等)會造成加工品的規(guī)格參數(shù)波動,并且隨著設備退化,這種波動會更大，且這種波動會造成產(chǎn)品質量損失.根據(jù)田口質量損失公式[17],質量損失函數(shù)可表述為

G(m)=K(m-m0)2.

(1)

式中：K為不依賴m的質量損失函數(shù)系數(shù),m為產(chǎn)品質量的實測值,m0為產(chǎn)品質量的目標值.

為了描述產(chǎn)品質量特性與設備狀態(tài)間的關系,在文獻[11]的基礎上,結合本文設備狀態(tài)的描述形式,構造兩者間的關系函數(shù)如下:

mj(τ)=α[1-exp (-S(τ)]+m0+δ.

(2)

式中：mj(τ)為τ階段第j個產(chǎn)品的質量；α為影響系數(shù)；S(τ)表示τ時設備狀態(tài)；δ是未納入模型的噪音,且δ～N(0,σ2).若設備在某一時間段[τi,τi+1]內的產(chǎn)量為Q(τi),則可求該時間段內的質量損失為

(3)

2.2 瓶頸機維護建模

根據(jù)假設3)和4),當M2的可靠度達到預定閾值Rpm時需要對其進行維護.可靠性方程為

(4)

式中：t為時間,T2,l為M2的第l個維護周期.在τ時刻,設備的可靠度函數(shù)為

在實際生產(chǎn)中，一方面設備隨役齡的增加故障 率會逐漸提高，另一方面預防性維護通常都“修復非 新”．為了綜合這兩方面的考慮，引入役齡遞減因子 a和故障率遞增因子b，則瓶頸設備的故障率公式 h2(l)可表示為

根據(jù)假設2)，在每個時期末的檢測會根據(jù)設備 的狀態(tài)作出下一時期的生產(chǎn)與維護決策，變量的表 示如下：

(7)

(8)

式中：X(τ)表示時刻τ的生產(chǎn)決策,U(τ)表示時刻τ的維護決策.由此,在任意時刻τI,瓶頸機的狀態(tài)可以描述為

(1-X2(τi))[ΔsU2(τi)+(1-U2(τi))S2(τk)]}.

(9)

式中：Δs是單位時間段內的退化量.

由假設4),當R(τI)≤Rpm時,需要進行預防性維護.若當前τI為維護起始時時刻,維護時長為tpm,則滿足

(10)

(11)

其中，式(10)為生產(chǎn)約束,表示維護階段不進行生產(chǎn)；式(11)為維護約束,表示該階段為預防性維護.

當R(τI)>Rpm且當前狀態(tài)S2(τI)大于失效閾值S2,bd時,進行“小修”,即故障維修(correctivemaintenance,CM),維護時長為tcm,并滿足

(12)

(13)

其中，式(12)為生產(chǎn)約束,表示“小修階段”不進行生產(chǎn)；式(13)為維修約束,表示該階段為小修.

由以上策略可知預防性維護的間隔期不一定相等,因此,模型以整個加工周期內的單位運行成本最小化為目標.所考慮的成本因素有質量損失、維護成本和懲戒成本,計算方法如下.

(14)

(15)

式中：Δτ為[τi,τi+1]的時長,本文取Δτ=1.式(14)為產(chǎn)量約束,保證瓶頸機的產(chǎn)量不會超過期初庫存量與本期供應機產(chǎn)量之和.式(15)為產(chǎn)能約束,保證產(chǎn)量不超出瓶頸機的能力.總的質量損失為

(16)

(17)

3)懲戒成本：瓶頸機決定了整個系統(tǒng)的產(chǎn)出,而實際產(chǎn)出必然低于理想值,為了盡量縮小差距,施以懲戒成本.假設單位成本為c2,th,則整個任務周期內的懲罰成本為

(18)

此外,當供應機處于維護狀態(tài)且緩沖區(qū)內的在制品消耗殆盡時,會導致瓶頸停產(chǎn),發(fā)生缺貨.缺貨成本在本節(jié)不予考慮,將在緩沖區(qū)建模中予以體現(xiàn).

2.3 供應機維護建模

2.3.1 固定周期的計劃維護 對于供應機,采用固定周期的預防性維護策略.假設維護周期為T1,pm,整個任務周期可劃分為N次.假設前一次維護結束時刻為τk.

(19)

式(19)約束了預防性維護階段不進行生產(chǎn).

(20)

式(20)約束了“小修”階段不進行生產(chǎn).

基于以上維護策略,供應機在任務期內發(fā)生的成本如下.

1)質量損失：每個時期τ內的產(chǎn)量為

(21)

(22)

(23)

3)懲戒成本：當緩沖區(qū)已滿且瓶頸機處于維護時,供應機將發(fā)生閑置,造成能力上的浪費.若單位能力懲罰成本為c1,d,則總的能力懲罰為

(24)

E(ccm)=c1,cmΔtcm=

(25)

式中：“new”為新周期,“old”為原周期,Δtcm為小修的期望總時長.

期望節(jié)省的質量損失為

(26)

期望節(jié)省的供應機閑置損失與瓶頸機饑餓成本的總和為

(27)

式中：第一個大括號內的式子表示進行機會維護的成本,第二個大括號內的式子表示按原計劃維護的成本.

此外,由于供應機提前維護,造成了設備剩余可用能力的浪費,設單位懲罰成本為cw,則總的能力浪費為

(28)

由式(25)～(28)可得，在τb時刻若進行機會維護的期望成本節(jié)余函數(shù)為

(29)

2.4 緩沖區(qū)建模

假設單位產(chǎn)品庫存成本率為ch,缺貨成本為cs,則在[τi,τi+1]內的緩沖區(qū)容量可表示為

B(τi)=B(τi-1)+p(1-|X1(τi)-1|)Δτ-

dΔτ(1-|X2(τi)-1|) ，

(30)

B(τi)≤Bmax.

(31)

在此,引入二進制輔助變量δ(τ),用1表示發(fā)生庫存成本,0表示發(fā)生缺貨成本,即

(32)

則[τi,τi+1]以及整個任務期內的緩沖區(qū)成本可分別表示為

cb(τi)= 0.5chδ(τi)|B(τi)-B(τi-1)|+

cs(1-δ(τi))|B(τi)| ,

(33)

(34)

G2(Tlen)+C2,m+C2,th+Cb].

(35)

約束：式(1)～(34)并且0

3 數(shù)值分析

圖2 設備狀態(tài)與質量損失間的關系Fig.2 Relationship of machine state and quality loss

如圖2所示為質量特性與設備狀態(tài)間的函數(shù)關系,結果如圖2所示.圖中,S為狀態(tài)值,G為質量損失.由圖2可知,質量特性隨設備狀態(tài)退化而劣化,表現(xiàn)為質量損失的增加,而當設備狀態(tài)恢復時,質量特性也隨之恢復.

3.1 供應機維護周期T1的分析

圖3 各方案(計劃維護、機會維護、正常運行)下維護周期對產(chǎn)量的影響Fig.3 Effects of preventive maintenance (PM) period on output under policies of scheduled maintenance, optimistic maintenance and running without maintenance

如圖3所示為在確定緩沖區(qū)容量和瓶頸機可靠度(Bmax=10,R=0.85)時,在不同的維護策略下,供應機維護周期對系統(tǒng)產(chǎn)出O的影響.圖中“正常運行”表示瓶頸機一直正常運行.整體上,系統(tǒng)產(chǎn)量隨供應機維護周期的延長先增加后降低,最后在低水平上趨于穩(wěn)定.分析其原因,瓶頸機在維護過于頻繁時得不到足夠的輸入,導致低產(chǎn)出；而隨著維護周期的延長,由于供應機的過多失效導致系統(tǒng)產(chǎn)出降低.這一結果也與前人的分析相一致[4,6],從而驗證了所建模型及方法的正確性.由圖3可知,當緩沖區(qū)容量不能在供應機失效時滿足瓶頸機的需求時,對供應機進行動態(tài)機會維護可以節(jié)省停機時間,從而提高系統(tǒng)產(chǎn)出.

圖4 各方案(計劃維護、機會維護、正常運行、事后維護)下,維護周期對單位成本的影響Fig.4 Effects of PM period on average cost under polices of scheduled maintenance, opportunistic maintenance, running without maintenance and breakdown maintenance

圖5 緩沖區(qū)容量對各類成本(總成本、總缺貨成本、總庫存成本)的影響Fig.5 Effects of buffer size on total cost, total shortage cost and total holding cost

3.2 緩沖區(qū)最大容量Bmax分析

緩沖區(qū)容量對系統(tǒng)成本的影響主要作用于庫存成本和缺貨成本.由圖5可知,圖中c表示單位時間內的成本,隨著緩沖區(qū)最大容量的提高,庫存成本相應提高.最后趨于穩(wěn)定的原因是周期性預防性維護的實施使得緩沖區(qū)尚未達到最大值.缺貨成本逐漸降低,最后趨近于0,而總成本也逐漸降低,最后趨于穩(wěn)定.圖6則反映了緩沖區(qū)在一定程度上可提高系統(tǒng)產(chǎn)出.

圖6 緩沖區(qū)容量對系統(tǒng)產(chǎn)出的影響Fig.6 Effect of buffer size on system output

3.3 瓶頸機可靠性R分析

瓶頸機的可靠性直接影響系統(tǒng)的產(chǎn)出,但若為了提高可靠度而過度維護,不僅增加維護成本,也占用生產(chǎn)時間,從而導致產(chǎn)出降低.由圖7可知,隨著可靠度的提高,PM成本急速增加,CM成本和質量損失相應降低,但總成本先降低后升高.這也說明瓶頸機的可靠度并非越高越好.圖例中,單位運行成本最低時為22.63元,對應可靠度為0.83；而圖8反映了產(chǎn)出隨可靠度的變化曲線,最大產(chǎn)出為23 151件,其對應可靠度為0.90,說明兩目標下的最優(yōu)可靠度可能相異.機會維護的實施使得最大產(chǎn)出提高為23 636件,對應的可靠度為0.89.

圖7 瓶頸機可靠度對各類成本(總成本、預防維護成本、小修成本、質量損失)的影響Fig.7 Effects of realiability on total cost, PM cost, CM cost and quality loss

圖8 2種方案(計劃維護與機會維護)下,瓶頸機可靠度對產(chǎn)出的影響Fig.8 Effects of realiability on output under scheduled maintenance and opportunistic maintenance

3.4 計劃維護與機會維護策略的對比

表1 計劃維護和機會維護方案下最優(yōu)解組合對比

Tab.1 Comparison of optimal combinations under scheduled maintenance and opportunistic maintenance

最優(yōu)解組合 計劃維護 機會維護 RBmax/件T1/dC/元O/件C/元O/件0.9843822.972409722.0625.6920.9536720.412483219.6226.2610.9035824.162405423.8725.5160.8539829.242318828.0124.6520.8031833.422210435.1223.148

當[T1,Bmax,R]的值為[7,36,0.95]時,單位運行成本最低值20.41元,產(chǎn)出最高值24 832件；而使用動態(tài)機會維護策略,最低成本降為19.62元,系統(tǒng)產(chǎn)出增加為26.261件.

4 結 論

(1)產(chǎn)品的質量損失在成本方面占有重要部分,而設備的狀態(tài)對產(chǎn)品質量具有直接影響.

(2)維護周期長短、緩沖區(qū)大小以及預防性維護閾值對系統(tǒng)的表現(xiàn)具有綜合的影響,需要權衡決策.

(3)區(qū)分對待瓶頸設備與非瓶頸設備的綜合預防性維護模型比傳統(tǒng)不做區(qū)分的維護更加有效.

(4)基于TOC提出的成本節(jié)余函數(shù)可以用于確定機會維護的實施,且機會維護策略能夠很好地降低成本、提高產(chǎn)出.

(5)蒙特卡洛仿真可以解決模型中的隨機失效問題,進而可利用數(shù)值迭代算法對問題求解.

本文在考慮質量損失的條件下研究了退化系統(tǒng)的預防性維護問題,對刀具車床、加工中心等設備的維護具有一定的參考作用.未來可進一步探究質量與維護,以及多產(chǎn)品系統(tǒng)的維護問題.

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Maintenance modeling for deteriorating system considering quality loss

ZHOU Bing-hai,LIU Zi-long

(CollegeofMechanicalEngineering,TongjiUniversity,Shanghai201804,China)

An optimization decision model was built to minimize operation cost per unit time, thus to efficiently solve the preventive maintenance (PM) problem of deteriorating systems. This model considered the production quality loss and influence of buffer, where “two machines with an intermediate buffer” system model was taken as research object. First, a function relation between system status and quality loss was constructed based on the Taguchi quality loss theory. Next, the condition-based PM policy and time-based PM policy were adopted for the bottleneck machines and non-bottleneck machines, respectively. Then, an opportunistic maintenance (OM) policy was proposed based on the theory of constrains (TOC). According to TOC and using PM of bottleneck machines as decision point of OM, the expected cost saving function was used to determine whether to operate OM for non-bottleneck machines or not. Finally, the iterative algorithm was applied to find the optimal decision combinations; Monte Carlo method was applied to analyze the results. Results show that the proposed model is feasible and effective; OM policy is better for saving cost and improving output compared with scheduled maintenance.

deteriorating system; quality loss; buffer size; opportunistic maintenance; preventive maintenance; Monte Carlo method

2015-11-13.

國家自然科學基金資助項目(61273035，71471135).

周炳海(1965—),男,教授,博導.從事離散制造系統(tǒng)維護、調度與仿真研究.ORCID： 0000-0002-6599-9033. E-mail: bhzhou@#edu.cn

10.3785/j.issn.1008-973X.2016.12.004

TP 391

A

1008-973X(2016)12-2270-07