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    高中物理習題教學中的圖象轉(zhuǎn)換策略

    2016-12-15 01:30:36金毅袁海泉
    中學物理·高中 2016年11期
    關(guān)鍵詞:質(zhì)點斜率圖象

    金毅 袁海泉

    1 剖析“圖象轉(zhuǎn)換策略”

    在中學的物理學習過程中,學生會接觸到大量函數(shù)圖象,例如v-t圖象和x-t圖象,它們是對客觀物理量的一種表示.這些函數(shù)圖象不僅描述了因變量隨自變量變化而變化的關(guān)系,而且由于物理量之間的邏輯關(guān)聯(lián),圖象之間還存在著因果關(guān)系.在解決某些特定物理問題時,我們將物理量的函數(shù)圖象作為條件,根據(jù)已知的公理、定理等經(jīng)過演算和邏輯推理得到目標物理量的函數(shù)圖象,在這一過程我們利用的思想方法將其稱為“圖象轉(zhuǎn)換法”.那么“圖象轉(zhuǎn)換法”的本質(zhì)是什么呢?實際上,圖象轉(zhuǎn)換法就是函數(shù)圖象思想與轉(zhuǎn)化思想的有機結(jié)合.這一思維方法不僅以物理規(guī)律和定律為基礎(chǔ),利用函數(shù)概念和性質(zhì)去分析和轉(zhuǎn)化問題,并且用圖象這種具體和形象的數(shù)學語言作為工具,描述物理量的變化,從而解決問題.

    在中學物理教學和學習中,“圖象轉(zhuǎn)換策略”常運用在純運算無法完全解決的物理問題中,借助物理圖象輔助定性呈現(xiàn)物理過程的變化,提高解決問題的效率和準確性.主要的應用流程如圖1所示:

    在解決與函數(shù)圖象有關(guān)的問題時,首先要明確已知條件量與目標量之間的物理邏輯關(guān)系:“是線性關(guān)系還是非線性關(guān)系?有沒有具體的定理明確兩者的關(guān)系?”然后要根據(jù)條件圖象的特點建立與目標圖象的關(guān)系,例如條件圖象的斜率,面積,交點等來決定用何種數(shù)學方法分析,例如求導,積分,建立函數(shù)關(guān)系等等.接下來,根據(jù)以上分析結(jié)論定性地繪制目標圖象,其中在遇到臨界點和拐點等特殊情況時需要特別注意,判斷其對目標量變化趨勢的影響.最后,根據(jù)所求得出結(jié)論,問題得到解決.

    圖象作為物理量的實際表征,它的生成過程是將具體的物理過程抽象成函數(shù)之后再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象.它是將物理變化由具體轉(zhuǎn)化為抽象再由抽象轉(zhuǎn)化為形象圖表的過程,其對于培養(yǎng)學習者的抽象思維和數(shù)形結(jié)合思想有著極其重要的意義.教師運用圖象轉(zhuǎn)換的策略,不僅可以直觀呈現(xiàn)物理問題,提高解決問題的效率,而且可以幫助學生通過視覺表征的形式記憶和提煉學習結(jié)果,實現(xiàn)教學形式與教學方法的最優(yōu)化.圖象轉(zhuǎn)換實際上是函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想的結(jié)合,將數(shù)學與物理密切聯(lián)系,是幫助學生開發(fā)和鍛煉思維,熟練運用所學知識解決問題的良好手段.

    2 勻變速直線運動問題的圖象轉(zhuǎn)換

    勻變速問題是高中物理運動學中重要的部分,在這一專題中主要涉及的是v-t圖象和x-t圖象.某對象的v-t圖象的斜率表示加速度a,其v-t圖象與坐標軸圍成的面積表示相應時間的位移x,這與它的x-t圖象正是一種積分關(guān)系.相反,x-t圖象的斜率就是表示該時刻的速度v,與v-t圖象是微分關(guān)系.

    例1 一輛汽車從靜止開始由甲地出發(fā),沿平直公路開往乙地,汽車先做勻加速運動,接著做勻減速運動,開到乙地剛好停止,其v-t圖象如圖2所示,那么

    0~t0 和t0~3t0,兩段時間內(nèi)

    A.加速度大小之比為3∶1

    B.位移大小之比為1∶2

    C.平均速度大小之比2∶1

    D.平均速度大小之比為1∶1

    圖象轉(zhuǎn)換優(yōu)勢分析:圖象轉(zhuǎn)換可以直觀地表現(xiàn)運動狀態(tài)的變化,反映a、v、x三個物理量之間的關(guān)系.例如本題中條件量是速度v,則加速度a為v-t圖象的斜率,得到0~t0和t0~3t0,兩短時間內(nèi)斜率分別是

    v0t0和

    -v02t0

    .因此我們可以根據(jù)v-t圖象畫出a-t圖象,如圖3,這實際上是v-t圖象的微分過程.而v-t圖象與坐標軸圍成的面積表示該汽車相應時間的位移x,與它的正是一種積分關(guān)系,如圖4.x-t圖象的描繪對思維能力的要求較高,教師如果此時稍加引導,抓住積分關(guān)系得到x-t圖象,能幫助學生建立勻變速運動整體模型,是建立運動全局觀的良性訓練.

    3 變力做功問題的圖象轉(zhuǎn)換

    在功能關(guān)系的知識板塊中,學生經(jīng)常遇到的變力做功問題.當變力與物體位移線性相關(guān)時(例如空氣阻力),我們可以利用F-x圖象來得到該力做功的大小,因為F-x圖象在該段位移里對物體所做的功在數(shù)值上正好等于F-x圖象所圍成的面積.同時,利用圖象轉(zhuǎn)換的方法,我們也可以得到該物體運動狀態(tài)的相關(guān)的a-t圖象、v-t圖象,這對于學生分析變力作用下物體的運動狀態(tài)有很大的幫助.

    例2 一顆m=0.1kg的靜止的小球從高達10m的樓層下落,下落過程中有空氣阻力f阻,且f阻=kx,其中k=0.2N/m,x為下落的位移,求下落至地面時小球的速度為多少?(取g=10m/s2)

    圖象轉(zhuǎn)換優(yōu)勢分析:結(jié)合函數(shù)圖象以及圖象之間的轉(zhuǎn)換,可以避免復雜的代數(shù)計算,定性的幫助學生分析物理過程.例如本題,對于根據(jù)f阻=kx可以得到空氣阻力的f阻-x圖象,如圖5.那么在下落過程中對該物體進行受力分析,利用牛頓定律得mg-kx=ma,由此可知,小球的加速度不斷減小,直到重力與空氣阻力相同時加速度減小為零,因此我們就可以得到a-t 圖象(圖6).此時,學生得到的結(jié)論是:當mg=kx0時,小球加速度為零,勻速運動,所以利用a-t圖象,運動對象的物理情境清晰展現(xiàn)在學生腦海中.令此時的時刻為t0,可得此時位移x0=5m<10m,所以小球在著陸之前就已經(jīng)勻速運動了.根據(jù)f-x圖象在該段位移x0里對物體所做的功在數(shù)值上等于f-x圖象所圍成的面積,可以得到空氣阻力做的功Wf=12kx2 ,再利用動能定理,得mgx0-12kx20=12mv2-12mv20就可以得到勻速時的速度大小.而與此同時,利用微積分思想的圖象轉(zhuǎn)換思路也可以得到v-t圖象(圖7),將該物體運動的狀態(tài)用圖象定性描繪出來,由圖能得到的新結(jié)論是:該物體做的是變加速運動,它在空中勻速運動時的速度就是物體著陸時的速度.那么此時教師可以引導學生思考,假如該物體下落的高度小于5m,物體下落時加速度和速度是如何變化的?根據(jù)a-t、v-t圖象答案就呼之欲出了.這個過程是在引導學生提出問題,發(fā)現(xiàn)問題,加深了學生對于此類物理過程本質(zhì)的理解.

    4 電、磁場問題的圖象轉(zhuǎn)換

    帶電粒子在變化的電、磁場中運動的問題涉及到力學和電、磁場知識的綜合運用.在電場中,電場力的改變使得對象受力發(fā)生周期性改變,從而運動狀態(tài)也隨之改變,因此,我們可以從U-t圖象通過圖象推導得到v-t圖象,進而利用積分關(guān)系分析獲得x-t圖象;在磁場問題中,根據(jù)法拉第電磁感應定律,磁場的變化也會導致感應電動勢的改變而改變,由此我們也可以定性描繪出電勢或電流的變化圖象.

    例3 如圖8,勻強磁場的磁感應強度方向垂直于紙面向里,磁感應強度B隨時間變化圖象如圖9所示,現(xiàn)有一個電阻為R,邊長為l的方框位于磁場中,嘗試畫出其感應電流的變化圖象.

    圖象轉(zhuǎn)換優(yōu)勢分析:教師利用圖象轉(zhuǎn)換策略可以拓寬習題講解的思路,例如本題的條件量是磁感應強度B,目標量是感應電流I.根據(jù)法拉第電磁感應定律E=

    nΔΦΔt=nSΔBΔt,EμΔBΔt,則IμΔBΔt.即I=ER=l2kR,k為 磁場變化圖象斜率.根據(jù)B-t圖象的斜率,不需要右手螺旋定則的判定,我們可以很快得到I-t圖象,提高了解題效率,如圖10所示.

    例4 將如圖11所示的交變電壓加在平行板電容器A、B兩極板上,交變電壓如圖12所示,開始B板電勢比A板電勢高,這時有一個原來靜止的電子正處在兩板的中間P處,它在電場力作用下開始運動,設(shè)A、B兩極板間的距離足夠大,下列說法正確的是

    A.電子一直向著A板運動

    B. 電子一直向著B板運動

    C.電子先向A板運動,然后返回向B板運動,之后在A、B兩板間做周期性往復運動

    D.電子先向B板運動,然后返回向A板運動,之后在A、B兩板間做周期性往復運動

    圖象轉(zhuǎn)換優(yōu)勢分析:如本題,根據(jù)公式a=

    Fm=Uedm

    ,不難確定電子所受電場力的變化,從而獲得加速度a變化圖象,如圖13所示,進而得到速度v變化圖象,如圖14.從圖中可知,電子在第一個T/4周期時向B板做勻加速運動,T/4到T/2時勻減速運動,T/2到3T/4時反向加速運動,3T/4到T時勻減速運動.所以電子是在極板之間周期往復運動.因此,學生在利用圖象再現(xiàn)物理情景的同時,利用圖象轉(zhuǎn)換思路可以拓寬解決問題的思維,由原問題得到新推論.

    例4變式 此時如果利用微積分思想思考粒子運動位移的問題,就可以通過v-t圖象定性描繪出x-t圖象,電子在第一個T/4周期時向B板運動斜率為正不斷增大,T/4到T/2時斜率為正不斷減小,T/2到3T/4時斜率為負不斷增大,3T/4到T時斜率為負不斷減小,如圖15所示.因此,我們得到的新結(jié)論就是:粒子從中點出發(fā)后是在P點的右半側(cè)運動,不會運動到P點的左半側(cè).

    5 波動問題的圖象轉(zhuǎn)換

    在簡諧振動問題中,我們經(jīng)常會遇到振動圖象和波動圖象.波動圖象(y-x圖象)是所有質(zhì)點某時刻時在空間內(nèi)的分布圖象;而振動圖象(y-t圖象)是描述某一質(zhì)點的位移隨時間變化而變化的圖象.在研究簡諧振動問題時,我們要將兩個圖象相互結(jié)合對質(zhì)點振動進行分析.通過已知的條件量的圖象,將y-x圖象與y-t圖象的相互轉(zhuǎn)換,可以順利解決簡諧振動的圖象問題.

    例5 介質(zhì)中坐標原點O處的波源在t=0時刻開始振動,產(chǎn)生的簡諧波沿x軸正向傳播,t0時刻傳到L處,波形如圖16所示.y-t圖中能敘述x0處質(zhì)點振動圖象是

    圖象轉(zhuǎn)換思路:題中所給條件圖為t=t0時刻的波動圖象,t0時刻波傳到了L=3λ處,所以波動是從左向右傳播的,且起振方向是向下的.而對于x處的質(zhì)點來說,在t0時刻之后運動趨勢應與x0左邊的質(zhì)點一致,即向下運動.所以在振動圖象中t0右側(cè)時刻質(zhì)點的位置應該低于t0時刻質(zhì)點的位置,因此只有C選項是正解.本題的難點在于如何從y-x圖象轉(zhuǎn)換到y(tǒng)-t圖象,所以,抓住宏觀的波動傳播方向,再聚焦到某個質(zhì)點的振動趨勢上,是此類問題圖象轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵.

    例5變式 一列簡諧橫波沿直線傳播,該直線上平衡位置相距9 m的a、b兩質(zhì)點的振動圖象如圖17所示,下列描述該波的圖象可能正確的是

    圖象轉(zhuǎn)換思路:該題考查的是學生將y-t圖象轉(zhuǎn)換為y-x圖象,剛接觸此題時,學生很難把握,不知道a、b點是哪個離波源更近,因此先假設(shè)簡諧波由a向b傳播,從振動圖象看,b與a相差34+n個周期,所以a、b距離為c=(34+m)λ=9 m(n=0,1,2……).若假設(shè)波由b向a傳播,a與b相差14+n個周期,所以a、b距離c=(14+n)λ=9 m(n=0,1,2……).本題解決的關(guān)鍵是要在兩種假設(shè)下分別明確a、b的相位差,并且要認識到簡諧振動的周期性.

    由以上的實例可以看出,圖象轉(zhuǎn)換策略是教師和學生需要重視的一種思維模式,在高中學習中涉及面較廣,對學生知識能力的考查也很深入.這一策略不僅能夠幫助學生簡潔快速地解決問題,并且對于學生完善物理知識體系,深化物理思想,提升思維能力都有重要的意義.

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