粘彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞的瞬態(tài)響應(yīng)

劉 濤, 王園園, 朱媛媛

(上海師范大學(xué) 信息與機(jī)電工程學(xué)院,上海 200234)

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粘彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞的瞬態(tài)響應(yīng)

劉 濤, 王園園, 朱媛媛

(上海師范大學(xué) 信息與機(jī)電工程學(xué)院,上海 200234)

飽和多孔介質(zhì)流-固耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性研究具有重要的學(xué)術(shù)理論價(jià)值和潛在的應(yīng)用前景.研究了含襯砌的無限長粘彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞的瞬態(tài)響應(yīng)問題,相關(guān)結(jié)論可用于飽和土隧道分析、核廢料等污染物處置、地?zé)豳Y源開發(fā)等基礎(chǔ)工程設(shè)計(jì).首先,基于多孔介質(zhì)混合物理論,建立了耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的控制方程、邊界條件、連接條件和初始條件.其次,采用微分求積單元法和2階向后差分格式分別在空間和時(shí)間域內(nèi)離散了系統(tǒng)的控制方程.最后,利用Newton-Raphson迭代方法在初始條件下求得了系統(tǒng)的數(shù)值解,分析了耦合系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),并考察了參數(shù)的影響,同時(shí)也驗(yàn)證了數(shù)值方法的有效性.

粘彈性飽和多孔介質(zhì); 多孔介質(zhì)理論(PMT); 圓柱孔洞; 微分求積單元法(DQEM); 瞬態(tài)響應(yīng)

0 引 言

飽和多孔介質(zhì)具有相對(duì)密度低、比強(qiáng)度高、比表面積大、重量輕、隔音隔熱、滲透性好等優(yōu)點(diǎn).由于飽和多孔介質(zhì)的固體骨架中存在液體,飽和多孔介質(zhì)中存在變形、滲流、溫度、黏性等耦合效應(yīng)及質(zhì)量、動(dòng)量、能量的交換,引起飽和多孔介質(zhì)力學(xué)性質(zhì)的改變,使飽和多孔介質(zhì)在外力作用下的力學(xué)響應(yīng)比在單相固體介質(zhì)中更為復(fù)雜.因此,對(duì)飽和多孔介質(zhì)的研究不僅在其經(jīng)典應(yīng)用領(lǐng)域,如土力學(xué)、水文學(xué)等中發(fā)揮重要的作用,而且也已成為許多新興學(xué)科和應(yīng)用技術(shù)發(fā)展的關(guān)鍵[1-2].本文作者旨在研究粘彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞的瞬態(tài)響應(yīng)問題,揭示飽和多孔介質(zhì)-襯砌耦合系統(tǒng)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)特征,為飽和土隧道分析、核廢料等污染物處置、地?zé)豳Y源開發(fā)等基礎(chǔ)工程設(shè)計(jì)和相關(guān)新技術(shù)開發(fā)提供必要的理論基礎(chǔ)和有效的計(jì)算手段.

基于飽和多孔介質(zhì)的Biot理論,Carter和Booker[3]研究了飽和土中圓形隧道的固結(jié)問題,并給出了相應(yīng)的解析表達(dá)式.Kumar等[4]利用Laplace變換給出了動(dòng)載荷下流體飽和土隧道的位移場.Gao 和Wen[5-6]研究了具有半封閉隧道的飽和/準(zhǔn)飽和粘彈性土的動(dòng)力特性.Xie等[7]研究了粘彈性飽和土體中深埋圓形隧道襯砌-土相互作用問題,考察了襯砌材料的流變特性.Liu和Yang[8]研究了粘彈性飽和土體中圓形隧道洞的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),得到了隧道洞邊界作用軸對(duì)稱荷載時(shí)的徑向位移幅值、應(yīng)力幅值和孔隙壓幅值的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解.Wang等[9]發(fā)展了粘彈性土和圓形隧道彈性襯砌的應(yīng)力應(yīng)變封閉型解.Dai和He[10]研究了熱局部非平衡條件下橫觀各向同性飽和多孔介質(zhì)中柱形空洞的熱應(yīng)力分析.

除了熟知的Biot理論外,還有一些其他理論來描述多孔介質(zhì)的特性,例如多孔介質(zhì)理論和雜交混合物理論等.De Boer[11]基于連續(xù)介質(zhì)混和物公理和體積分?jǐn)?shù)的概念建立了完整的多孔彈性理論.該理論通過體積分?jǐn)?shù)的概念,直接用若干微觀性質(zhì)來描述宏觀性質(zhì),避免了Biot理論中的缺陷和雜交混和物理論中的繁雜公式,并在數(shù)學(xué)模型中比較容易地反映諸如動(dòng)力特性、材料和幾何非線性等效應(yīng).這樣,De Boer模型提供了研究多孔介質(zhì)特性的另一種途徑,并已在飽和多孔介質(zhì)動(dòng)力響應(yīng)、熱力學(xué)問題等方面取得一定成果[12-14].

基于De Boer多孔介質(zhì)混合物理論(PMT)[11],建立了含襯砌的無限長粘彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞動(dòng)力學(xué)行為的數(shù)學(xué)模型.隨后發(fā)展了求解圓柱型飽和多孔介質(zhì)-襯砌耦合系統(tǒng)的數(shù)值方法——微分求積單元法(DQEM).利用DQEM在空間域上離散耦合系統(tǒng),得到時(shí)間域內(nèi)的一組代數(shù)-微分方程,接著利用二階向后差分格式進(jìn)行時(shí)間域的離散,并利用Newton-Raphson迭代法求解離散化后的代數(shù)方程組,得到相應(yīng)的數(shù)值解.最后分析了含襯砌的無限長粘彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞的瞬態(tài)響應(yīng),揭示了耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征,考察了飽和多孔介質(zhì)和襯砌材料參數(shù)以及界面處的孔隙水滲透參數(shù)等對(duì)耦合系統(tǒng)的影響.

1 問題的描述

圖1為含襯砌的無限長粘彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞模型.飽和多孔介質(zhì)和襯砌所占的空間區(qū)域分別為ΩS(r1≤r≤r∞)和ΩL(r0≤r≤r1),其中襯砌內(nèi)外半徑分別為r0和r1,多孔介質(zhì)的外半徑為r∞.由于圓柱孔洞無限長,該問題可視為一個(gè)軸對(duì)稱平面應(yīng)變問題.

圖1 問題的物理模型

1.1 粘彈性飽和多孔介質(zhì)的基本控制方程

設(shè)飽和多孔介質(zhì)的固相骨架和孔隙水是不可壓縮的,忽略體積力和孔隙水的粘性,根據(jù)PMT[11],可得到極坐標(biāo)下軸對(duì)稱平面應(yīng)變問題的飽和多孔介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)微分方程

(1)

(2)

設(shè)飽和多孔介質(zhì)的固相材料為微分型粘彈性材料,則本構(gòu)關(guān)系可表示為

(3)

(4)

P′S,Q′S,P″S,Q″S為描述材料粘彈性性質(zhì)的微分算子,即

(5)

(6)

1.2 襯砌的基本控制方程

極坐標(biāo)下軸對(duì)稱平面應(yīng)變問題襯砌的運(yùn)動(dòng)方程為

(7)

1.3 邊界條件

假設(shè)襯砌內(nèi)邊界承受時(shí)間相關(guān)的均布載荷q(t)的作用;并假設(shè)在遠(yuǎn)離襯砌r∞處飽和多孔介質(zhì)的固相位移為0,且理想排水.于是,邊界條件給定如下:

(8)

1.4 襯砌和飽和多孔介質(zhì)之間界面處的連接條件

對(duì)于圖1所示的耦合系統(tǒng),在飽和多孔介質(zhì)與襯砌之間的界面處必須滿足適當(dāng)?shù)倪B接條件.一般而言,襯砌具有一定的滲透性,即處于半透水狀態(tài).因此,給出的界面條件是:在界面處襯砌的位移分量、應(yīng)力分量和飽和多孔介質(zhì)中的固相位移分量、總應(yīng)力分量分別相等,同時(shí)在界面處流體滿足半透水邊界條件[15].界面條件為

(9)

1.5 初始條件

假設(shè)在初始時(shí)刻耦合系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài),則在t=0時(shí)有初始條件為

(10)

基本方程(1)～(7),邊界條件(8),連接條件(9)和初始條件(10)構(gòu)成了圖1所示含襯砌的無限長粘彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞的數(shù)學(xué)模型.顯然,得到問題的解析解或者半解析解都是困難的.

2 求解問題的DQEM和控制方程的DQ離散化

微分求積法(DQM)是Bellman和Casti[16]提出的一種求解偏微分方程的數(shù)值算法.該算法具有公式簡單、使用方便、計(jì)算量少、精度高等優(yōu)點(diǎn).但是傳統(tǒng)的DQM對(duì)于求解具有非規(guī)則區(qū)域和間斷性條件的問題存在一些局限性.因此學(xué)者們發(fā)展了DQEM,并取得了一系列的研究成果[17-19].

DQEM基本步驟是:(1)將求解區(qū)域分割成若干個(gè)子區(qū)域或單元;(2)利用DQM將各子區(qū)域的微分方程和邊界條件離散為代數(shù)方程組或者常微分方程組;(3)處理界面連接條件或者間斷性條件,將各單元的離散化方程連接起來,集合成一個(gè)整體離散化的代數(shù)方程組或者常微分方程組;(4)采用適當(dāng)方法求解,從而得到各節(jié)點(diǎn)的未知量.因此,DQEM是DQM 和近似分割原理的一種巧妙的組合,其關(guān)鍵在于如何處理單元間界面連接條件以及載荷間斷性條件.

考慮在區(qū)域Ω={x|0≤x≤a}內(nèi)的未知函數(shù)ψ(x),設(shè)沿x方向布置Nx個(gè)節(jié)點(diǎn),根據(jù)DQM,函數(shù)ψ(x)在節(jié)點(diǎn)x=xξ處對(duì)自變量x的n階導(dǎo)數(shù)可近似表示為

(11)

圖2 r方向上的布點(diǎn)

耦合系統(tǒng)被自然劃分為2個(gè)單元,即飽和多孔介質(zhì)區(qū)域ΩS和襯砌區(qū)域ΩL.注意到問題是軸對(duì)稱平面應(yīng)變問題,可沿著r方向分別在區(qū)域ΩS和ΩL內(nèi)布置NS和NL結(jié)點(diǎn)(圖2),結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)由Chebyshev-Lobatto多項(xiàng)式的零點(diǎn)來決定.

將(11)代入耦合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中,可得到問題在空間域中的DQ離散化公式.

2.1 飽和多孔介質(zhì)控制方程的DQ離散化

對(duì)于飽和多孔介質(zhì)所占區(qū)域ΩS(r1≤r≤r∞),運(yùn)動(dòng)方程(1)的DQ離散化公式為

(12)

根據(jù)公式(2),得到飽和多孔介質(zhì)幾何關(guān)系的DQ離散化公式為

(13)

飽和多孔介質(zhì)固相材料本構(gòu)關(guān)系(3)的DQ離散化公式為

(14)

其中,由公式(4),有

(15)

而由公式(6),飽和多孔介質(zhì)總應(yīng)力的DQ離散化公式為

(16)

2.2 襯砌控制方程的DQ離散化

對(duì)于襯砌所占區(qū)域ΩL(r0≤r≤r1),運(yùn)動(dòng)方程(7)的DQ離散化公式為

(17)

2.3 邊界條件的DQ離散化

根據(jù)公式(8),能得到耦合系統(tǒng)邊界條件的DQ離散化公式

(18)

2.4 界面條件的DQ離散化公式

根據(jù)公式(9),可以得到襯砌和飽和多孔介質(zhì)的交界面處連接條件的DQ離散化公式為

(19)

2.5 時(shí)間導(dǎo)數(shù)的離散和方程組的求解

對(duì)含襯砌的無限粘彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞進(jìn)行了空間DQEM離散后,得到一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的微分-代數(shù)方程組.采用如下二階向后差分格式來離散函數(shù)φ(t)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù):

(20)

其中,Δt為時(shí)間步長,φ(tn)為在t=tn時(shí)刻的函數(shù)值.

利用公式(20),對(duì)耦合系統(tǒng)的DQ離散化方程組(12)～(19)進(jìn)行時(shí)間離散,在初始條件(10)下運(yùn)用Newton-Raphson迭代方法求離散化代數(shù)方程組的解,從而可得各離散點(diǎn)未知量的數(shù)值結(jié)果.

3 數(shù)值算例與結(jié)果分析

考慮沖擊載荷q(t)=q0下耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,其中,當(dāng)t=0時(shí),q(t)=3 kN/m2,當(dāng)t>0時(shí),q(t)=0 kN/m2.給定計(jì)算區(qū)域?yàn)閞0=10 m,r1=11 m,r∞=31 m,同時(shí)在飽和多孔介質(zhì)和襯砌中分別布置了NS=17和NL=17個(gè)結(jié)點(diǎn).實(shí)際上,當(dāng)在每個(gè)單元布置NS=NL=11個(gè)結(jié)點(diǎn)時(shí),就可以得到令人滿意的結(jié)果.能夠看到,本文作者提出的DQEM具有計(jì)算量小,精度高,穩(wěn)定性好和收斂性快等優(yōu)點(diǎn).

圖3 不同位置處的時(shí)程曲線

圖5示出了飽和多孔介質(zhì)和襯砌材料均為粘彈性材料時(shí),不同的滲透參數(shù)κ對(duì)位移ur和孔隙壓p的影響.其中,當(dāng)κ=0時(shí)表示襯砌不透水,當(dāng)κ→∞時(shí)表示襯砌理想透水.能夠看到,滲透參數(shù)κ對(duì)位移和孔隙壓有明顯影響.在不同時(shí)刻,孔隙壓隨κ的變化性狀也隨之發(fā)生變化.

圖4 不同材料對(duì)位移ur、流速孔隙壓p和總應(yīng)力σr的影響

圖5 滲透參數(shù)對(duì)位移ur和孔隙壓P的影響

4 結(jié) 論

基于PMT,研究了含襯砌的無限長粘彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞的瞬態(tài)響應(yīng)問題,相關(guān)結(jié)論可用于飽和土隧道分析、核廢料等污染物處置、地?zé)豳Y源開發(fā)等基礎(chǔ)工程設(shè)計(jì).首先建立了耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的數(shù)學(xué)模型.其次發(fā)展了求解該問題的DQEM,并利用所發(fā)展的DQEM,在空間域內(nèi)對(duì)控制方程進(jìn)行了離散,得到關(guān)于時(shí)間的一組代數(shù)-微分方程.然后采用2階向后差分格式離散了時(shí)間導(dǎo)數(shù),最后利用Newton-Raphson迭代方法在初始條件下求得了問題的數(shù)值解,分析了耦合系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),考察了參數(shù)的影響.能夠看到,在沖擊載荷下,由于粘性效應(yīng)的影響,耦合系統(tǒng)同一深度處位移、流速、應(yīng)力和孔隙壓在開始時(shí)刻增大,隨后急劇減小.同時(shí)隨著r的增加,位移逐漸減少,流速逐漸減慢,孔隙壓和應(yīng)力逐漸減小.并且,耦合系統(tǒng)材料參數(shù)的影響較為顯著,當(dāng)飽和多孔介質(zhì)和襯砌為粘彈性材料時(shí),由于粘性效應(yīng)的影響,相對(duì)彈性材料而言,系統(tǒng)的位移、流速、總應(yīng)力和孔隙壓趨于穩(wěn)定的時(shí)間較長.同時(shí),飽和多孔介質(zhì)與襯砌界面處的孔隙水滲透參數(shù)對(duì)耦合系統(tǒng)有著顯著的影響,在不同時(shí)刻,孔隙壓隨孔隙水滲透參數(shù)κ的變化性狀也隨之發(fā)生變化.

本文作者提出的DQEM具有計(jì)算量小,精度高,穩(wěn)定性好和收斂性快等優(yōu)點(diǎn),可用來分析計(jì)算類似深埋圓形隧道粘彈性飽和土-襯砌耦合系統(tǒng)以及更復(fù)雜的耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).

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(責(zé)任編輯：包震宇)

Transient response of a cylindrical cavity inviscoelastic saturated porous medium

LIU Tao, WANG Yuanyuan, ZHU Yuanyuan

(College of Information,Mechanical and Electrical Engineering,Shanghai Normal University,Shanghai 200234,China)

The study on dynamic characteristics for fluid-solid coupling system in saturated porous medium is of significant academic value and potential application foreground.In this paper,the transient response of a cylindrical cavity in infinite viscoelastic saturated porous medium with the circular lining is studied,and the corresponding results can be used in the design of foundation engineering,such as the tunnel analyses in saturated soil,the nuclear waste disposal engineering,and the exploitation and utilization of geothermal reservoirs and so on.Firstly,based on the porous media theory,the governing equations of coupled system are presented,and the corresponding boundary conditions,initial conditions as well as the joint conditions are derived.Then,the differential quadrature element method and the second-order backward difference scheme are applied to discretize the governing differential equations of the coupled system on the spatial and temporal domains,respectively.Finally,the Newton-Raphson method is adopted to solve the discretization equations with the initial conditions,the transient responses of the coupled system are analyzed,the effects of the parameters are considered,and the validity of the numerical method is verified.

viscoelastic saturated porous medium;porous media theory(PMT); cylindrical cavity; differential quadrature element method(DQEM); transient response

2015-03-16

上海市自然科學(xué)基金(15ZR1431600)

朱媛媛,中國上海市徐匯區(qū)桂林路100號(hào),上海師范大學(xué)信息與機(jī)電工程學(xué)院,郵編:200234,E-mail:yuanyuan_zhu@hotmail.com

O 342

A

1000-5137(2016)05-0518-09

10.3969/J.ISSN.1000-5137.2016.05.002