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    降低解析幾何運(yùn)算量的幾種技巧

    2016-12-14 12:10:46王昊淵
    湖南教育 2016年33期
    關(guān)鍵詞:設(shè)點(diǎn)運(yùn)算量式子

    王昊淵

    降低解析幾何運(yùn)算量的幾種技巧

    王昊淵

    解析幾何題的運(yùn)算式子復(fù)雜,運(yùn)算量大,往往成為學(xué)生失分的重要因素。在學(xué)習(xí)過程中,筆者認(rèn)為要解決失分問題,就必須使運(yùn)算的式子簡(jiǎn)便,降低運(yùn)算量。由此,總結(jié)了解決這個(gè)問題的幾種技巧。

    一、善于設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)

    設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題中常用的方式。設(shè)得好,設(shè)得巧,可以使運(yùn)算式子簡(jiǎn)便,降低運(yùn)算量。

    (1)當(dāng)k=0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;

    (2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN?說明理由。

    因此,x1+x2=4k,x1x2=-4a。

    假設(shè)存在點(diǎn)P(0,b),使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN,則由角平分線定理,得

    當(dāng)b=a時(shí),唯有k=0時(shí)成立,故舍去。所以b=-a,故y軸上存在點(diǎn)P(0,-a),使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN。

    二、巧用平面幾何定理

    平面幾何中涉及的線、角、面積的大小關(guān)系都可以用幾何等式來表達(dá),沒有代數(shù)運(yùn)算的繁雜。利用平面幾何知識(shí)找出題中的平行、垂直、全等、相似關(guān)系,可以縮短思考的過程,然后用坐標(biāo)表示,也能達(dá)到減少運(yùn)算量的目的。因此,將平面幾何中的一些定理用到解析幾何中,是減少解析幾何運(yùn)算量常用的技巧。

    (1)求△OAB面積的最小值;

    (2)過點(diǎn)O作AB的垂線,垂足是P,求點(diǎn)P的軌跡方程。

    因此,cos2β=sin2α,sin2β=cos2α。

    顯然,當(dāng)sin2α=0,α=0°時(shí),有最小值

    (2)先證一個(gè)結(jié)論。

    在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,則

    故點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y2=。

    三、妙用圓錐曲線的幾何性質(zhì)

    圓錐曲線的定義(兩種)、焦半徑、離心率、準(zhǔn)線以及a,b,c等有十分明確的幾何意義,如果能夠恰當(dāng)?shù)貙缀我饬x應(yīng)用到解題中,可以簡(jiǎn)化許多復(fù)雜的運(yùn)算,還容易找到解題思路。

    設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A,并設(shè)∠AFPi=α(ii=1,2,3)。不失一般性,設(shè),且設(shè)點(diǎn)P(ii=1,2,3)在l上的射影為Q(ii=1,2,3)。

    減少解析幾何運(yùn)算量的方法還有一些,如整體代換、坐標(biāo)變換、運(yùn)用參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程等。解題時(shí),要仔細(xì)分析條件與待求(證)式子的特點(diǎn),選擇合適的方法,才能達(dá)到事半功倍的效果。

    (作者單位:湖南師范大學(xué)附中梅溪湖中學(xué))

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