高階耦合Burgers方程的顯示精確解

曹生讓

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院南京分院，江蘇南京 210019)

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高階耦合Burgers方程的顯示精確解

曹生讓

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院南京分院，江蘇南京 210019)

本文利用一階常微分?jǐn)_動(dòng)系統(tǒng)，借助于Mathematica的符號(hào)運(yùn)算功能，構(gòu)造了高階耦合Burgers方程的顯示解，得到了sech2和tanh型的孤子解、周期解、有理解等。

偏微分方程；高階耦合Burgers方程；顯示精確解

近年來(lái)，對(duì)單個(gè)孤立子模型的研究已經(jīng)相當(dāng)完善，關(guān)于耦合的孤子體系研究，得到了人們的普遍關(guān)注并發(fā)現(xiàn)了許多新的孤子解.目前，人們已經(jīng)研究出許多有效的求解方法，例如反散射方法、Hirota雙線性法、Backlund變換法、Darbox變換法、Jacobi橢圓函數(shù)法、Tanh函數(shù)展開法、直接代數(shù)法、參數(shù)假設(shè)法等.但是，利用一些方法得到方程解的類型不能令人滿意.本文將用一種新的“擾動(dòng)”方程統(tǒng)一構(gòu)造非線性發(fā)展方程的顯示解.

Burgers方程是模擬沖擊波的傳播和反射的非線性發(fā)展方程，單個(gè)Burgers方程ut+uxx+2uux=0是非線性系統(tǒng)中最重要的模型之一.近年來(lái)，一些推廣的Burgers方程已經(jīng)被提出，并得到了深入的研究.高階耦合Burgers方程與單個(gè)Burgers方程一樣，被廣泛地應(yīng)用在眾多物理領(lǐng)域，例如不可壓縮非粘性兩層流體方面等.本文研究高階耦合Burgers方程如下：

給出擾動(dòng)方程

(3)

其中,是ξ的函數(shù)，ε=1或ε=-1，(3)式解的具體形式參見文獻(xiàn)[1].首先，對(duì)方程組(1)和(2)作如下的變換：

其中，ξ=x+λ1y+λ2t，則有：

通過(guò)平衡(6)(7)中最高階導(dǎo)數(shù)與非齊次項(xiàng)，可假設(shè)(5)(6)具有如下形式的解：

其中，=(ξ)，并且

(10)

(11)

(Ⅰ)當(dāng)c3=c0=c1=0時(shí)，

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(Ⅲ)當(dāng)c3=c1=0時(shí)，

(24)

(25)

(26)

(27)

當(dāng)k→1時(shí)，周期解(24)(25)退化為鐘狀孤立子解，周期解(26)(27)退化扭狀孤子解.

(Ⅳ)當(dāng)c4=c0=c1=0時(shí)，

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

綜上所述，本文通過(guò)引入“擾動(dòng)”方法對(duì)非線性發(fā)展方程進(jìn)行求解，得到了高階耦合Burgers方程的多種形式的顯示精確解，如鐘狀孤立子解、扭狀孤立子解、橢圓函數(shù)解等，該方法可以用于其它非線性方程或方程組的求解.

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New Explicit Solutions of Higher Order Coupled Burgers Equations

CAO Sheng-rang

(Branch of Nanjing，Jiangsu Union Technical Institute,Nanjing Jiangsu 210019,China)

In this paper,by using the one order ODE as the disturbance equation and the symbolic toolbox of Mathematica,the solutions of higher order coupled Burgers equations are constructed,and a lot of new explicit solutions are obtained,including the solutions of the type of sech2and tanh,periodic solutions and rational solutions,etc.

partial differential equation;higher order coupled Burgers equations;explicit solutions

2016-05-22

曹生讓(1982- )，男，講師，碩士，從事微分方程研究。

O175.2

A

2095-7602(2016)10-0001-04